Частным случаем гомоморфизмов групп Ли являются их линейные представления.

Определение 1. Линейное представление группы Ли — это гомоморфизм групп Ли $\mathcal{R}:G\to GL(W)$.

Определение 2. Линейное представление алгебры Ли — это гомоморфизм алгебр Ли $\rho:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(W)$.

Из теоремы 3.1 вытекает, что дифференциал линейного представления группы Ли является линейным представлением её касательной алгебры Ли.

Любой невырожденный линейный оператор $\mathcal{A}\in GL(V)$ определяет присоединённый оператор $\operatorname{Ad}(\mathcal{A}):L(V)\to L(V)$ по формуле $$\operatorname{Ad}(\mathcal{A})(\mathcal{B})=\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A}^{-1}.$$ Присоединённый оператор является автоморфизмом ассоциативной алгебры.

Если $G\subseteq GL(V)$ — линейная группа Ли и $\mathcal{A}\in G$, то $\operatorname{Ad}(\mathcal{A})$ сохраняет группу $G$ и действует на неё автоморфизмом группы Ли. Так как оператор $\operatorname{Ad}(\mathcal{A})$ линеен, он совпадает со своим дифференциалом и сохраняет касательную алгебру Ли $\mathfrak{g}$, действуя на неё автоморфизмом алгебры Ли по теореме 3.1. Возникает присоединённое представление группы Ли $$\operatorname{Ad}:G\to GL(\mathfrak{g}).$$

С другой стороны, любой элемент $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$ определяет присоединённый оператор $\operatorname{ad}(\mathcal{X}):\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ по формуле $$\operatorname{ad}(\mathcal{X})(\mathcal{Y})=[\mathcal{X},\mathcal{Y}].$$ Возникает присоединённое представление алгебры Ли $$\operatorname{ad}:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{g}).$$ То, что это действительно линейное представление, т.е. гомоморфизм алгебр Ли, вытекает из тождества Якоби, а также из теоремы 3.1 ввиду следующей теоремы.

Теорема 1. $d(\operatorname{Ad})=\operatorname{ad}$.

Для доказательства нужно просто вычислить действие оператора $$d\operatorname{Ad}\,(\mathcal{X})=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\operatorname{Ad}(\exp t\mathcal{X})$$ на произвольный элемент $\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}$.

Теорема 1 даёт ещё одно доказательство теоремы 1.3, а также два новых доказательства тождества Якоби:

с одной стороны, $\operatorname{Ad}$ — отображение из $G$ в $\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$, а значит, $\operatorname{ad}$ — отображение из $\mathfrak{g}$ в $T_{\mathcal{E}}\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})=\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$, т.е. всякий оператор $\operatorname{ad}(\mathcal{X})$ — дифференцирование алгебры $\mathfrak{g}$;
с другой стороны, $\operatorname{Ad}$ — гомоморфизм из $G$ в $GL(\mathfrak{g})$, а значит, $\operatorname{ad}$ — гомоморфизм из $\mathfrak{g}$ в $\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$, т.е. $\operatorname{ad}([\mathcal{X},\mathcal{Y}])=[\operatorname{ad}(\mathcal{X}),\operatorname{ad}(\mathcal{Y})]$.

Легко видеть, что каждое из этих свойств равносильно тождеству Якоби.

Сочетание с теоремой 3.2 даёт еще одно

Следствие. $\operatorname{Ad}(\exp\mathcal{X})=\exp\operatorname{ad}(\mathcal{X})$, т.е. $$ \exp\mathcal{X}\cdot\mathcal{Y}\cdot\exp(-\mathcal{X})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[\overbrace{\mathcal{X},[\mathcal{X},[\dots[\mathcal{X}}^n,\mathcal{Y}]\dots]]]}{n!}. $$

Всякое линейное представление $\mathcal{R}:G\to GL(W)$ группы Ли определяет линейное представление $\rho=d\mathcal{R}:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(W)$ её касательной алгебры Ли. При этом, если группа Ли $G$ связна, то представление $\mathcal{R}$ однозначно восстанавливается по своему дифференциалу $\rho$ (следствие теоремы 3.2). Однако, вообще говоря, не любое линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{g}$ является дифференциалом некоторого линейного представления группы Ли $G$.

Пример. Группа Ли $G=U_1=\{u\in\mathbb{C}\mid|u|=1\}$ (единичная окружность на комплексной плоскости) имеет касательную алгебру Ли $\mathfrak{g}=\boldsymbol{i}\mathbb{R}$. Линейное представление $\rho:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(W)$ этой алгебры Ли задаётся произвольным линейным оператором $\mathcal{X}=\rho(\boldsymbol{i}):W\to W$. Однако не любой $\mathcal{X}$ определяет представление $\mathcal{R}:G\to GL(W)$ с дифференциалом $\rho$ (задача 4.2).

Для односвязной группы Ли $G$ дифференциалы её линейных представлений дают все линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{g}$.

Взаимосвязь между линейными представлениями групп Ли и алгебр Ли отражается в следующей теореме.

Теорема 2. Пусть $\mathcal{R}:G\to GL(W)$ — представление связной группы Ли и $\rho=d\mathcal{R}$. Подпространство $U\subset W$ инвариантно относительно $G$ (в представлении $\mathcal{R}$) тогда и только тогда, когда оно инвариантно относительно $\mathfrak{g}$ (в представлении $\rho$).

В самом деле, с одной стороны, операторы $$\rho(\mathcal{X})=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\mathcal{R}(\exp t\mathcal{X})=\lim_{t\to0}\frac{\mathcal{R}(\exp t\mathcal{X})-\mathcal{E}}t$$ сохраняют $U$, если все операторы $\mathcal{R}(\exp t\mathcal{X})$ сохраняют $U$. А с другой стороны, если $\rho(\mathcal{X})$ сохраняет $U$ для всех $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$, то $$\mathcal{R}(\exp\mathcal{X})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\rho(\mathcal{X})^n}{n!}$$ сохраняет $U$, и остаётся воспользоваться тем, что множество $\exp(\mathfrak{g})$ порождает группу $G$.

Для присоединённого представления алгебры Ли инвариантные подпространства — это идеалы в алгебре Ли. Таким образом, присоединённое представление неприводимо тогда и только тогда, когда алгебра Ли проста, т.е. не содержит нетривиальных идеалов.

предыдущий семинар	2 октября 2015 г.	следующий семинар
Тема 4 Линейные представления групп и алгебр Ли. Присоединённое представление. Частным случаем гомоморфизмов групп Ли являются их линейные представления. Определение 1. Линейное представление группы Ли — это гомоморфизм групп Ли $\mathcal{R}:G\to GL(W)$. Определение 2. Линейное представление алгебры Ли — это гомоморфизм алгебр Ли $\rho:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(W)$. Из теоремы 3.1 вытекает, что дифференциал линейного представления группы Ли является линейным представлением её касательной алгебры Ли. Любой невырожденный линейный оператор $\mathcal{A}\in GL(V)$ определяет присоединённый оператор $\operatorname{Ad}(\mathcal{A}):L(V)\to L(V)$ по формуле $$\operatorname{Ad}(\mathcal{A})(\mathcal{B})=\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A}^{-1}.$$ Присоединённый оператор является автоморфизмом ассоциативной алгебры. Если $G\subseteq GL(V)$ — линейная группа Ли и $\mathcal{A}\in G$, то $\operatorname{Ad}(\mathcal{A})$ сохраняет группу $G$ и действует на неё автоморфизмом группы Ли. Так как оператор $\operatorname{Ad}(\mathcal{A})$ линеен, он совпадает со своим дифференциалом и сохраняет касательную алгебру Ли $\mathfrak{g}$, действуя на неё автоморфизмом алгебры Ли по теореме 3.1. Возникает присоединённое представление группы Ли $$\operatorname{Ad}:G\to GL(\mathfrak{g}).$$ С другой стороны, любой элемент $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$ определяет присоединённый оператор $\operatorname{ad}(\mathcal{X}):\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ по формуле $$\operatorname{ad}(\mathcal{X})(\mathcal{Y})=[\mathcal{X},\mathcal{Y}].$$ Возникает присоединённое представление алгебры Ли $$\operatorname{ad}:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{g}).$$ То, что это действительно линейное представление, т.е. гомоморфизм алгебр Ли, вытекает из тождества Якоби, а также из теоремы 3.1 ввиду следующей теоремы. Теорема 1. $d(\operatorname{Ad})=\operatorname{ad}$. Для доказательства нужно просто вычислить действие оператора $$d\operatorname{Ad}\,(\mathcal{X})=\left.\frac{d}{dt}\right\|_{t=0}\operatorname{Ad}(\exp t\mathcal{X})$$ на произвольный элемент $\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}$. Теорема 1 даёт ещё одно доказательство теоремы 1.3, а также два новых доказательства тождества Якоби: с одной стороны, $\operatorname{Ad}$ — отображение из $G$ в $\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$, а значит, $\operatorname{ad}$ — отображение из $\mathfrak{g}$ в $T_{\mathcal{E}}\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})=\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$, т.е. всякий оператор $\operatorname{ad}(\mathcal{X})$ — дифференцирование алгебры $\mathfrak{g}$; с другой стороны, $\operatorname{Ad}$ — гомоморфизм из $G$ в $GL(\mathfrak{g})$, а значит, $\operatorname{ad}$ — гомоморфизм из $\mathfrak{g}$ в $\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$, т.е. $\operatorname{ad}([\mathcal{X},\mathcal{Y}])=[\operatorname{ad}(\mathcal{X}),\operatorname{ad}(\mathcal{Y})]$. Легко видеть, что каждое из этих свойств равносильно тождеству Якоби. Сочетание с теоремой 3.2 даёт еще одно Следствие. $\operatorname{Ad}(\exp\mathcal{X})=\exp\operatorname{ad}(\mathcal{X})$, т.е. $$ \exp\mathcal{X}\cdot\mathcal{Y}\cdot\exp(-\mathcal{X})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{[\overbrace{\mathcal{X},[\mathcal{X},[\dots[\mathcal{X}}^n,\mathcal{Y}]\dots]]]}{n!}. $$ Всякое линейное представление $\mathcal{R}:G\to GL(W)$ группы Ли определяет линейное представление $\rho=d\mathcal{R}:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(W)$ её касательной алгебры Ли. При этом, если группа Ли $G$ связна, то представление $\mathcal{R}$ однозначно восстанавливается по своему дифференциалу $\rho$ (следствие теоремы 3.2). Однако, вообще говоря, не любое линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{g}$ является дифференциалом некоторого линейного представления группы Ли $G$. Пример. Группа Ли $G=U_1=\{u\in\mathbb{C}\mid\|u\|=1\}$ (единичная окружность на комплексной плоскости) имеет касательную алгебру Ли $\mathfrak{g}=\boldsymbol{i}\mathbb{R}$. Линейное представление $\rho:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(W)$ этой алгебры Ли задаётся произвольным линейным оператором $\mathcal{X}=\rho(\boldsymbol{i}):W\to W$. Однако не любой $\mathcal{X}$ определяет представление $\mathcal{R}:G\to GL(W)$ с дифференциалом $\rho$ (задача 4.2). Для односвязной группы Ли $G$ дифференциалы её линейных представлений дают все линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Взаимосвязь между линейными представлениями групп Ли и алгебр Ли отражается в следующей теореме. Теорема 2. Пусть $\mathcal{R}:G\to GL(W)$ — представление связной группы Ли и $\rho=d\mathcal{R}$. Подпространство $U\subset W$ инвариантно относительно $G$ (в представлении $\mathcal{R}$) тогда и только тогда, когда оно инвариантно относительно $\mathfrak{g}$ (в представлении $\rho$). В самом деле, с одной стороны, операторы $$\rho(\mathcal{X})=\left.\frac{d}{dt}\right\|_{t=0}\mathcal{R}(\exp t\mathcal{X})=\lim_{t\to0}\frac{\mathcal{R}(\exp t\mathcal{X})-\mathcal{E}}t$$ сохраняют $U$, если все операторы $\mathcal{R}(\exp t\mathcal{X})$ сохраняют $U$. А с другой стороны, если $\rho(\mathcal{X})$ сохраняет $U$ для всех $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$, то $$\mathcal{R}(\exp\mathcal{X})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\rho(\mathcal{X})^n}{n!}$$ сохраняет $U$, и остаётся воспользоваться тем, что множество $\exp(\mathfrak{g})$ порождает группу $G$. Для присоединённого представления алгебры Ли инвариантные подпространства — это идеалы в алгебре Ли. Таким образом, присоединённое представление неприводимо тогда и только тогда, когда алгебра Ли проста, т.е. не содержит нетривиальных идеалов. Задачи Задача 4.1. Пусть $\varphi:G\to H$ — гомоморфизм групп Ли. Тогда $$ \operatorname{Ad}(\varphi(A))\bigl(d\varphi(\mathcal{X})\bigr)=d\varphi\bigl(\operatorname{Ad}(A)(\mathcal{X})\bigr),\qquad\forall\mathcal{A}\in G,\ \mathcal{X}\in\mathfrak{g}. $$ Задача 4.2. Для линейного оператора $\mathcal{X}:W\to W$ существует линейное представление $\mathcal{R}:U_1\to GL(W)$ с $d\mathcal{R}(\boldsymbol{i})=\mathcal{X}$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{X}$ диагонализуем и все его собственные значения принадлежат множеству $\boldsymbol{i}\mathbb{Z}$. Задача 4.3. Алгебра Ли $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{K})$ матриц со следом $0$ проста. Задача 4.4. а) Классифицировать алгебры Ли размерности $\le2$ и показать, что все они коммутативны или непросты. б) Доказать, что $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ — единственная трёхмерная простая алгебра Ли. в)* Классифицировать простые трёхмерные алгебры Ли над полем $\mathbb{R}$.