Задача 4.1. Классифицировать орбиты пар $(\mathcal{A},v)$ относительно группы $GL(V)$, где $v\in V$ — вектор, а $\mathcal{A}\in L(V)$ — линейный оператор на пространстве $V$ над полем $\mathbb{C}$. Действие оператора $\mathcal{C}\in GL(V)$ определяется правилом $(\mathcal{A},v)\mapsto(\mathcal{C}\mathcal{A}\mathcal{C}^{-1},\mathcal{C}v)$.

Другая интерпретация задачи: к какому каноническому виду можно привести одновременно матрицу линейного оператора и столбец координат вектора путём замены базиса?

а) Свести задачу к случаю нильпотентного оператора $\mathcal{A}$.
б) Свести задачу к описанию орбит группы $GL(V)\cap Z(\mathcal{A})$ на пространстве $V$, где $\mathcal{A}$ — фиксированный нильпотентный оператор.
в) Решить последнюю задачу, найдя канонические представители орбит для этого действия.

предыдущий семинар	2 октября 2014 г.	следующий семинар
Тема 4 Обсуждение и разбор задач прошлых семинаров Задачи Задача 4.1. Классифицировать орбиты пар $(\mathcal{A},v)$ относительно группы $GL(V)$, где $v\in V$ — вектор, а $\mathcal{A}\in L(V)$ — линейный оператор на пространстве $V$ над полем $\mathbb{C}$. Действие оператора $\mathcal{C}\in GL(V)$ определяется правилом $(\mathcal{A},v)\mapsto(\mathcal{C}\mathcal{A}\mathcal{C}^{-1},\mathcal{C}v)$. Другая интерпретация задачи: к какому каноническому виду можно привести одновременно матрицу линейного оператора и столбец координат вектора путём замены базиса? а) Свести задачу к случаю нильпотентного оператора $\mathcal{A}$. б) Свести задачу к описанию орбит группы $GL(V)\cap Z(\mathcal{A})$ на пространстве $V$, где $\mathcal{A}$ — фиксированный нильпотентный оператор. в) Решить последнюю задачу, найдя канонические представители орбит для этого действия.