| 11 сентября 2015 г. | ||
|
Тема 1 Линейные группы Ли Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. Через $L(V)$ обозначим алгебру линейных операторов на $V$, а через $L_n(\mathbb{K})$ — изоморфную ей (посредством выбора базиса в $V$) алгебру квадратных матриц размера $n\times n$ над $\mathbb{K}$ ($n=\dim V$). Линейные операторы будем обозначать рукописными заглавными латинскими буквами, а их матрицы — соответствующими печатными заглавными латинскими буквами. Будем рассматривать дифференцируемые пути (параметризованные кривые) $t\mapsto\mathcal{A}(t)\in L(V)$ ($t$ — вещественный параметр). Дифференцируемость операторнозначной функции эквивалентна дифференцируемости её матричных элементов $t\mapsto a_{ij}(t)$ в произвольном базисе пространства $V$. Производная определяется обычным образом: $$\mathcal{A}'(t)=\lim_{\Delta{t}\to0}\frac{\mathcal{A}(t+\Delta{t})-\mathcal{A}(t)}{\Delta{t}},$$ на матричном языке: $$A'(t)=\lim_{\Delta{t}\to0}\frac{A(t+\Delta{t})-A(t)}{\Delta{t}}=\left(a_{ij}'(t)\right)_{i,j=1}^n.$$ Свойства производной: \begin{align} (\mathcal{A}(t)+\mathcal{B}(t))'&=\mathcal{A}'(t)+\mathcal{B}'(t), \\ (\mathcal{A}(t)\cdot\mathcal{B}(t))'&=\mathcal{A}'(t)\cdot\mathcal{B}(t)+\mathcal{A}(t)\cdot\mathcal{B}'(t), \\ (\mathcal{A}(t)^{-1})'&=-\mathcal{A}(t)^{-1}\cdot\mathcal{A}'(t)\cdot\mathcal{A}(t)^{-1}. \end{align} Пример. Если в некоторой окрестности $t=0$ операторы $\mathcal{A}(t)$ ортогональны, и $\mathcal{A}(0)=\mathcal{E}$, то оператор $\mathcal{X}=\mathcal{A}'(0)$ кососимметричен (это легко следует из формулы дифференцирования $\mathcal{A}(t)^{-1}=\mathcal{A}(t)^*$, где $\mathcal{B}^*$ обозначает оператор, сопряжённый к оператору $\mathcal{B}$). Более общо, если $\mathcal{A}(t)$ сохраняет билинейную форму $\beta$, то оператор $\mathcal{X}$ кососимметричен относительно формы $\beta$. Обратное неверно для произвольных путей, однако верно для путей специального вида. Напомним, что экспонента линейного оператора определяется при помощи абсолютно сходящегося ряда $$\exp\mathcal{X}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathcal{X}^k}{k!}$$ и обладает важным свойством: $$\mathcal{X}\mathcal{Y}=\mathcal{Y}\mathcal{X}\implies\exp(\mathcal{X}+\mathcal{Y})=\exp(\mathcal{X})\cdot\exp(\mathcal{Y}).$$ Определение 1. Однопараметрическая группа линейных операторов, порождённая оператором $\mathcal{X}\in L(V)$, — это кривая $\mathcal{A}(t)=\exp(t\mathcal{X})$ ($t\in\mathbb{R}$). Однопараметрическая группа задаёт гомоморфизм из аддитивной группы поля $\mathbb{R}$ в группу $GL(V)$. Она дифференцируема по параметру, причём $$\mathcal{A}'(t)=\mathcal{A}(t)\cdot\mathcal{X}=\mathcal{X}\cdot\mathcal{A}(t).$$ Пример. Если оператор $\mathcal{X}\in L(V)$ кососимметричен относительно билинейной формы $\beta$, то $\mathcal{A}(t)=\exp(t\mathcal{X})$ сохраняет форму $\beta$ (для доказательства достаточно продифференцировать функцию $f(t)=\beta(\mathcal{A}(t)u,\mathcal{A}(t)v)$ при произвольных векторах $u,v\in V$). Определение 2. Линейная группа Ли — это подгруппа $G\subset GL(V)$, одновременно являющаяся гладким подмногообразием (т.е. задаваемая в окрестности каждой своей точки системой дифференцируемых уравнений на матричные элементы, у которой ранг матрицы Якоби равен числу уравнений). Алгебраическая линейная группа — это подгруппа $G\subset GL(V)$, являющаяся алгебраическим подмногообразием, т.е. задаваемая системой алгебраических (полиномиальных) уравнений на матричные элементы. Теорема 1. Всякая алгебраическая линейная группа является линейной группой Ли. Примеры. Группа $O(V,\beta)$ линейных преобразований пространства $V$, сохраняющих билинейную форму $\beta$, и группа $\operatorname{Aut}(V)$ автоморфизмов алгебры $V$ являются алгебраическими линейными группами. Однако не всякая линейная группа Ли является алгебраической (см. задачу 1.4). Рассмотрим касательное пространство $\mathfrak{g}=T_{\mathcal{E}}G$ к линейной группе Ли $G$ в точке $\mathcal{E}$. Теорема 2. $\exp(\mathfrak{g})\subseteq G$. Для доказательства можно рассмотреть дифференциальное уравнение $\mathcal{A}'(t)=\mathcal{A}(t)\cdot\mathcal{X}$ в локальных координатах на $G$ и воспользоваться теоремой о существовании и единственности решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема 3. $\mathcal{X},\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}\implies[\mathcal{X},\mathcal{Y}]=\mathcal{X}\mathcal{Y}-\mathcal{Y}\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$. Доказательство основано на теореме 2 и формуле $$ \left.\frac{\partial^2}{\partial{s}\partial{t}}(\exp(s\mathcal{X}),\exp(t\mathcal{Y}))\right|_{s=t=0}=[\mathcal{X},\mathcal{Y}], $$ где $(\mathcal{A},\mathcal{B})=\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A}^{-1}\mathcal{B}^{-1}$ — групповой коммутатор. Операция коммутирования в алгебре $L(V)\simeq L_n(\mathbb{K})$ обладает следуюшими свойствами: (1) билинейность; (2) антикоммутативность: $[\mathcal{X},\mathcal{Y}]=-[\mathcal{Y},\mathcal{X}]$; (3) тождество Якоби: $[[\mathcal{X},\mathcal{Y}],\mathcal{Z}]+[[\mathcal{Y},\mathcal{Z}],\mathcal{X}]+[[\mathcal{Z},\mathcal{X}],\mathcal{Y}]=0$. Определение 3. Абстрактная алгебра $\mathfrak{g}$, операция умножения в которой обладает свойствами (1)—(3), называется алгеброй Ли. Произведение элементов $x,y$ в алгебре Ли $\mathfrak{g}$ называется их коммутатором и обозначается $[x,y]$. Примером нематричной алгебры Ли является бесконечомерная алгебра Ли векторных полей на пространстве $\mathbb{K}^n$. Задача 1.1. $(\det\mathcal{A}(t))'=\det\mathcal{A}(t)\cdot\operatorname{tr}(\mathcal{A}(t)^{-1}\mathcal{A}'(t))$ для любой дифференцируемой кривой $\mathcal{A}(t)\in GL(V)$. Задача 1.2. Пусть $V$ — алгебра. Тогда $\mathcal{A}(t)\in\operatorname{Aut}(V),\ \mathcal{A}(0)=\mathcal{E}\implies\mathcal{X}=\mathcal{A}'(0)\in\operatorname{Der}(V)$. Задача 1.3. Пусть $V$ — алгебра. Тогда $\mathcal{X}\in\operatorname{Der}(V)\implies\mathcal{A}(t)=\exp(t\mathcal{X})\in\operatorname{Aut}(V)$.
Задача 1.4.
Доказать, что нижеследующая группа $G$ является линейной группой Ли, но не алгебраической линейной группой:
|
||