Определение 1. Пусть $G\subseteq GL(V)$ и $H\subseteq GL(W)$ — линейные группы Ли. Гомоморфизм групп Ли $\varphi:G\to H$ — это гомоморфизм абстрактных групп, являющийся дифференцируемым отображением (т.е. матричные элементы оператора $\varphi(\mathcal{A})\in H$ в выбранном базисе пространства $W$ являются дифференцируемыми функциями от матричных элементов оператора $\mathcal{A}\in G$ в выбранном базисе пространства $V$, образующих систему локальных координат на группе Ли $G$).

Определение 2. Дифференциалом гомоморфизма групп Ли $\varphi:G\to H$ называется дифференциал отображения $\varphi$ в единице: $$d\varphi=d_{\mathcal{E}}\varphi:\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}.$$

По поводу дифференциалов гомоморфизма групп Ли в остальных точках см. задачу 3.1.

Пример. Для гомоморфизма $\det:GL_n(\mathbb{K})\to\mathbb{K}^{\times}=GL_1(\mathbb{K})$ имеем $d(\det)=\operatorname{tr}$.

Теорема 1. Дифференциал гомоморфизма групп Ли является гомоморфизмом алгебр Ли.

В обозначениях определения 1 теорема доказывается двукратным дифференцированием тождества \begin{multline} \varphi\bigl(\exp(s\mathcal{X})\exp(t\mathcal{Y})\exp(-s\mathcal{X})\exp(-t\mathcal{Y})\bigr)=\\= \varphi(\exp(s\mathcal{X}))\,\varphi(\exp(t\mathcal{Y}))\,\varphi(\exp(-s\mathcal{X}))\,\varphi(\exp(-t\mathcal{Y}))=\\= \exp(s\,d\varphi(\mathcal{X}))\,\exp(t\,d\varphi(\mathcal{Y}))\,\exp(-s\,d\varphi(\mathcal{X}))\,\exp(-t\,d\varphi(\mathcal{Y})) \end{multline} по $s$ и $t$ при $s=t=0$ ($\mathcal{X},\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}$), связывающим групповой коммутатор с коммутатором в касательной алгебре Ли (ср. доказательство теоремы 1.3).

Теорема 2. Для любого гомоморфизма групп Ли $\varphi:G\to H$ имеет место тождество $$\varphi(\exp\mathcal{X})=\exp d\varphi(\mathcal{X}),\qquad\forall\mathcal{X}\in\mathfrak{g}.$$

Для доказательства нужно заметить (здесь понадобится задача 3.1), что кривая $\mathcal{A}(t)=\varphi(\exp(t\mathcal{X}))$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $\mathcal{A}'(t)=d\varphi(\mathcal{X})\cdot\mathcal{A}(t)$ с начальным условием $\mathcal{A}(0)=\mathcal{E}$, т.е. является однопараметрической группой с порождающим вектором $d\varphi(\mathcal{X})$.

Пример. $\det(\exp\mathcal{X})=e^{\operatorname{tr}\mathcal{X}}$.

Следствие. Гомоморфизм связной группы Ли однозначно восстанавливается по своему дифференциалу.

Утверждение вытекает из теоремы 2 и того обстоятельства, что связная группа Ли порождается образом экспоненциального отображения.

Задача 3.1. Доказать формулу для дифференциала гомоморфизма групп Ли $\varphi:G\to H$ в точке $\mathcal{A}\in G$: $$ d_{\mathcal{A}}\varphi(\mathcal{X})=\varphi(\mathcal{A})\cdot d_{\mathcal{E}}\varphi(\mathcal{A}^{-1}\mathcal{X}) =d_{\mathcal{E}}\varphi(\mathcal{X}\mathcal{A}^{-1})\cdot\varphi(\mathcal{A}),\qquad\forall\mathcal{X}\in T_{\mathcal{A}}G. $$