Алгебра Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{K})$ матриц размера $2\times2$ с нулевым следом над полем $\mathbb{K}$ имеет базис из матриц $$ E_+=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \qquad E_-=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \qquad H=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}, $$ связанных коммутационными соотношениями $$ [E_+,E_-]=H, \qquad [H,E_+]=2E_+, \qquad [H,E_-]=-2E_-. $$ Опишем для этой алгебры теорию конечномерных представлений. Вначале рассмотрим случай $\mathbb{K}=\mathbb{C}$. Подробнее об этом см. в §4 главы 12 книги Э.Б. Винберга "Курс алгебры" (3-е изд., Москва, Факториал Пресс, 2002), а также в материалах прошлогоднего семинара. Начнём с описания неприводимых представлений.

Теорема 1. Для каждого целого неотрицательного числа $m$ существует единственное, с точностью до изоморфизма, неприводимое комплексное представление $\rho=\rho_m:\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\to\mathfrak{gl}(V(m))$ размерности $m+1$. Пространство $V(m)$ имеет базис $\{v_0,v_1,\dots,v_m\}$, в котором операторы $\mathcal{E}_{\pm}=\rho(E_{\pm})$, $\mathcal{H}=\rho(H)$ действуют по формулам $$\mathcal{E}_-v_k=v_{k+1}, \qquad \mathcal{E}_+v_k=k(m-k+1)v_{k-1}, \qquad \mathcal{H}v_k=(m-2k)v_k$$ (где подразумевается, что $v_{-1}=v_{m+1}=0$).

Модель представления $\rho_m$. Рассмотрим пространство $V(m)=\mathbb{C}[x,y]_m$ однородных многочленов степени $m$ от переменных $x,y$. Группа Ли $SL_2(\mathbb{C})$ действует на нём линейными заменами переменных: $$ \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{pmatrix}:\quad x\mapsto ax+by,\quad y\mapsto cx+dy. $$

Возникает линейное представление $\mathcal{R}_m:SL_2(\mathbb{C})\to GL(V(m))$, и $\rho_m=d\mathcal{R}_m$. В этой модели операторы, соответствующие образующим алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, суть дифференциальные операторы $$ \mathcal{E}_+=x\frac\partial{\partial y}, \qquad \mathcal{E}_-=y\frac\partial{\partial x}, \qquad \mathcal{H}=x\frac\partial{\partial x}-y\frac\partial{\partial y}. $$

Теперь перейдём к произвольным представлениям.

Теорема 2. Все комплексные линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ вполне приводимы и являются дифференциалами линейных представлений группы Ли $SL_2(\mathbb{C})$.

Полную приводимость представлений можно доказать чисто алгебраически, и тогда второе утверждение теоремы будет следовать из построенной модели неприводимых представлений.

Есть другой путь: вначале доказать второе утверждение, а из него вывести полную приводимость.

Заметим, что $SL_2(\mathbb{C})\supset SU_2$, причём $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})=\mathfrak{su}_2\oplus\boldsymbol{i}\cdot\mathfrak{su}_2$ (первое слагаемое состоит из косоэрмитовых, а второе — из эрмитовых матриц со следом $0$). Группа Ли $SU_2$ компактна и односвязна — она гомеоморфна трёхмерной сфере $S^3$, так как всякая унитарная матрица с определителем $1$ имеет вид $$ \begin{pmatrix} a & -\bar{b} \\ b & \bar{a} \\ \end{pmatrix}, $$ где $a,b\in\mathbb{C}$, $|a|^2+|b|^2=1$.

Всякое представление $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\to\mathfrak{gl}(V)$ можно ограничить на подалгебру Ли $\mathfrak{su}_2$, причём инвариантные подпространства $U\subset V$ для алгебр Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ и $\mathfrak{su}_2$ одни и те же. Поскольку группа Ли $SU_2$ односвязна, представление алгебры Ли $\mathfrak{su}_2$ в пространстве $V$ является дифференциалом представления группы Ли $SU_2$, причём инвариантные подпространства для $\mathfrak{su}_2$ и $SU_2$ одни и те же. А из компактности следует, что все представления группы Ли $SU_2$ (а значит, и алгебр Ли $\mathfrak{su}_2$ и $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$) вполне приводимы (см. §2 главы 11 "Курса алгебры").

Этот метод доказательства полной приводимости принадлежит Г.Вейлю и называется унитарным трюком.

Построенную теорию можно перенести на линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$, как комплексные, так и вещественные (задача 5.1).

Предложение 1. Для любого линейного представления $\rho:\mathfrak{sl}_2\to\mathfrak{gl}(V)$ оператор $\mathcal{H}=\rho(H)$ диагонализуем, и его собственные значения — целые числа.

В самом деле, это верно для всех неприводимых представлений $\rho=\rho_m$: собственные значения оператора $\mathcal{H}$ суть $m,m-2,m-4,\dots,2-m,-m$.

Определение. Характер линейного представления $\rho$ — это многочлен Лорана $$ \chi_{\rho}(z)=z^{k_1}+\dots+z^{k_n}, $$ где $k_1,\dots,k_n\in\mathbb{Z}$ — собственные значения оператора $\mathcal{H}$ (с учётом кратностей). Также используются обозначения $\chi_V$ и $\chi_{\mathcal{R}}$, где $\mathcal{R}:SL_2\to GL(V)$ — линейное представление с $d\mathcal{R}=\rho$.

Замечание. Если $z=e^t$, то $$ Z= \begin{pmatrix} z & 0 \\ 0 & z^{-1} \\ \end{pmatrix} =\exp(tH)\in SL_2 $$ (к такому виду сопряжением можно привести все матрицы из плотного открытого подмножества в $SL_2$) и $\chi_{\rho}(z)=\operatorname{tr}\mathcal{R}(Z)$. Поэтому характеры линейных представлений алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ можно рассматривать в том же смысле, что и характеры представлений конечных групп ("Курс алгебры", глава 11, §4).

Предложение 2. Линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ однозначно определяется своим характером.

В самом деле, разложим данное представление в прямую сумму неприводимых представлений: $$V=V(m_1)\oplus\dots\oplus V(m_s).$$ Тогда $$\chi_V=\chi_{V(m_1)}+\dots+\chi_{V(m_s)}$$ (задача 5.2). Для характера неприводимого представления справедлива формула $$\chi_{V(m)}(z)=z^m+z^{m-2}+z^{m-4}+\dots+z^{-m}=\frac{z^{m+1}-z^{-m-1}}{z-z^{-1}},$$ из которой следует, что $$\chi_V(z)\cdot(z-z^{-1})=z^{m_1+1}-z^{-m_1-1}+\dots+z^{m_s+1}-z^{-m_s-1}.$$ Поэтому характер представления однозначно определяет набор неприводимых слагаемых в его разложении, а значит, и само представление.

Задача 5.1. а) Доказать теорему 2 для комплексных и вещественных представлений алгебры $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$.
Указание: вещественную алгебру Ли и её вещественное представление можно комплексифицировать.
б) Обобщить теорему 1 на комплексные и вещественные неприводимые представления алгебры $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$.

Задача 5.2. Пусть заданы представления группы $SL_2$ в пространствах $V$ и $W$. Доказать формулы для характеров прямой суммы и тензорного произведения представлений: $$ \chi_{V\oplus W}=\chi_V+\chi_W,\qquad\chi_{V\otimes W}=\chi_V\cdot\chi_W. $$

Задача 5.3. а) Доказать формулу Клебша-Гордана для разложения тензорного произведения неприводимых представлений группы $SL_2$ на неприводимые слагаемые: $$ V(m)\otimes V(n)\simeq V(m+n)\oplus V(m+n-2)\oplus V(m+n-4)\oplus\dots\oplus V(m-n)\qquad\text{(при $m\ge n$).} $$ б) Разложить на неприводимые слагаемые представление группы $SL_2$ в пространстве $S^2V(m)$.
в) Разложить на неприводимые слагаемые представление группы $SL_2$ в пространстве $\bigwedge^2V(m)$.

Задача 5.4. а) Любой нильпотентный линейный оператор $\mathcal{X}$ на пространстве $V$ можно включить в тройку линейных операторов $\mathcal{X},\mathcal{Y},\mathcal{H}$, удовлетворяющих коммутационным соотношениям $$ [\mathcal{X},\mathcal{Y}]=\mathcal{H}, \qquad [\mathcal{H},\mathcal{X}]=2\mathcal{X}, \qquad [\mathcal{H},\mathcal{Y}]=-2\mathcal{Y}, $$ причём $\mathcal{Y}$ тоже нильпотентен, а $\mathcal{H}$ диагонализуем.

Возникает линейное представление $\rho:\mathfrak{sl}_2\to\mathfrak{gl}(V)$, где $\rho(E_+)=\mathcal{X}$, $\rho(E_-)=\mathcal{Y}$, $\rho(H)=\mathcal{H}$.

б) Разложить представление $\rho$ на неприводимые слагаемые.
в) Разложить представление $\operatorname{ad}\circ\rho:\mathfrak{sl}_2\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{gl}(V))$ на неприводимые слагаемые.

Ответ в пунктах б) и в) даётся в терминах жордановой нормальной формы оператора $\mathcal{X}$.

предыдущий семинар	9 октября 2015 г.	следующий семинар
Тема 5 Представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ Алгебра Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{K})$ матриц размера $2\times2$ с нулевым следом над полем $\mathbb{K}$ имеет базис из матриц $$ E_+=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \qquad E_-=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \qquad H=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}, $$ связанных коммутационными соотношениями $$ [E_+,E_-]=H, \qquad [H,E_+]=2E_+, \qquad [H,E_-]=-2E_-. $$ Опишем для этой алгебры теорию конечномерных представлений. Вначале рассмотрим случай $\mathbb{K}=\mathbb{C}$. Подробнее об этом см. в §4 главы 12 книги Э.Б. Винберга "Курс алгебры" (3-е изд., Москва, Факториал Пресс, 2002), а также в материалах прошлогоднего семинара. Начнём с описания неприводимых представлений. Теорема 1. Для каждого целого неотрицательного числа $m$ существует единственное, с точностью до изоморфизма, неприводимое комплексное представление $\rho=\rho_m:\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\to\mathfrak{gl}(V(m))$ размерности $m+1$. Пространство $V(m)$ имеет базис $\{v_0,v_1,\dots,v_m\}$, в котором операторы $\mathcal{E}_{\pm}=\rho(E_{\pm})$, $\mathcal{H}=\rho(H)$ действуют по формулам $$\mathcal{E}_-v_k=v_{k+1}, \qquad \mathcal{E}_+v_k=k(m-k+1)v_{k-1}, \qquad \mathcal{H}v_k=(m-2k)v_k$$ (где подразумевается, что $v_{-1}=v_{m+1}=0$). Модель представления $\rho_m$. Рассмотрим пространство $V(m)=\mathbb{C}[x,y]_m$ однородных многочленов степени $m$ от переменных $x,y$. Группа Ли $SL_2(\mathbb{C})$ действует на нём линейными заменами переменных: $$ \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{pmatrix}:\quad x\mapsto ax+by,\quad y\mapsto cx+dy. $$ Возникает линейное представление $\mathcal{R}_m:SL_2(\mathbb{C})\to GL(V(m))$, и $\rho_m=d\mathcal{R}_m$. В этой модели операторы, соответствующие образующим алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, суть дифференциальные операторы $$ \mathcal{E}_+=x\frac\partial{\partial y}, \qquad \mathcal{E}_-=y\frac\partial{\partial x}, \qquad \mathcal{H}=x\frac\partial{\partial x}-y\frac\partial{\partial y}. $$ Теперь перейдём к произвольным представлениям. Теорема 2. Все комплексные линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ вполне приводимы и являются дифференциалами линейных представлений группы Ли $SL_2(\mathbb{C})$. Полную приводимость представлений можно доказать чисто алгебраически, и тогда второе утверждение теоремы будет следовать из построенной модели неприводимых представлений. Есть другой путь: вначале доказать второе утверждение, а из него вывести полную приводимость. Заметим, что $SL_2(\mathbb{C})\supset SU_2$, причём $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})=\mathfrak{su}_2\oplus\boldsymbol{i}\cdot\mathfrak{su}_2$ (первое слагаемое состоит из косоэрмитовых, а второе — из эрмитовых матриц со следом $0$). Группа Ли $SU_2$ компактна и односвязна — она гомеоморфна трёхмерной сфере $S^3$, так как всякая унитарная матрица с определителем $1$ имеет вид $$ \begin{pmatrix} a & -\bar{b} \\ b & \bar{a} \\ \end{pmatrix}, $$ где $a,b\in\mathbb{C}$, $\|a\|^2+\|b\|^2=1$. Всякое представление $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\to\mathfrak{gl}(V)$ можно ограничить на подалгебру Ли $\mathfrak{su}_2$, причём инвариантные подпространства $U\subset V$ для алгебр Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ и $\mathfrak{su}_2$ одни и те же. Поскольку группа Ли $SU_2$ односвязна, представление алгебры Ли $\mathfrak{su}_2$ в пространстве $V$ является дифференциалом представления группы Ли $SU_2$, причём инвариантные подпространства для $\mathfrak{su}_2$ и $SU_2$ одни и те же. А из компактности следует, что все представления группы Ли $SU_2$ (а значит, и алгебр Ли $\mathfrak{su}_2$ и $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$) вполне приводимы (см. §2 главы 11 "Курса алгебры"). Этот метод доказательства полной приводимости принадлежит Г.Вейлю и называется унитарным трюком. Построенную теорию можно перенести на линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$, как комплексные, так и вещественные (задача 5.1). Предложение 1. Для любого линейного представления $\rho:\mathfrak{sl}_2\to\mathfrak{gl}(V)$ оператор $\mathcal{H}=\rho(H)$ диагонализуем, и его собственные значения — целые числа. В самом деле, это верно для всех неприводимых представлений $\rho=\rho_m$: собственные значения оператора $\mathcal{H}$ суть $m,m-2,m-4,\dots,2-m,-m$. Определение. Характер линейного представления $\rho$ — это многочлен Лорана $$ \chi_{\rho}(z)=z^{k_1}+\dots+z^{k_n}, $$ где $k_1,\dots,k_n\in\mathbb{Z}$ — собственные значения оператора $\mathcal{H}$ (с учётом кратностей). Также используются обозначения $\chi_V$ и $\chi_{\mathcal{R}}$, где $\mathcal{R}:SL_2\to GL(V)$ — линейное представление с $d\mathcal{R}=\rho$. Замечание. Если $z=e^t$, то $$ Z= \begin{pmatrix} z & 0 \\ 0 & z^{-1} \\ \end{pmatrix} =\exp(tH)\in SL_2 $$ (к такому виду сопряжением можно привести все матрицы из плотного открытого подмножества в $SL_2$) и $\chi_{\rho}(z)=\operatorname{tr}\mathcal{R}(Z)$. Поэтому характеры линейных представлений алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ можно рассматривать в том же смысле, что и характеры представлений конечных групп ("Курс алгебры", глава 11, §4). Предложение 2. Линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ однозначно определяется своим характером. В самом деле, разложим данное представление в прямую сумму неприводимых представлений: $$V=V(m_1)\oplus\dots\oplus V(m_s).$$ Тогда $$\chi_V=\chi_{V(m_1)}+\dots+\chi_{V(m_s)}$$ (задача 5.2). Для характера неприводимого представления справедлива формула $$\chi_{V(m)}(z)=z^m+z^{m-2}+z^{m-4}+\dots+z^{-m}=\frac{z^{m+1}-z^{-m-1}}{z-z^{-1}},$$ из которой следует, что $$\chi_V(z)\cdot(z-z^{-1})=z^{m_1+1}-z^{-m_1-1}+\dots+z^{m_s+1}-z^{-m_s-1}.$$ Поэтому характер представления однозначно определяет набор неприводимых слагаемых в его разложении, а значит, и само представление. Задачи Задача 5.1. а) Доказать теорему 2 для комплексных и вещественных представлений алгебры $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$. Указание: вещественную алгебру Ли и её вещественное представление можно комплексифицировать. б) Обобщить теорему 1 на комплексные и вещественные неприводимые представления алгебры $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$. Задача 5.2. Пусть заданы представления группы $SL_2$ в пространствах $V$ и $W$. Доказать формулы для характеров прямой суммы и тензорного произведения представлений: $$ \chi_{V\oplus W}=\chi_V+\chi_W,\qquad\chi_{V\otimes W}=\chi_V\cdot\chi_W. $$ Задача 5.3. а) Доказать формулу Клебша-Гордана для разложения тензорного произведения неприводимых представлений группы $SL_2$ на неприводимые слагаемые: $$ V(m)\otimes V(n)\simeq V(m+n)\oplus V(m+n-2)\oplus V(m+n-4)\oplus\dots\oplus V(m-n)\qquad\text{(при $m\ge n$).} $$ б) Разложить на неприводимые слагаемые представление группы $SL_2$ в пространстве $S^2V(m)$. в) Разложить на неприводимые слагаемые представление группы $SL_2$ в пространстве $\bigwedge^2V(m)$. Задача 5.4. а) Любой нильпотентный линейный оператор $\mathcal{X}$ на пространстве $V$ можно включить в тройку линейных операторов $\mathcal{X},\mathcal{Y},\mathcal{H}$, удовлетворяющих коммутационным соотношениям $$ [\mathcal{X},\mathcal{Y}]=\mathcal{H}, \qquad [\mathcal{H},\mathcal{X}]=2\mathcal{X}, \qquad [\mathcal{H},\mathcal{Y}]=-2\mathcal{Y}, $$ причём $\mathcal{Y}$ тоже нильпотентен, а $\mathcal{H}$ диагонализуем. Возникает линейное представление $\rho:\mathfrak{sl}_2\to\mathfrak{gl}(V)$, где $\rho(E_+)=\mathcal{X}$, $\rho(E_-)=\mathcal{Y}$, $\rho(H)=\mathcal{H}$. б) Разложить представление $\rho$ на неприводимые слагаемые. в) Разложить представление $\operatorname{ad}\circ\rho:\mathfrak{sl}_2\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{gl}(V))$ на неприводимые слагаемые. Ответ в пунктах б) и в) даётся в терминах жордановой нормальной формы оператора $\mathcal{X}$.