18 сентября 2015 г.

Тема 2

Свойства экспоненциального отображения

Пусть $G\subseteq GL(V)$ — линейная группа Ли, а $\mathfrak{g}\subseteq L(V)$ — её касательная алгебра Ли. В теории групп Ли общепринято обозначать группы Ли заглавными латинскими буквами или буквосочетаниями печатным шрифтом, а их алгебры Ли — соответствующими строчными буквами или буквосочетаниями готическим шрифтом. В рамках этого соглашения, например, алгебра Ли группы $GL(V)$, т.е. алгебра $L(V)$, обозначается как $\mathfrak{gl}(V)$.

Экспоненциальное отображение $\exp:\mathfrak{g}\to G$ имеет следующие свойства:

$\exp$ дифференцируемо в любой точке.

Это видно из явной формулы для экспоненциального отображения (абсолютно сходящиеся степенные ряды можно дифференцировать почленно). Другое доказательство основано на том, что функция $\mathcal{A}(t)=\exp(t\mathcal{X})$ является решением дифференциального уравнения $\mathcal{A}'(t)=\mathcal{X}\cdot\mathcal{A}(t)$, и на теореме о дифференцируемой зависимости решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров. Явная формула для дифференциала экспоненциального отображения в любой точке содержится в задаче 2.1. В частности,

$d_0\exp(\mathcal{Y})=\mathcal{Y},\quad\forall\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}$.

$\exp$ диффеоморфно отображает окрестность $0\in\mathfrak{g}$ на окрестность $\mathcal{E}\in G$.

Экспоненциальное отображение в целом может быть не инъективным и не сюръективным даже для связной группы Ли (см. задачу 2.4).

Теорема. Связная линейная группа Ли однозначно определяется (как подгруппа в полной линейной группе) своей касательной алгеброй Ли.

Теорема вытекает из следующей леммы.

Лемма. Связная линейная группа Ли порождается (как абстрактная группа) любой окрестностью единичного элемента.

Из леммы и свойства 3 экспоненциального отображения вытекает, что связная линейная группа Ли $G$ порождается как группа множеством $\exp(\mathfrak{g})$, что и доказывает теорему.

Для доказательства леммы рассмотрим подгруппу $H$ связной группы Ли $G$, порождённую некоторой окрестностью $U$ элемента $\mathcal{E}$. Подгруппа $H$ открыта, поскольку вместе с каждым элементом $\mathcal{A}\in H$ содержит его окрестность $\mathcal{A}\cdot U$. С другой стороны, $H$ замкнута: если $\mathcal{A}\in\overline{H}$, то его окрестность $\mathcal{A}\cdot U$ содержит элемент $\mathcal{B}=\mathcal{A}\mathcal{C}\in H$, откуда $\mathcal{A}=\mathcal{B}\mathcal{C}^{-1}\in H$. Значит, $H=G$.

Задачи

Задача 2.1. Доказать формулу Маурера–Картана для дифференциала экспоненциального отображения в точке $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$: $$ d_{\mathcal{X}}\exp(\mathcal{Y})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[\overbrace{\mathcal{X},[\mathcal{X},[\dots[\mathcal{X}}^n,\mathcal{Y}]\dots]]]}{(n+1)!} \cdot\exp{\mathcal{X}}=\frac{\exp(\operatorname{ad}\mathcal{X})-\mathcal{E}}{\operatorname{ad}\mathcal{X}}(\mathcal{Y})\cdot\exp{\mathcal{X}}, $$ где $\operatorname{ad}\mathcal{X}:\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ — оператор коммутирования (присоединённый оператор): $(\operatorname{ad}\mathcal{X})(\mathcal{Y})=[\mathcal{X},\mathcal{Y}]$.

Задача 2.2. В достаточно малой окрестности $\mathcal{E}\in G$ имеет место формула обращения экспоненциального отображения: $$\exp^{-1}(\mathcal{A})=\ln(\mathcal{A})=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(\mathcal{A}-\mathcal{E})^n}n.$$

Задача 2.3. При каких $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$ отображение $\exp:\mathfrak{g}\to G$ является локальным диффеоморфизмом в окрестности $\mathcal{X}$? (Указание: ответ даётся в терминах собственных значений оператора $\operatorname{ad}\mathcal{X}$.)

Задача 2.4. а) Для группы Ли $GL_n(\mathbb{C})$ экспоненциальное отображение не инъективно, но сюръективно.
б) Для группы Ли $GL_2(\mathbb{R})^+$ вещественных $(2\times2)$-матриц с положительным определителем экспоненциальное отображение не инъективно и не сюръективно, а его образ не плотен в группе.
в) для группы Ли $G$, состоящей из $(n\times n)$-матриц вида $$ \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & 1 & & * & \\ & & \ddots & \\ & \mathrm{O} & & 1 & \\ & & & & 1\\ \end{pmatrix}$$ над полем $\mathbb{K}$, экспоненциальное отображение — диффеоморфизм.

предыдущий семинар	18 сентября 2015 г.	следующий семинар
Тема 2 Свойства экспоненциального отображения Пусть $G\subseteq GL(V)$ — линейная группа Ли, а $\mathfrak{g}\subseteq L(V)$ — её касательная алгебра Ли. В теории групп Ли общепринято обозначать группы Ли заглавными латинскими буквами или буквосочетаниями печатным шрифтом, а их алгебры Ли — соответствующими строчными буквами или буквосочетаниями готическим шрифтом. В рамках этого соглашения, например, алгебра Ли группы $GL(V)$, т.е. алгебра $L(V)$, обозначается как $\mathfrak{gl}(V)$. Экспоненциальное отображение $\exp:\mathfrak{g}\to G$ имеет следующие свойства: $\exp$ дифференцируемо в любой точке. Это видно из явной формулы для экспоненциального отображения (абсолютно сходящиеся степенные ряды можно дифференцировать почленно). Другое доказательство основано на том, что функция $\mathcal{A}(t)=\exp(t\mathcal{X})$ является решением дифференциального уравнения $\mathcal{A}'(t)=\mathcal{X}\cdot\mathcal{A}(t)$, и на теореме о дифференцируемой зависимости решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров. Явная формула для дифференциала экспоненциального отображения в любой точке содержится в задаче 2.1. В частности, $d_0\exp(\mathcal{Y})=\mathcal{Y},\quad\forall\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}$. $\exp$ диффеоморфно отображает окрестность $0\in\mathfrak{g}$ на окрестность $\mathcal{E}\in G$. Экспоненциальное отображение в целом может быть не инъективным и не сюръективным даже для связной группы Ли (см. задачу 2.4). Теорема. Связная линейная группа Ли однозначно определяется (как подгруппа в полной линейной группе) своей касательной алгеброй Ли. Теорема вытекает из следующей леммы. Лемма. Связная линейная группа Ли порождается (как абстрактная группа) любой окрестностью единичного элемента. Из леммы и свойства 3 экспоненциального отображения вытекает, что связная линейная группа Ли $G$ порождается как группа множеством $\exp(\mathfrak{g})$, что и доказывает теорему. Для доказательства леммы рассмотрим подгруппу $H$ связной группы Ли $G$, порождённую некоторой окрестностью $U$ элемента $\mathcal{E}$. Подгруппа $H$ открыта, поскольку вместе с каждым элементом $\mathcal{A}\in H$ содержит его окрестность $\mathcal{A}\cdot U$. С другой стороны, $H$ замкнута: если $\mathcal{A}\in\overline{H}$, то его окрестность $\mathcal{A}\cdot U$ содержит элемент $\mathcal{B}=\mathcal{A}\mathcal{C}\in H$, откуда $\mathcal{A}=\mathcal{B}\mathcal{C}^{-1}\in H$. Значит, $H=G$. Задачи Задача 2.1. Доказать формулу Маурера–Картана для дифференциала экспоненциального отображения в точке $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$: $$ d_{\mathcal{X}}\exp(\mathcal{Y})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[\overbrace{\mathcal{X},[\mathcal{X},[\dots[\mathcal{X}}^n,\mathcal{Y}]\dots]]]}{(n+1)!} \cdot\exp{\mathcal{X}}=\frac{\exp(\operatorname{ad}\mathcal{X})-\mathcal{E}}{\operatorname{ad}\mathcal{X}}(\mathcal{Y})\cdot\exp{\mathcal{X}}, $$ где $\operatorname{ad}\mathcal{X}:\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ — оператор коммутирования (присоединённый оператор): $(\operatorname{ad}\mathcal{X})(\mathcal{Y})=[\mathcal{X},\mathcal{Y}]$. Задача 2.2. В достаточно малой окрестности $\mathcal{E}\in G$ имеет место формула обращения экспоненциального отображения: $$\exp^{-1}(\mathcal{A})=\ln(\mathcal{A})=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(\mathcal{A}-\mathcal{E})^n}n.$$ Задача 2.3. При каких $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$ отображение $\exp:\mathfrak{g}\to G$ является локальным диффеоморфизмом в окрестности $\mathcal{X}$? (Указание: ответ даётся в терминах собственных значений оператора $\operatorname{ad}\mathcal{X}$.) Задача 2.4. а) Для группы Ли $GL_n(\mathbb{C})$ экспоненциальное отображение не инъективно, но сюръективно. б) Для группы Ли $GL_2(\mathbb{R})^+$ вещественных $(2\times2)$-матриц с положительным определителем экспоненциальное отображение не инъективно и не сюръективно, а его образ не плотен в группе. в) для группы Ли $G$, состоящей из $(n\times n)$-матриц вида $$ \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & 1 & & * & \\ & & \ddots & \\ & \mathrm{O} & & 1 & \\ & & & & 1\\ \end{pmatrix}$$ над полем $\mathbb{K}$, экспоненциальное отображение — диффеоморфизм.