Тема 7
Симметрические операторы в псевдоевклидовых пространствах
Псевдоевклидово пространство сигнатуры $(k,l)$ — это вещественное квадратичное
пространство, в котором скалярное умножение задаётся невырожденной симметрической
билинейной формой сигнатуры $(k,l)$.
Так же, как и в комплексном случае, корневые подпространства симметрического оператора
в псевдоевклидовом пространстве, отвечающие вещественным собственным значениям, попарно
ортогональны, и в каждом из них матрица оператора вместе с матрицей скалярного умножения
приводится к каноническому виду с помощью такого же рассуждения. Единственное отличие
состоит в том, что за счёт нормировки циклического вектора $e$ высоты $p$ нильпотентного
симметрического оператора $\mathcal{A}$ мы не всегда можем добиться, чтобы $(\mathcal{A}^{p-1}e,e)=1$, но можем
добиться, чтобы $(\mathcal{A}^{p-1}e,e)=\pm 1$. Соответственно этому матрица Грама векторов
$e, \mathcal{A}e, \mathcal{A}^2e, \dots , \mathcal{A}^{p-1}e$ приводится к виду $\pm F$, где
$$
F=\begin{pmatrix}
& & & & & 1 \\
& \mathrm{O} & & & 1 & \\
& & &.& & \\
& &.& & & \\
& .& & & \mathrm{O} & \\
1 & & & & & \\
\end{pmatrix}
$$
— антиединичная матрица. Отметим, что сигнатура такой матрицы Грама при чётном $p$ равна $(\frac{p}2,\frac{p}2)$, а при нечётном —
$(\frac{p+1}2,\frac{p-1}2)$ или $(\frac{p-1}2,\frac{p+1}2)$, в зависимости от знака перед $F$.
Для каждой пары комплексно сопряжённых мнимых собственных значений $\mu$ и $\overline\mu$ симметрического
оператора $\mathcal{A}$ в псевдоевклидовом пространстве $V$ соответствующие корневые подпространства $(V_{\mathbb{C}})^{\mu}$
и $(V_{\mathbb{C}})^{\overline\mu}$ комплексификации этого оператора
комплексно сопряжены и, следовательно, их сумма является комплексификацией некоторого
подпространства $V^{\mu,\overline\mu}$ вещественного пространства $V$. Опредёленные таким образом подпространства $V^{\mu,\overline\mu}$
попарно ортогональны и ортогональны всем корневым подпространствам $V^{\lambda}$, отвечающим
вещественным собственным значениям $\lambda$. Для того, чтобы с ними разобраться, рассмотрим
общую конструкцию "овеществления".
Всякое $n$-мерное комплексное векторное пространство $W$ можно рассматривать как $2n$-мерное
вещественное векторное пространство, которое мы будем называть овеществлением
пространства $W$ и обозначать через $W^{\mathbb{R}}$. Всякий линейный оператор $\mathcal{C}$ в пространстве $W$
можно рассматривать как линейный оператор в пространстве $W^{\mathbb{R}}$; в таком качестве будем
его обозначать через $\mathcal{C}^{\mathbb{R}}$. Вещественная часть всякой невырожденной билинейной формы
в пространстве $W$ является невырожденной билинейной формой в пространстве $W^{\mathbb{R}}$. В частности,
если $W$ — комплексное квадратичное пространство, то $W^{\mathbb{R}}$ можно рассматривать как вещественное
квадратичное пространство, определив скалярное произведение любых двух его векторов как
половину вещественной часть их скалярного произведения в пространстве $W$. (Множитель $1/2$
не так важен; он выбран по техническим причинам.) Легко видеть, что сигнатура
пространства $W^{\mathbb{R}}$ равна $(n,n)$. Для любого линейного оператора $\mathcal{C}\in L(W)$ имеем
$(\mathcal{C}^{\mathbb{R}})^*=(\mathcal{C}^*)^{\mathbb{R}}$. В частности, оператор $\mathcal{C}^{\mathbb{R}}$ симметричен (кососимметричен, ортогонален)
тогда и только тогда, когда таковым является оператор $\mathcal{C}$.
Пусть теперь $V$ — вещественное векторное пространство и $W=V_{\mathbb{C}}$ — его комплексификация.
Если $U\subset W$ — такое подпространство, что $W=U\oplus\overline{U}$ (черта обозначает
комплексное сопряжение), то проекция $\pi$ пространства $U$ на $V$ вдоль $\boldsymbol{i}V$ (взятие вещественной части вектора) осуществляет изоморфизм
пространства $U^{\mathbb{R}}$ на $V$. Если $V$ — псевдоевклидово пространство
(и, тем самым, $V_{\mathbb{C}}$ — комплексное квадратичное пространство) и подпространства $U, \overline{U}$
ортогональны, то $\pi$ является не только вещественно линейным изоморфизмом, но изоморфизмом
псевдоевклидовых пространств.
Далее, если $\mathcal{A}\in L(V)$ и подпространство $U$ (а, значит, и $\overline{U}$) инвариантно относительно $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$,
то изоморфизм $\pi$ перестановочен с действием оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ (равного $\mathcal{A}$ на $V$). Применяя это
к суммам корневых подпространств $W=(V_{\mathbb{C}})^{\mu}\oplus (V_{\mathbb{C}})^{\overline\mu}=(V^{\mu,\overline\mu})_{\mathbb{C}}$
комплексификации симметрического оператора в псевдоевклидовом пространстве, приходим к следующей теореме.
Теорема.
Для любого симметрического оператора $\mathcal{A}$ в псевдоевклидовом пространстве $V$
существует разложение пространства $V$ в ортогональную прямую сумму подпространств,
на каждом из которых оператор $\mathcal{A}$ либо задаётся жордановой клеткой в базисе, матрица
Грама которого имеет вид $\pm F$, где $F$ — антиединичная матрица, либо является
овеществлением симметрического оператора в комплексном квадратичном пространстве,
задаваемого жордановой клеткой в (комплексном) базисе, матрица Грама которого
равна $F$.
Отметим, что эта теорема дает классификацию симметрических операторов сразу во всех
псевдоевклидовых пространствах. Для того, чтобы получить классификацию симметрических
операторов в заданном псевдоевклидовом пространстве, надо отобрать из всех случаев,
описываемых теоремой, те, в которых пространство имеет нужную сигнатуру.
Как и в евклидовом пространстве, в любом квадратичном пространстве каждому линейному
оператору $\mathcal{A}$ можно сопоставить билинейную форму $f_{\mathcal{A}}$ по формуле $f_{\mathcal{A}}(x,y)=(x,\mathcal{A}y)$.
Это, в частности, задает каноническую биекцию (и даже линейный изоморфизм) между
пространствами симметрических операторов и симметрических билинейных форм (или, если
угодно, квадратичных форм). Поэтому на сформулированную выше теорему можно смотреть как на классификацию
пар квадратичных форм в вещественном векторном пространстве, первая из которых
невырожденна.
Задача 7.1.
Получить классификацию симметрических операторов в псевдоевклидовом
пространстве сигнатуры $(n,1)$ (пространстве Минковского).
Задача 7.2.
a) Получить классификацию пар квадратичных форм сигнатуры $(2,1)$ в трёхмерном
вещественном векторном пространстве.
б)* Дать геометрическую интерпретацию различных
случаев, возникающих в этой классификации, в терминах соответствующих коник на проективной плоскости.
|