предыдущий семинар 18 сентября 2014 г. следующий семинар

Тема 2

Присоединённое представление полной линейной группы: орбиты и инварианты

Группа $GL(V)$ невырожденных линейных операторов на $n$-мерном векторном пространстве $V$ над полем $\mathbb{K}$ действует на пространстве $L(V)$ всех линейных операторов сопряжениями: $\mathcal{A}\circ\mathcal{X}=\mathcal{A}\mathcal{X}\mathcal{A}^{-1}$ ($\mathcal{A}\in GL(V)$, $\mathcal{X}\in L(V)$). Это действие называется присоединённым представлением.

Пространство $L(V)$ разбивается на орбиты присоединённого действия. Выбор базиса в $V$ позволяет отождествить $L(V)$ с $\operatorname{Mat}_n(\mathbb{K})$, а $GL(V)$ — c $GL_n(\mathbb{K})$. На матричном языке орбиту присоединённого действия можно интерпретировать как совокупность матриц одного и того же линейного оператора в разных базисах. Если поле $\mathbb{K}$ алгебраически замкнуто, то орбиты параметризуются жордановыми нормальными формами матриц (с точностью до перестановок жордановых клеток).

Для различения орбит нужны инварианты.

Определение. Пусть группа $G$ действует на $N$-мерном векторном пространстве $W$ над $\mathbb{K}$ линейными преобразованиями. Обозначим через $\mathbb{K}[W]=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_N]$ алгебру многочленов от координат $x_1,\dots,x_N$ на пространстве $W$. Многочлен $f\in\mathbb{K}[W]$ называется (полиномиальным) инвариантом, если $f(gx)=f(x)$, $\forall g\in G$, $x\in W$. Инвариантные многочлены образуют подалгебру инвариантов $\mathbb{K}[W]^G$.

Для присоединённого представления примерами инвариантных многочленов являются коэффициенты $f_1,\dots,f_n$ характеристического многочлена линейного оператора:


$\displaystyle\det(t\mathcal{E}-\mathcal{X})=t^n-f_1(\mathcal{X})t^{n-1}+f_2(\mathcal{X})t^{n-2}-\dots+(-1)^nf_n(\mathcal{X})$.

Например, $f_1(\mathcal{X})=\operatorname{tr}(\mathcal{X})$, $f_n(\mathcal{X})=\det(\mathcal{X})$.

Теорема 1. Если поле $\mathbb{K}$ бесконечно, то алгебра инвариантов присоединённого представления группы $GL(V)$ порождается многочленами $f_1,\dots,f_n$, причём последние алгебраически независимы.

Доказательство теоремы в случае $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ основано на том, что диагонализуемые операторы образуют всюду плотное подмножество в $L(V)$, а стало быть, инвариантный многочлен однозначно определяется своим ограничением на подпространство диагональных матриц, где является симметрическим многочленом. Симметрические же многочлены выражаются через элементарные симметрические многочлены, которые алгебраически независимы и получаются ограничением многочленов $f_k$ на подпространство диагональных матриц.

Инвариантные многочлены на $L(V)$ не позволяют различить любые две орбиты. Множества уровня инвариантов


$\displaystyle Z_c=\{\mathcal{X}\in L(V)\mid f_1(\mathcal{X})=c_1,\;\dots\;,f_n(\mathcal{X})=c_n\}$

состоят из всех линейных операторов с данным характеристическим многочленом или, что то же самое, с данным набором собственных значений. Вообще говоря, они разбиваются на конечное число орбит. Заметим, что множество уровня вместе с каждым оператором $\mathcal{X}$ содержит его полупростую часть $\mathcal{X}_s$ (а $\mathcal{X}_n\in Z_0$).

Лемма. Орбита оператора $\mathcal{X}$ содержит все операторы вида $\mathcal{X}_s+t\mathcal{X}_n$, где $t\ne0$.

Над алгебраически замкнутым полем $\mathbb{K}$ лемму легко доказать приведением матрицы оператора $\mathcal{X}$ к жордановой нормальной форме.

С помощью этой леммы легко доказывается

Теорема 2. Пусть $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или $\mathbb{R}$. Оператор $\mathcal{X}$ полупрост (соотв. нильпотентен) тогда и только тогда, когда его орбита замкнута (соотв. содержит в замыкании $0$). В общем случае орбита оператора $\mathcal{X}_s$ содержится в замыкании орбиты оператора $\mathcal{X}$ и является единственной замкнутой орбитой в множестве уровня $Z_c$, которому принадлежит $\mathcal{X}$.


Задачи

Задача 2.1. $f_k(\mathcal{X})$ — сумма главных миноров размера $k\times k$ матрицы оператора $\mathcal{X}$.

Задача 2.2. Если две вещественные матрицы лежат в одной орбите присоединённого действия группы $GL_n(\mathbb{C})$, то они лежат в одной орбите группы $GL_n(\mathbb{R})$.

Задача 2.3. Доказать теорему 1:
а) в случае $\mathbb{K}=\mathbb{R}$;
б)* в случае произвольного бесконечного поля.
в) Над конечным полем теорема 1 неверна.

Задача 2.4. Как выразить инварианты $\operatorname{tr}(\mathcal{X}^k)$ через $f_1(\mathcal{X}),\dots,f_n(\mathcal{X})$? Получить эти выражения при $k=2,3,4$.

Задача 2.5. Доказать лемму в случае $\mathbb{K}=\mathbb{R}$.

Задача 2.6. Задать орбиту полупростого оператора алгебраическими уравнениями в пространстве $L(V)$.