По-прежнему, $V$ — $n$-мерное векторное пространство над полем $\mathbb{K}$.

Для каждого линейного оператора $\mathcal{A}\in L(V)$ определён сопряжённый оператор $\mathcal{A}^*\in L(V^*)$ по формуле $(\mathcal{A}^*\alpha)(x)=\alpha(\mathcal{A}x)$ ($x\in V$, $\alpha\in V^*$). Имеют место следующие свойства:

если оператор $\mathcal{A}$ в некотором базисе пространства $V$ задаётся матрицей $A$, то оператор $\mathcal{A}^*$ в дуальном базисе пространства $V^*$ задаётся матрицей $A^{\top}$;
$\mathcal{A}^{**}=\mathcal{A}$ (при каноническом отождествлении пространства $V^{**}$ с $V$);
$(\lambda\mathcal{A})^*=\lambda\mathcal{A}^*$, $(\mathcal{A}+\mathcal{B})^*=\mathcal{A}^*+\mathcal{B}^*$, $(\mathcal{A}\mathcal{B})^*=\mathcal{B}^*\mathcal{A}^*$;
оператор $\mathcal{A}^*$ полупрост (нильпотентен, унипотентен) тогда и только тогда, когда таковым является оператор $\mathcal{A}$; если $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s+\mathcal{A}_n$ ($\mathcal{A}=\mathcal{A}_s\mathcal{A}_u$) — разложение Жордана оператора $\mathcal{A}$, то $\mathcal{A}^*=\mathcal{A}_s^*+\mathcal{A}_n^*$ ($\mathcal{A}^*=\mathcal{A}_s^*\mathcal{A}_u^*$) — разложение Жордана оператора $\mathcal{A}^*$;
жордановы формы операторов $\mathcal{A}$ и $\mathcal{A}^*$ (над подходящим расширением поля $\mathbb{K}$) одинаковы.

Если в пространстве $V$ задана невырожденная билинейная форма $f$, то пространство $V^*$ можно отождествить с $V$ и рассматривать $\mathcal{A}^*$ как линейный оператор в $V$. Его определение тогда можно записать в виде $$f(\mathcal{A}x,y)=f(x,\mathcal{A}^*y),\qquad\forall x,y\in V.$$

Определение. Векторное пространство $V$ с фиксированной невырожденной симметрической билинейной формой (скалярным умножением) называется квадратичным (векторным) пространством.

Скалярное произведение векторов $x,y \in V$ будем, как обычно, обозначать $(x,y)$.

Линейный оператор $\mathcal{A}$ в квадратичном пространстве называется симметрическим (кососимметрическим, ортогональным), если $\mathcal{A}^*=\mathcal{A}$ ($\mathcal{A}^*=-\mathcal{A}$, $\mathcal{A}^*=\mathcal{A}^{-1}$).

Ортогональные операторы — это линейные операторы, сохраняющие скалярное произведение векторов. Они образуют группу, обозначаемую через $O(V)$.

Если $\mathcal{A}$ — симметрический (кососимметрический, ортогональный) оператор, то и оператор $\mathcal{A}_s$ является таковым.

Если $\mathcal{C}\in O(V)$, то $$(\mathcal{C}\mathcal{A}\mathcal{C}^{-1})^*=\mathcal{C}\mathcal{A}^*\mathcal{C}^{-1},\qquad\forall\mathcal{A}\in L(V).$$

В частности, если оператор $\mathcal{A}$ симметричен (кососимметричен, ортогонален), то и оператор $\mathcal{C}\mathcal{A}\mathcal{C}^{-1}$ является таковым.

Естественно поставить задачу классификации этих типов операторов относительно действия группы $O(V)$ сопряжениями.

Пусть $\mathcal{A}$ — симметрический оператор в комплексном квадратичном пространстве $V$.

Из тождества $(\mathcal{A}x,y)=(x,\mathcal{A}y)$ следует, что собственные векторы оператора $\mathcal{A}$, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны, и, значит, если оператор $\mathcal{A}$ полупростой, то для него существует ортонормированный собственный базис (в котором его матрица диагональна).

В общем случае корневые подпространства $V^{\lambda}(\mathcal{A})$ оператора $\mathcal{A}$ попарно ортогональны, и задача сводится к классификации нильпотентных симметрических операторов.

Рассмотрим случай, когда оператор $\mathcal{A}$ задаётся нильпотентной жорадновой клеткой порядка $p$, т.е. существует такой вектор $e\in V$, что ${e,\mathcal{A}e,\mathcal{A}^2e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e}$ — базис пространства $V$, а $\mathcal{A}^p e=0$. Какова матрица Грама этого базиса? Из симметричности оператора следует, что $g_{kl}=(\mathcal{A}^ke,\mathcal{A}^le)$ зависит только от $k+l$, причём $g_{kl}=0$ при $k+l\ge p$. За счёт нормировки вектора $e$ можно добиться того, чтобы $g_{kl}=1$ при $k+l=p-1$. Тогда матрица Грама будет иметь вид $$ G=\begin{pmatrix} & & & & & 1 \\ & * & & & 1 & \\ & & &.& & \\ & &.& & & \\ & .& & & \mathrm{O} & \\ 1 & & & & & \\ \end{pmatrix}. $$ За счёт выбора вектора $e$ можно добиться того, чтобы выше побочной диагонали тоже стояли нули (задача 5.2).

Пусть теперь $\mathcal{A}$ — произвольный нильпотентный симметрический оператор высоты $p$, т.е. $\mathcal{A}^p=0$, но $\mathcal{A}^{p-1}\ne 0$.

Существует такой вектор $e \in V$, что $(e,\mathcal{A}^{p-1} e)\ne 0$ (иначе $(x,\mathcal{A}^{p-1} y)=0$ для любых $x,y \in V$ и, значит, $\mathcal{A}^{p-1}=0$). Для такого вектора $e$ циклическое подпространство $\langle e,\mathcal{A}e,\mathcal{A}^2 e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e\rangle$ невырожденно, и ортогональное дополнение к нему является инвариантным дополнительным подпространством.

Из всего сказанного выше следует

Теорема. Для любого симметрического оператора $\mathcal{A}$ в комплексном квадратичном пространстве $V$ существует разложение пространства $V$ в ортогональную прямую сумму подпространств, на каждом из которых оператор $\mathcal{A}$ задаётся жордановой клеткой в базисе, матрица Грама которого имеет вид $$ G=\begin{pmatrix} & & & & & 1 \\ & \mathrm{O} & & & 1 & \\ & & &.& & \\ & &.& & & \\ & .& & & \mathrm{O} & \\ 1 & & & & & \\ \end{pmatrix}. $$

предыдущий семинар	9 октября 2014 г.	следующий семинар
Тема 5 Линейные операторы в квадратичных пространствах. Классификация комплексных симметрических операторов. По-прежнему, $V$ — $n$-мерное векторное пространство над полем $\mathbb{K}$. Для каждого линейного оператора $\mathcal{A}\in L(V)$ определён сопряжённый оператор $\mathcal{A}^\in L(V^)$ по формуле $(\mathcal{A}^\alpha)(x)=\alpha(\mathcal{A}x)$ ($x\in V$, $\alpha\in V^$). Имеют место следующие свойства: если оператор $\mathcal{A}$ в некотором базисе пространства $V$ задаётся матрицей $A$, то оператор $\mathcal{A}^$ в дуальном базисе пространства $V^$ задаётся матрицей $A^{\top}$; $\mathcal{A}^{}=\mathcal{A}$ (при каноническом отождествлении пространства $V^{}$ с $V$); $(\lambda\mathcal{A})^=\lambda\mathcal{A}^$, $(\mathcal{A}+\mathcal{B})^=\mathcal{A}^+\mathcal{B}^$, $(\mathcal{A}\mathcal{B})^=\mathcal{B}^\mathcal{A}^$; оператор $\mathcal{A}^$ полупрост (нильпотентен, унипотентен) тогда и только тогда, когда таковым является оператор $\mathcal{A}$; если $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s+\mathcal{A}_n$ ($\mathcal{A}=\mathcal{A}_s\mathcal{A}_u$) — разложение Жордана оператора $\mathcal{A}$, то $\mathcal{A}^=\mathcal{A}_s^+\mathcal{A}_n^$ ($\mathcal{A}^=\mathcal{A}_s^\mathcal{A}_u^$) — разложение Жордана оператора $\mathcal{A}^$; жордановы формы операторов $\mathcal{A}$ и $\mathcal{A}^$ (над подходящим расширением поля $\mathbb{K}$) одинаковы. Если в пространстве $V$ задана невырожденная билинейная форма $f$, то пространство $V^$ можно отождествить с $V$ и рассматривать $\mathcal{A}^$ как линейный оператор в $V$. Его определение тогда можно записать в виде $$f(\mathcal{A}x,y)=f(x,\mathcal{A}^y),\qquad\forall x,y\in V.$$ Определение. Векторное пространство $V$ с фиксированной невырожденной симметрической билинейной формой (скалярным умножением) называется квадратичным (векторным) пространством. Скалярное произведение векторов $x,y \in V$ будем, как обычно, обозначать $(x,y)$. Линейный оператор $\mathcal{A}$ в квадратичном пространстве называется симметрическим (кососимметрическим, ортогональным), если $\mathcal{A}^=\mathcal{A}$ ($\mathcal{A}^=-\mathcal{A}$, $\mathcal{A}^=\mathcal{A}^{-1}$). Ортогональные операторы — это линейные операторы, сохраняющие скалярное произведение векторов. Они образуют группу, обозначаемую через $O(V)$. Если $\mathcal{A}$ — симметрический (кососимметрический, ортогональный) оператор, то и оператор $\mathcal{A}_s$ является таковым. Если $\mathcal{C}\in O(V)$, то $$(\mathcal{C}\mathcal{A}\mathcal{C}^{-1})^=\mathcal{C}\mathcal{A}^\mathcal{C}^{-1},\qquad\forall\mathcal{A}\in L(V).$$ В частности, если оператор $\mathcal{A}$ симметричен (кососимметричен, ортогонален), то и оператор $\mathcal{C}\mathcal{A}\mathcal{C}^{-1}$ является таковым. Естественно поставить задачу классификации этих типов операторов относительно действия группы $O(V)$ сопряжениями. Пусть $\mathcal{A}$ — симметрический оператор в комплексном квадратичном пространстве $V$.* Из тождества $(\mathcal{A}x,y)=(x,\mathcal{A}y)$ следует, что собственные векторы оператора $\mathcal{A}$, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны, и, значит, если оператор $\mathcal{A}$ полупростой, то для него существует ортонормированный собственный базис (в котором его матрица диагональна). В общем случае корневые подпространства $V^{\lambda}(\mathcal{A})$ оператора $\mathcal{A}$ попарно ортогональны, и задача сводится к классификации нильпотентных симметрических операторов. Рассмотрим случай, когда оператор $\mathcal{A}$ задаётся нильпотентной жорадновой клеткой порядка $p$, т.е. существует такой вектор $e\in V$, что ${e,\mathcal{A}e,\mathcal{A}^2e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e}$ — базис пространства $V$, а $\mathcal{A}^p e=0$. Какова матрица Грама этого базиса? Из симметричности оператора следует, что $g_{kl}=(\mathcal{A}^ke,\mathcal{A}^le)$ зависит только от $k+l$, причём $g_{kl}=0$ при $k+l\ge p$. За счёт нормировки вектора $e$ можно добиться того, чтобы $g_{kl}=1$ при $k+l=p-1$. Тогда матрица Грама будет иметь вид $$ G=\begin{pmatrix} & & & & & 1 \\ & * & & & 1 & \\ & & &.& & \\ & &.& & & \\ & .& & & \mathrm{O} & \\ 1 & & & & & \\ \end{pmatrix}. $$ За счёт выбора вектора $e$ можно добиться того, чтобы выше побочной диагонали тоже стояли нули (задача 5.2). Пусть теперь $\mathcal{A}$ — произвольный нильпотентный симметрический оператор высоты $p$, т.е. $\mathcal{A}^p=0$, но $\mathcal{A}^{p-1}\ne 0$. Существует такой вектор $e \in V$, что $(e,\mathcal{A}^{p-1} e)\ne 0$ (иначе $(x,\mathcal{A}^{p-1} y)=0$ для любых $x,y \in V$ и, значит, $\mathcal{A}^{p-1}=0$). Для такого вектора $e$ циклическое подпространство $\langle e,\mathcal{A}e,\mathcal{A}^2 e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e\rangle$ невырожденно, и ортогональное дополнение к нему является инвариантным дополнительным подпространством. Из всего сказанного выше следует Теорема. Для любого симметрического оператора $\mathcal{A}$ в комплексном квадратичном пространстве $V$ существует разложение пространства $V$ в ортогональную прямую сумму подпространств, на каждом из которых оператор $\mathcal{A}$ задаётся жордановой клеткой в базисе, матрица Грама которого имеет вид $$ G=\begin{pmatrix} & & & & & 1 \\ & \mathrm{O} & & & 1 & \\ & & &.& & \\ & &.& & & \\ & .& & & \mathrm{O} & \\ 1 & & & & & \\ \end{pmatrix}. $$ Задачи Задача 5.1. В случае $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или $\mathbb{R}$ экспонента кососимметрического оператора является ортогональным оператором. Задача 5.2. За счёт выбора вектора $e$ можно добиться того, чтобы $g_{kl}=0$ при $k+l< p-1$, т.е. чтобы $$ G=\begin{pmatrix} & & & & & 1 \\ & \mathrm{O} & & & 1 & \\ & & &.& & \\ & &.& & & \\ & .& & & \mathrm{O} & \\ 1 & & & & & \\ \end{pmatrix}. $$ Задача 5.3. При этом условии найти матрицу оператора $\mathcal{A}$ в каком-либо ортонормированном базисе. Задача 5.4. Всякая комплексная матрица подобна симметричной матрице. Если две симметричные матрицы подобны, то они подобны с помощью (комплексной) ортогональной матрицы.