Пусть $V$ — вещественное векторное пространство. Его комплексификацией называется комплексное векторное пространство $V_{\mathbb{C}}=V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ (частный случай конструкции расширения поля скаляров). Пространство $V_{\mathbb{C}}$ можно представлять себе более наглядно как множество пар $z=(x,y)$ векторов из $V$ с покомпонентным сложением и операцией умножения на комплексные числа по следующему правилу: $$(\alpha+\boldsymbol{i}\beta)z=(\alpha x-\beta y,\beta x+\alpha y).$$ Если отождествить каждый вектор $x\in V$ с $(x,0)$, то пространство $V$ вкладывается в $V_{\mathbb{C}}$ в качестве вещественного подпространства, и имеет место разложение $V_{\mathbb{C}}=V\oplus\boldsymbol{i}V$, так что каждый вектор пространства $V_{\mathbb{C}}$ однозначно представляется в виде $z=x+\boldsymbol{i}y$, где $x,y\in V$. Всякий базис $e_1,\dots,e_n$ пространства $V$ над $\mathbb{R}$ является базисом пространства $V_{\mathbb{C}}$ над $\mathbb{C}$, а его базисом над $\mathbb{R}$ служит множество векторов $e_1,\boldsymbol{i}e_1,\dots,e_n,\boldsymbol{i}e_n$.

На комплексном векторном пространстве $V_{\mathbb{C}}$ имеется дополнительная структура — оператор комплексного сопряжения $z\mapsto\overline{z}=x-\boldsymbol{i}y$. Комплексное сопряжение — $\mathbb{R}$-линейный и $\mathbb{C}$-антилинейный инволютивный оператор (т.е. $\overline{\lambda z}=\overline\lambda\overline{z}$ и $\overline{{\scriptsize\strut}\smash[t]{\overline{z}}}=z$, $\forall z\in V_{\mathbb{C}}$, $\lambda\in\mathbb{C}$). Исходное вещественное векторное пространство $V$ восстанавливается как подпространство неподвижных векторов оператора комплексного сопряжения.

Пусть $\mathcal{A}\in L(V)$ — $\mathbb{R}$-линейный оператор. Его можно единственым образом продолжить до $\mathbb{C}$-линейного оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}\in L(V_{\mathbb{C}})$ по правилу: $$\mathcal{A}_{\mathbb{C}}(x+\boldsymbol{i}y)=\mathcal{A}+\boldsymbol{i}\mathcal{A}y.$$ Оператор $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ называется комплексификацией оператора $\mathcal{A}$. Его матрица в произвольном базисе пространства $V$ над $\mathbb{R}$, рассматриваемом как базис пространства $V_{\mathbb{C}}$ над $\mathbb{C}$, такая же, как у $\mathcal{A}$.

Оператор $\mathcal{C}\in L(V_{\mathbb{C}})$ является комплексификацией некоторого оператора $\mathcal{A}\in L(V)$ тогда и только тогда, когда он коммутирует с оператором комплексного сопряжения: $\overline{\mathcal{C}z}=\mathcal{C}\,\overline{z}$, $\forall z\in V_{\mathbb{C}}$.

Конструкция комплексификации позволяет решать задачи линейной алгебры над полем $\mathbb{R}$, сводя их к аналогичным задачам над полем $\mathbb{C}$. В частности, этим методом может быть описана структура произвольного $\mathbb{R}$-линейного оператора (теория вещественной жордановой формы).

Рассмотрим вначале полупростой оператор $\mathcal{A}\in L(V)$. Его комплексификация $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ — также полупростой оператор. Характеристический многочлен имеет вещественные корни $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ и мнимые корни (разбивающиеся на пары взаимно сопряжённых) $\mu_1,\overline{\mu_1},\dots,\mu_s,\overline{\mu_s}$. Имеет место разложение в прямую сумму собственных подпространств оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$: $$ V_{\mathbb{C}}=(V_{\mathbb{C}})_{\lambda_1}\oplus\dots\oplus(V_{\mathbb{C}})_{\lambda_r}\oplus (V_{\mathbb{C}})_{\mu_1}\oplus(V_{\mathbb{C}})_{\overline{\mu_1}}\oplus\dots\oplus(V_{\mathbb{C}})_{\mu_s}\oplus(V_{\mathbb{C}})_{\overline{\mu_s}}. $$ Всякое собственное подпространство оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ с вещественным собственным значением инвариантно относительно комплексного сопряжения и является комплексификацией собственного подпространства оператора $\mathcal{A}$: $(V_{\mathbb{C}})_{\lambda}=(V_{\lambda})_{\mathbb{C}}$. Собственные подпространства, отвечающие комплексно сопряжённым мнимым собственным значениям, переставляются оператором комплексного сопряжения, и их сумма является комплексификацией $\mathcal{A}$-инвариантного подпространства в $V$: $\overline{(V_{\mathbb{C}})_{\mu}}=(V_{\mathbb{C}})_{\overline{\mu}}$, $(V_{\mathbb{C}})_{\mu}\oplus(V_{\mathbb{C}})_{\overline{\mu}}=(V_{\mu,\overline{\mu}})_{\mathbb{C}}$ (см. задачу 6.1). Таким образом, имеет место разложение пространства $V$ в прямую сумму $\mathcal{A}$-инвариантных подпространств: $$ V=V_{\lambda_1}\oplus\dots\oplus V_{\lambda_r}\oplus V_{\mu_1,\overline{\mu_1}}\oplus\dots\oplus V_{\mu_s,\overline{\mu_s}}. $$

Проекция пространства $V_{\mathbb{C}}$ на "вещественную часть" $V$ вдоль "мнимой части" $\boldsymbol{i}V$ осуществляет изоморфизм $(V_{\mathbb{C}})_{\mu}$ на $V_{\mu,\overline{\mu}}$, как вещественных векторных пространств, при котором действие оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ переходит в действие оператора $\mathcal{A}$. Рассмотрим базис пространства $V_{\mu,\overline{\mu}}$, соответствующий базису $e_1,\boldsymbol{i}e_1,\dots,e_m,\boldsymbol{i}e_m$ пространства $(V_{\mathbb{C}})_{\mu}$ над $\mathbb{R}$, где $e_1,\dots,e_m$ — некоторый базис $(V_{\mathbb{C}})_{\mu}$ над $\mathbb{C}$. Этот базис состоит из векторов $\operatorname{Re}e_k$, $-\operatorname{Im}e_k$ ($k=1,\dots,m$). В нём матрица оператора $\mathcal{A}$ блочно-диагональна, и по диагонали стоят блоки $$ \begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \\ \end{pmatrix}, $$ где $\mu=\alpha+\boldsymbol{i}\beta$.

Пусть теперь $\mathcal{A}$ — произвольный оператор на $V$. Комплексификация его разложения Жордана $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s+\mathcal{A}_n$ даёт разложение Жордана $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}=(\mathcal{A}_s)_{\mathbb{C}}+(\mathcal{A}_n)_{\mathbb{C}}$ для оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$. Собственные подпространства оператора $(\mathcal{A}_s)_{\mathbb{C}}$ являются корневыми для $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$.

Для каждого вещественного собственного значения $\lambda$ мы можем выбрать в $V_{\lambda}$ жорданов базис над $\mathbb{R}$ для оператора $\mathcal{A}_n$; он же будет жордановым базисом над $\mathbb{C}$ для оператора $(\mathcal{A}_n)_{\mathbb{C}}$ на пространстве $(V_{\mathbb{C}})_{\lambda}$.

Для каждой пары комплексно сопряжённых мнимых собственных значений $\mu,\overline\mu$ выберем в $(V_{\mathbb{C}})_{\mu}$ жорданов базис $e_1,\dots,e_m$ над $\mathbb{C}$ для оператора $(\mathcal{A}_n)_{\mathbb{C}}$. Этот же оператор, рассматриваемый как $\mathbb{R}$-линейный, будет иметь жорданов базис $e_1,\boldsymbol{i}e_1,\dots,e_m,\boldsymbol{i}e_m$ и двойной набор жордановых клеток в жордановой нормальной форме. На сопряжённом корневом подпространстве $(V_{\mathbb{C}})_{\overline\mu}$ в базисе $\overline{e_1},\dots,\overline{e_m}$ оператор $(\mathcal{A}_n)_{\mathbb{C}}$ будет иметь ту же жорданову матрицу, что и на $(V_{\mathbb{C}})_{\mu}$ в базисе $e_1,\dots,e_m$.

Из всего вышесказанного следует

Теорема. Всякий оператор $\mathcal{A}$ в вещественном векторном пространстве $V$ в подходящем базисе задаётся матрицей, состоящей из обыкновенных жордановых клеток $$ \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & & \mathrm{O} \\ & \lambda & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & \mathrm{O} & & \lambda & 1 \\ & & & & \lambda \\ \end{pmatrix}, $$ отвечающих вещественным собственным значениям оператора, и вещественных жордановых клеток $$ \begin{pmatrix} \alpha & -\beta & 1 & 0 & & & & & & \\ \beta & \alpha & 0 & 1 & & & & & \mathrm{O} & \\ & & \alpha & -\beta & 1 & 0 & & & & \\ & & \beta & \alpha & 0 & 1 & & & & \\ & & & & \ddots & & \ddots & & & \\ & & & & & \ddots & & \ddots & & \\ & & & & & & \alpha & -\beta & 1 & 0 \\ & & & & & & \beta & \alpha & 0 & 1 \\ & \mathrm{O} & & & & & & & \alpha & -\beta \\ & & & & & & & & \beta & \alpha \\ \end{pmatrix}, $$ отвечающих парам комплексно сопряжённых мнимых собственных значений $\mu=\alpha+\boldsymbol{i}\beta$ и $\overline\mu$.

предыдущий семинар	16 октября 2014 г.	следующий семинар
Тема 6 Комплексификация Пусть $V$ — вещественное векторное пространство. Его комплексификацией называется комплексное векторное пространство $V_{\mathbb{C}}=V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ (частный случай конструкции расширения поля скаляров). Пространство $V_{\mathbb{C}}$ можно представлять себе более наглядно как множество пар $z=(x,y)$ векторов из $V$ с покомпонентным сложением и операцией умножения на комплексные числа по следующему правилу: $$(\alpha+\boldsymbol{i}\beta)z=(\alpha x-\beta y,\beta x+\alpha y).$$ Если отождествить каждый вектор $x\in V$ с $(x,0)$, то пространство $V$ вкладывается в $V_{\mathbb{C}}$ в качестве вещественного подпространства, и имеет место разложение $V_{\mathbb{C}}=V\oplus\boldsymbol{i}V$, так что каждый вектор пространства $V_{\mathbb{C}}$ однозначно представляется в виде $z=x+\boldsymbol{i}y$, где $x,y\in V$. Всякий базис $e_1,\dots,e_n$ пространства $V$ над $\mathbb{R}$ является базисом пространства $V_{\mathbb{C}}$ над $\mathbb{C}$, а его базисом над $\mathbb{R}$ служит множество векторов $e_1,\boldsymbol{i}e_1,\dots,e_n,\boldsymbol{i}e_n$. На комплексном векторном пространстве $V_{\mathbb{C}}$ имеется дополнительная структура — оператор комплексного сопряжения $z\mapsto\overline{z}=x-\boldsymbol{i}y$. Комплексное сопряжение — $\mathbb{R}$-линейный и $\mathbb{C}$-антилинейный инволютивный оператор (т.е. $\overline{\lambda z}=\overline\lambda\overline{z}$ и $\overline{{\scriptsize\strut}\smash[t]{\overline{z}}}=z$, $\forall z\in V_{\mathbb{C}}$, $\lambda\in\mathbb{C}$). Исходное вещественное векторное пространство $V$ восстанавливается как подпространство неподвижных векторов оператора комплексного сопряжения. Пусть $\mathcal{A}\in L(V)$ — $\mathbb{R}$-линейный оператор. Его можно единственым образом продолжить до $\mathbb{C}$-линейного оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}\in L(V_{\mathbb{C}})$ по правилу: $$\mathcal{A}_{\mathbb{C}}(x+\boldsymbol{i}y)=\mathcal{A}+\boldsymbol{i}\mathcal{A}y.$$ Оператор $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ называется комплексификацией оператора $\mathcal{A}$. Его матрица в произвольном базисе пространства $V$ над $\mathbb{R}$, рассматриваемом как базис пространства $V_{\mathbb{C}}$ над $\mathbb{C}$, такая же, как у $\mathcal{A}$. Оператор $\mathcal{C}\in L(V_{\mathbb{C}})$ является комплексификацией некоторого оператора $\mathcal{A}\in L(V)$ тогда и только тогда, когда он коммутирует с оператором комплексного сопряжения: $\overline{\mathcal{C}z}=\mathcal{C}\,\overline{z}$, $\forall z\in V_{\mathbb{C}}$. Конструкция комплексификации позволяет решать задачи линейной алгебры над полем $\mathbb{R}$, сводя их к аналогичным задачам над полем $\mathbb{C}$. В частности, этим методом может быть описана структура произвольного $\mathbb{R}$-линейного оператора (теория вещественной жордановой формы). Рассмотрим вначале полупростой оператор $\mathcal{A}\in L(V)$. Его комплексификация $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ — также полупростой оператор. Характеристический многочлен имеет вещественные корни $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ и мнимые корни (разбивающиеся на пары взаимно сопряжённых) $\mu_1,\overline{\mu_1},\dots,\mu_s,\overline{\mu_s}$. Имеет место разложение в прямую сумму собственных подпространств оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$: $$ V_{\mathbb{C}}=(V_{\mathbb{C}})_{\lambda_1}\oplus\dots\oplus(V_{\mathbb{C}})_{\lambda_r}\oplus (V_{\mathbb{C}})_{\mu_1}\oplus(V_{\mathbb{C}})_{\overline{\mu_1}}\oplus\dots\oplus(V_{\mathbb{C}})_{\mu_s}\oplus(V_{\mathbb{C}})_{\overline{\mu_s}}. $$ Всякое собственное подпространство оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ с вещественным собственным значением инвариантно относительно комплексного сопряжения и является комплексификацией собственного подпространства оператора $\mathcal{A}$: $(V_{\mathbb{C}})_{\lambda}=(V_{\lambda})_{\mathbb{C}}$. Собственные подпространства, отвечающие комплексно сопряжённым мнимым собственным значениям, переставляются оператором комплексного сопряжения, и их сумма является комплексификацией $\mathcal{A}$-инвариантного подпространства в $V$: $\overline{(V_{\mathbb{C}})_{\mu}}=(V_{\mathbb{C}})_{\overline{\mu}}$, $(V_{\mathbb{C}})_{\mu}\oplus(V_{\mathbb{C}})_{\overline{\mu}}=(V_{\mu,\overline{\mu}})_{\mathbb{C}}$ (см. задачу 6.1). Таким образом, имеет место разложение пространства $V$ в прямую сумму $\mathcal{A}$-инвариантных подпространств: $$ V=V_{\lambda_1}\oplus\dots\oplus V_{\lambda_r}\oplus V_{\mu_1,\overline{\mu_1}}\oplus\dots\oplus V_{\mu_s,\overline{\mu_s}}. $$ Проекция пространства $V_{\mathbb{C}}$ на "вещественную часть" $V$ вдоль "мнимой части" $\boldsymbol{i}V$ осуществляет изоморфизм $(V_{\mathbb{C}})_{\mu}$ на $V_{\mu,\overline{\mu}}$, как вещественных векторных пространств, при котором действие оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ переходит в действие оператора $\mathcal{A}$. Рассмотрим базис пространства $V_{\mu,\overline{\mu}}$, соответствующий базису $e_1,\boldsymbol{i}e_1,\dots,e_m,\boldsymbol{i}e_m$ пространства $(V_{\mathbb{C}})_{\mu}$ над $\mathbb{R}$, где $e_1,\dots,e_m$ — некоторый базис $(V_{\mathbb{C}})_{\mu}$ над $\mathbb{C}$. Этот базис состоит из векторов $\operatorname{Re}e_k$, $-\operatorname{Im}e_k$ ($k=1,\dots,m$). В нём матрица оператора $\mathcal{A}$ блочно-диагональна, и по диагонали стоят блоки $$ \begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \\ \end{pmatrix}, $$ где $\mu=\alpha+\boldsymbol{i}\beta$. Пусть теперь $\mathcal{A}$ — произвольный оператор на $V$. Комплексификация его разложения Жордана $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s+\mathcal{A}_n$ даёт разложение Жордана $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}=(\mathcal{A}_s)_{\mathbb{C}}+(\mathcal{A}_n)_{\mathbb{C}}$ для оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$. Собственные подпространства оператора $(\mathcal{A}_s)_{\mathbb{C}}$ являются корневыми для $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$. Для каждого вещественного собственного значения $\lambda$ мы можем выбрать в $V_{\lambda}$ жорданов базис над $\mathbb{R}$ для оператора $\mathcal{A}_n$; он же будет жордановым базисом над $\mathbb{C}$ для оператора $(\mathcal{A}_n)_{\mathbb{C}}$ на пространстве $(V_{\mathbb{C}})_{\lambda}$. Для каждой пары комплексно сопряжённых мнимых собственных значений $\mu,\overline\mu$ выберем в $(V_{\mathbb{C}})_{\mu}$ жорданов базис $e_1,\dots,e_m$ над $\mathbb{C}$ для оператора $(\mathcal{A}_n)_{\mathbb{C}}$. Этот же оператор, рассматриваемый как $\mathbb{R}$-линейный, будет иметь жорданов базис $e_1,\boldsymbol{i}e_1,\dots,e_m,\boldsymbol{i}e_m$ и двойной набор жордановых клеток в жордановой нормальной форме. На сопряжённом корневом подпространстве $(V_{\mathbb{C}})_{\overline\mu}$ в базисе $\overline{e_1},\dots,\overline{e_m}$ оператор $(\mathcal{A}_n)_{\mathbb{C}}$ будет иметь ту же жорданову матрицу, что и на $(V_{\mathbb{C}})_{\mu}$ в базисе $e_1,\dots,e_m$. Из всего вышесказанного следует Теорема. Всякий оператор $\mathcal{A}$ в вещественном векторном пространстве $V$ в подходящем базисе задаётся матрицей, состоящей из обыкновенных жордановых клеток $$ \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & & \mathrm{O} \\ & \lambda & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & \mathrm{O} & & \lambda & 1 \\ & & & & \lambda \\ \end{pmatrix}, $$ отвечающих вещественным собственным значениям оператора, и вещественных жордановых клеток $$ \begin{pmatrix} \alpha & -\beta & 1 & 0 & & & & & & \\ \beta & \alpha & 0 & 1 & & & & & \mathrm{O} & \\ & & \alpha & -\beta & 1 & 0 & & & & \\ & & \beta & \alpha & 0 & 1 & & & & \\ & & & & \ddots & & \ddots & & & \\ & & & & & \ddots & & \ddots & & \\ & & & & & & \alpha & -\beta & 1 & 0 \\ & & & & & & \beta & \alpha & 0 & 1 \\ & \mathrm{O} & & & & & & & \alpha & -\beta \\ & & & & & & & & \beta & \alpha \\ \end{pmatrix}, $$ отвечающих парам комплексно сопряжённых мнимых собственных значений $\mu=\alpha+\boldsymbol{i}\beta$ и $\overline\mu$. Задачи Задача 6.1. Комплексное подпространство $W\subseteq V_{\mathbb{C}}$ является комплексификацией вещественного подпространства $U\subseteq V$ тогда и только тогда, когда $\overline{W}=W$.