Псевдоевклидово пространство сигнатуры $(k,l)$ — это вещественное квадратичное пространство, в котором скалярное умножение задаётся невырожденной симметрической билинейной формой сигнатуры $(k,l)$ .

Так же, как и в комплексном случае, корневые подпространства симметрического оператора в псевдоевклидовом пространстве, отвечающие вещественным собственным значениям, попарно ортогональны, и в каждом из них матрица оператора вместе с матрицей скалярного умножения приводится к каноническому виду с помощью такого же рассуждения. Единственное отличие состоит в том, что за счёт нормировки циклического вектора

$e$ высоты

$p$ нильпотентного симметрического оператора

$\mathcal{A}$ мы не всегда можем добиться, чтобы

$(\mathcal{A}^{p-1}e,e)=1$ , но можем добиться, чтобы

$(\mathcal{A}^{p-1}e,e)=\pm 1$ . Соответственно этому матрица Грама векторов

$e, \mathcal{A}e, \mathcal{A}^2e, \dots , \mathcal{A}^{p-1}e$ приводится к виду

$\pm F$ , где

$F=\begin{pmatrix} & & & & & 1 \\ & \mathrm{O} & & & 1 & \\ & & &.& & \\ & &.& & & \\ & .& & & \mathrm{O} & \\ 1 & & & & & \\ \end{pmatrix}$ — антиединичная матрица. Отметим, что сигнатура такой матрицы Грама при чётном

$p$ равна

$(\frac{p}2,\frac{p}2)$ , а при нечётном —

$(\frac{p+1}2,\frac{p-1}2)$ или

$(\frac{p-1}2,\frac{p+1}2)$ , в зависимости от знака перед

$F$ .

Для каждой пары комплексно сопряжённых мнимых собственных значений

$\mu$ и

$\overline\mu$ симметрического оператора

$\mathcal{A}$ в псевдоевклидовом пространстве

$V$ соответствующие корневые подпространства

$(V_{\mathbb{C}})^{\mu}$ и

$(V_{\mathbb{C}})^{\overline\mu}$ комплексификации этого оператора комплексно сопряжены и, следовательно, их сумма является комплексификацией некоторого подпространства

$V^{\mu,\overline\mu}$ вещественного пространства

$V$ . Опредёленные таким образом подпространства

$V^{\mu,\overline\mu}$ попарно ортогональны и ортогональны всем корневым подпространствам

$V^{\lambda}$ , отвечающим вещественным собственным значениям

$\lambda$ . Для того, чтобы с ними разобраться, рассмотрим общую конструкцию "овеществления".

Всякое

$n$ -мерное комплексное векторное пространство

$W$ можно рассматривать как

$2n$ -мерное вещественное векторное пространство, которое мы будем называть овеществлением пространства

$W$ и обозначать через

$W^{\mathbb{R}}$ . Всякий линейный оператор

$\mathcal{C}$ в пространстве

$W$ можно рассматривать как линейный оператор в пространстве

$W^{\mathbb{R}}$ ; в таком качестве будем его обозначать через

$\mathcal{C}^{\mathbb{R}}$ . Вещественная часть всякой невырожденной билинейной формы в пространстве

$W$ является невырожденной билинейной формой в пространстве

$W^{\mathbb{R}}$ . В частности, если

$W$ — комплексное квадратичное пространство, то

$W^{\mathbb{R}}$ можно рассматривать как вещественное квадратичное пространство, определив скалярное произведение любых двух его векторов как половину вещественной часть их скалярного произведения в пространстве

$W$ . (Множитель

$1/2$ не так важен; он выбран по техническим причинам.) Легко видеть, что сигнатура пространства

$W^{\mathbb{R}}$ равна

$(n,n)$ . Для любого линейного оператора

$\mathcal{C}\in L(W)$ имеем

$(\mathcal{C}^{\mathbb{R}})^*=(\mathcal{C}^*)^{\mathbb{R}}$ . В частности, оператор

$\mathcal{C}^{\mathbb{R}}$ симметричен (кососимметричен, ортогонален) тогда и только тогда, когда таковым является оператор

$\mathcal{C}$ .

Пусть теперь

$V$ — вещественное векторное пространство и

$W=V_{\mathbb{C}}$ — его комплексификация. Если

$U\subset W$ — такое подпространство, что

$W=U\oplus\overline{U}$ (черта обозначает комплексное сопряжение), то проекция

$\pi$ пространства

$U$ на

$V$ вдоль

$\boldsymbol{i}V$ (взятие вещественной части вектора) осуществляет изоморфизм пространства

$U^{\mathbb{R}}$ на

$V$ . Если

$V$ — псевдоевклидово пространство (и, тем самым,

$V_{\mathbb{C}}$ — комплексное квадратичное пространство) и подпространства

$U, \overline{U}$ ортогональны, то

$\pi$ является не только вещественно линейным изоморфизмом, но изоморфизмом псевдоевклидовых пространств.

Далее, если

$\mathcal{A}\in L(V)$ и подпространство

$U$ (а, значит, и

$\overline{U}$ ) инвариантно относительно

$\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ , то изоморфизм

$\pi$ перестановочен с действием оператора

$\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ (равного

$\mathcal{A}$ на

$V$ ). Применяя это к суммам корневых подпространств

$W=(V_{\mathbb{C}})^{\mu}\oplus (V_{\mathbb{C}})^{\overline\mu}=(V^{\mu,\overline\mu})_{\mathbb{C}}$ комплексификации симметрического оператора в псевдоевклидовом пространстве, приходим к следующей теореме.

Теорема. Для любого симметрического оператора

$\mathcal{A}$ в псевдоевклидовом пространстве

$V$ существует разложение пространства

$V$ в ортогональную прямую сумму подпространств, на каждом из которых оператор

$\mathcal{A}$ либо задаётся жордановой клеткой в базисе, матрица Грама которого имеет вид

$\pm F$ , где

$F$ — антиединичная матрица, либо является овеществлением симметрического оператора в комплексном квадратичном пространстве, задаваемого жордановой клеткой в (комплексном) базисе, матрица Грама которого равна

$F$ .

Отметим, что эта теорема дает классификацию симметрических операторов сразу во всех псевдоевклидовых пространствах. Для того, чтобы получить классификацию симметрических операторов в заданном псевдоевклидовом пространстве, надо отобрать из всех случаев, описываемых теоремой, те, в которых пространство имеет нужную сигнатуру.

Как и в евклидовом пространстве, в любом квадратичном пространстве каждому линейному оператору

$\mathcal{A}$ можно сопоставить билинейную форму

$f_{\mathcal{A}}$ по формуле

$f_{\mathcal{A}}(x,y)=(x,\mathcal{A}y)$ . Это, в частности, задает каноническую биекцию (и даже линейный изоморфизм) между пространствами симметрических операторов и симметрических билинейных форм (или, если угодно, квадратичных форм). Поэтому на сформулированную выше теорему можно смотреть как на классификацию пар квадратичных форм в вещественном векторном пространстве, первая из которых невырожденна.

предыдущий семинар	23 октября 2014 г.	следующий семинар
Тема 7 Симметрические операторы в псевдоевклидовых пространствах Псевдоевклидово пространство сигнатуры $(k,l)$ — это вещественное квадратичное пространство, в котором скалярное умножение задаётся невырожденной симметрической билинейной формой сигнатуры $(k,l)$ . Так же, как и в комплексном случае, корневые подпространства симметрического оператора в псевдоевклидовом пространстве, отвечающие вещественным собственным значениям, попарно ортогональны, и в каждом из них матрица оператора вместе с матрицей скалярного умножения приводится к каноническому виду с помощью такого же рассуждения. Единственное отличие состоит в том, что за счёт нормировки циклического вектора $e$ высоты $p$ нильпотентного симметрического оператора $\mathcal{A}$ мы не всегда можем добиться, чтобы $(\mathcal{A}^{p-1}e,e)=1$ , но можем добиться, чтобы $(\mathcal{A}^{p-1}e,e)=\pm 1$ . Соответственно этому матрица Грама векторов $e, \mathcal{A}e, \mathcal{A}^2e, \dots , \mathcal{A}^{p-1}e$ приводится к виду $\pm F$ , где $F=\begin{pmatrix} & & & & & 1 \\ & \mathrm{O} & & & 1 & \\ & & &.& & \\ & &.& & & \\ & .& & & \mathrm{O} & \\ 1 & & & & & \\ \end{pmatrix}$ — антиединичная матрица. Отметим, что сигнатура такой матрицы Грама при чётном $p$ равна $(\frac{p}2,\frac{p}2)$ , а при нечётном — $(\frac{p+1}2,\frac{p-1}2)$ или $(\frac{p-1}2,\frac{p+1}2)$ , в зависимости от знака перед $F$ . Для каждой пары комплексно сопряжённых мнимых собственных значений $\mu$ и $\overline\mu$ симметрического оператора $\mathcal{A}$ в псевдоевклидовом пространстве $V$ соответствующие корневые подпространства $(V_{\mathbb{C}})^{\mu}$ и $(V_{\mathbb{C}})^{\overline\mu}$ комплексификации этого оператора комплексно сопряжены и, следовательно, их сумма является комплексификацией некоторого подпространства $V^{\mu,\overline\mu}$ вещественного пространства $V$ . Опредёленные таким образом подпространства $V^{\mu,\overline\mu}$ попарно ортогональны и ортогональны всем корневым подпространствам $V^{\lambda}$ , отвечающим вещественным собственным значениям $\lambda$ . Для того, чтобы с ними разобраться, рассмотрим общую конструкцию "овеществления". Всякое $n$ -мерное комплексное векторное пространство $W$ можно рассматривать как $2n$ -мерное вещественное векторное пространство, которое мы будем называть овеществлением пространства $W$ и обозначать через $W^{\mathbb{R}}$ . Всякий линейный оператор $\mathcal{C}$ в пространстве $W$ можно рассматривать как линейный оператор в пространстве $W^{\mathbb{R}}$ ; в таком качестве будем его обозначать через $\mathcal{C}^{\mathbb{R}}$ . Вещественная часть всякой невырожденной билинейной формы в пространстве $W$ является невырожденной билинейной формой в пространстве $W^{\mathbb{R}}$ . В частности, если $W$ — комплексное квадратичное пространство, то $W^{\mathbb{R}}$ можно рассматривать как вещественное квадратичное пространство, определив скалярное произведение любых двух его векторов как половину вещественной часть их скалярного произведения в пространстве $W$ . (Множитель $1/2$ не так важен; он выбран по техническим причинам.) Легко видеть, что сигнатура пространства $W^{\mathbb{R}}$ равна $(n,n)$ . Для любого линейного оператора $\mathcal{C}\in L(W)$ имеем $(\mathcal{C}^{\mathbb{R}})^=(\mathcal{C}^)^{\mathbb{R}}$ . В частности, оператор $\mathcal{C}^{\mathbb{R}}$ симметричен (кососимметричен, ортогонален) тогда и только тогда, когда таковым является оператор $\mathcal{C}$ . Пусть теперь $V$ — вещественное векторное пространство и $W=V_{\mathbb{C}}$ — его комплексификация. Если $U\subset W$ — такое подпространство, что $W=U\oplus\overline{U}$ (черта обозначает комплексное сопряжение), то проекция $\pi$ пространства $U$ на $V$ вдоль $\boldsymbol{i}V$ (взятие вещественной части вектора) осуществляет изоморфизм пространства $U^{\mathbb{R}}$ на $V$ . Если $V$ — псевдоевклидово пространство (и, тем самым, $V_{\mathbb{C}}$ — комплексное квадратичное пространство) и подпространства $U, \overline{U}$ ортогональны, то $\pi$ является не только вещественно линейным изоморфизмом, но изоморфизмом псевдоевклидовых пространств. Далее, если $\mathcal{A}\in L(V)$ и подпространство $U$ (а, значит, и $\overline{U}$ ) инвариантно относительно $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ , то изоморфизм $\pi$ перестановочен с действием оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ (равного $\mathcal{A}$ на $V$ ). Применяя это к суммам корневых подпространств $W=(V_{\mathbb{C}})^{\mu}\oplus (V_{\mathbb{C}})^{\overline\mu}=(V^{\mu,\overline\mu})_{\mathbb{C}}$ комплексификации симметрического оператора в псевдоевклидовом пространстве, приходим к следующей теореме. Для любого симметрического оператора $\mathcal{A}$ в псевдоевклидовом пространстве $V$ существует разложение пространства $V$ в ортогональную прямую сумму подпространств, на каждом из которых оператор $\mathcal{A}$ либо задаётся жордановой клеткой в базисе, матрица Грама которого имеет вид $\pm F$ , где $F$ — антиединичная матрица, либо является овеществлением симметрического оператора в комплексном квадратичном пространстве, задаваемого жордановой клеткой в (комплексном) базисе, матрица Грама которого равна $F$ . Отметим, что эта теорема дает классификацию симметрических операторов сразу во всех псевдоевклидовых пространствах. Для того, чтобы получить классификацию симметрических операторов в заданном псевдоевклидовом пространстве, надо отобрать из всех случаев, описываемых теоремой, те, в которых пространство имеет нужную сигнатуру. Как и в евклидовом пространстве, в любом квадратичном пространстве каждому линейному оператору $\mathcal{A}$ можно сопоставить билинейную форму $f_{\mathcal{A}}$ по формуле $f_{\mathcal{A}}(x,y)=(x,\mathcal{A}y)$ . Это, в частности, задает каноническую биекцию (и даже линейный изоморфизм) между пространствами симметрических операторов и симметрических билинейных форм (или, если угодно, квадратичных форм). Поэтому на сформулированную выше теорему можно смотреть как на классификацию пар квадратичных форм в вещественном векторном пространстве, первая из которых невырожденна. Задачи Получить классификацию симметрических операторов в псевдоевклидовом пространстве сигнатуры $(n,1)$ (пространстве Минковского). a) Получить классификацию пар квадратичных форм сигнатуры $(2,1)$ в трёхмерном вещественном векторном пространстве. б)* Дать геометрическую интерпретацию различных случаев, возникающих в этой классификации, в терминах соответствующих коник на проективной плоскости.