Теорема 1. Набор жордановых и кронекеровых блоков реализуется парой матриц, из которых первая симметрична, а вторая кососимметрична, тогда и только тогда, когда выполняются условия (1), (2) и

(4) совокупность жордановых блоков чётного (нечётного) размера с собственным значением $0$ ($\infty$) разбивается на пары одинаковых блоков.

Достаточность условий (1), (2) и (4) проверяется так же, как и в предыдущих случаях. С кронекеровыми блоками мы уже разобрались раньше. Пару жордановых блоков одинакового размера с противоположными собственными значениями (в том числе $0$ или $\infty$) элементарными преобразованиями строк и столбцов можно привести к виду $$ \Biggl(\begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & I \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} J & 0 \\ 0 & -J \\ \end{pmatrix}\Biggr) \rightsquigarrow \Biggl(\begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & I^{\top} \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} J & 0 \\ 0 & -J^{\top} \\ \end{pmatrix}\Biggr) \rightsquigarrow \Biggl(\begin{pmatrix} 0 & I \\ I^{\top} & 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & J \\ -J^{\top} & 0 \\ \end{pmatrix}\Biggr). $$ Жорданов блок с собственным значением $0$ или $\infty$ можно привести к виду $(F,G)$ или $(G,F)$, соответственно, где $F$ — антиединичная матрица, а $$ G= \begin{pmatrix} \mathrm{O} & & & 1 & 0 \\ & & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & 0 & \\ & 1 & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & & \\ 1 & 0 & & \mathrm{O} & \\ 0 & & & & \\ \end{pmatrix} $$ — антижорданова клетка. Если блок имеет нечётный размер, то заменами знаков строк и столбцов можно, не меняя $F$, превратить $G$ в кососимметричную матрицу $$ \begin{pmatrix} \mathrm{O} & & & & 1 & 0 \\ & & & 1 & 0 & \\ & & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & 0 & & \\ & -1 & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & & & \\ -1 & 0 & & & \mathrm{O} & \\ 0 & & & & & \\ \end{pmatrix}. $$ А если размер блока чётен, то наоборот, не меняя $G$, можно превратить $F$ в кососимметричную матрицу $$ \begin{pmatrix} & & & & 1 \\ & \mathrm{O} & & 1 & \\ & & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & & \\ & -1 & & \mathrm{O} & \\ -1 & & & & \\ \end{pmatrix}. $$

Задача 21.1 завершает доказательство теоремы 1.

Классификация пар билинейных форм, из которых первая симметрична, а вторая кососимметрична, равносильна классификации произвольных билинейных форм (безо всякого условия симметрии).

Представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$

Этот сюжет напрямую не связан с предыдущим (хотя может быть использован, к примеру, в решении задачи 21.7), но крайне важен сам по себе. Его изложение следует §4 главы 12 книги Э.Б. Винберга "Курс алгебры", 3-е изд., Москва, Факториал Пресс, 2002.

Алгебра Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ состоит из всех комплексных матриц размера $2\times2$ со следом $0$. Её стандартный базис составляют матрицы $$ e=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \qquad f=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \qquad h=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}, $$ связанные коммутационными соотношениями $$ [e,f]=h, \qquad [h,e]=2e, \qquad [h,f]=-2f. $$ Линейное представление алгебры Ли — это её гомоморфизм в алгебру Ли $L(V)$ всех линейных операторов на векторном пространстве $V$ (относительно операции коммутирования). Для линейных представлений алгебр Ли имеют смысл все основные понятия теории представлений.

Теорема 2. Все конечномерные комплексные линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ вполне приводимы.

Остаётся описать неприводимые представления. Пусть задано неприводимое представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ в конечномерном комплексном векторном пространстве $V$. Разберёмся с его устройством.

Обозначим через $\mathcal{E},\mathcal{F},\mathcal{H}$ образы элементов $e,f,h$ в алгебре $L(V)$. Эти линейные операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям $$ [\mathcal{E},\mathcal{F}]=\mathcal{H}, \qquad [\mathcal{H},\mathcal{E}]=2\mathcal{E}, \qquad [\mathcal{H},\mathcal{F}]=-2\mathcal{F}. $$ Из двух последних соотношений легко вытекает

Лемма 1. Пусть $v\in V$ — собственный вектор оператора $\mathcal{H}$ с собственным значением $\lambda$. Тогда вектор $\mathcal{E}v$ (соответственно $\mathcal{F}v$) является собственным для $\mathcal{H}$ с собственным значением $\lambda+2$ (соответственно $\lambda-2$), либо равен $0$.

Поскольку $\dim V<\infty$ и оператор $\mathcal{H}$ имеет лишь конечное число различных собственных значений, имеет место следующая

Лемма 2. Оператор $\mathcal{H}$ обладает собственным вектором $v_0\in V$, для которого $\mathcal{E}v_0=0$.

Вектор $v_0$ называется старшим вектором, а его собственное значение $\mu$ — старшим веcом линейного представления. Рассмотрим векторы $v_k=\mathcal{F}^kv_0$ ($k=0,1,2,\dots$). По лемме 1, $\mathcal{H}v_k=(\mu-2k)v_k$.

Лемма 3. $\mathcal{E}v_k=c_kv_{k-1}$ при $k>0$, где $c_k=k(\mu-k+1)$.

Доказательство проводится индукцией по $k$ с использованием первого коммутационного соотношения.

Пусть $m$ — наибольший номер, для которого $v_m\ne0$.

Следствие. Векторы $v_0,\dots,v_m$ образуют базис пространства $V$, причём $m=\mu$ — старший вес. Операторы $\mathcal{E},\mathcal{F},\mathcal{H}$ действуют в этом базисе по формулам \begin{align} \mathcal{E}v_k&=k(m-k+1)v_{k-1}, \\ \mathcal{F}v_k&=v_{k+1}, \\ \mathcal{H}v_k&=(m-2k)v_k \end{align} (где считается $v_{-1}=v_{m+1}=0$).

Равенство $\mu=m$ следует из того, что в лемме 3 $c_{m+1}=0$. Также из леммы 3 следует, что $\langle v_0,\dots,v_m\rangle$ — инвариантное подпространство. Формулы для действия операторов $\mathcal{E},\mathcal{F},\mathcal{H}$ вытекают из определения векторов $v_k$ и лемм 1, 3.

Теорема 3. Для каждого целого неотрицательного числа $m$ существует единственное неприводимое линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ со старшим весом $m$. Оно имеет размерность $m+1$ и описывается в подходящем базисе вышеуказанными формулами. Так получаются все неприводимые конечномерные комплексные линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$.

Для доказательства теоремы остаётся лишь убедиться в существовании неприводимого представления со старшим весом $m$. Нетрудно явно проверить все коммутационные соотношения для операторов $\mathcal{E},\mathcal{F},\mathcal{H}$, задаваемых в базисе $(v_0,\dots,v_m)$ вышеуказанными формулами при произвольном $m$, и убедиться, что они определяют неприводимое представление. Можно также построить явную модель представления со старшим весом $m$, рассмотрев пространство $\mathbb{C}[x,y]_m$ однородных многочленов степени $m$ от двух переменных и определив на нём операторы $$ \mathcal{E}=x\frac\partial{\partial y}, \qquad \mathcal{F}=y\frac\partial{\partial x}, \qquad \mathcal{H}=x\frac\partial{\partial x}-y\frac\partial{\partial y} $$ (см. задачу 21.3). Это представление получается дифференцированием в единице линейного представления группы Ли $SL_2(\mathbb{C})$ (т.е. дифференцируемого гомоморфизма групп Ли $SL_2(\mathbb{C})\to GL(V)$) в пространстве $V=\mathbb{C}[x,y]_m$, индуцированного естественным линейным действием группы $SL_2(\mathbb{C})$ на двумерном векторном пространстве с базисом $x,y$.

Задача 21.1. Доказать необходимость условий (1), (2), (4) в теореме 1.

Задача 21.2. Классифицировать невырожденные билинейные формы a) в $\mathbb{C}^2$ б) в $\mathbb{C}^3$.

Задача 21.3. Проверить для дифференциальных операторов $\mathcal{E},\mathcal{F},\mathcal{H}$ на пространстве многочленов коммутационные соотношения алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ и доказать, что они задают на пространстве $\mathbb{C}[x,y]_m$ неприводимое представление алгебры $\mathfrak{sl}_2$ со старшим весом $m$.

Задача 21.4. Доказать, что кососимметрической билинейной форме $f_{\mathcal{A}}$ на $L(V)$ соответствует линейный оператор $-\operatorname{ad}(\mathcal{A})$, где $\operatorname{ad}(\mathcal{A})$ — присоединённый к $\mathcal{A}$ оператор, действующий на пространстве $L(V)$ по формуле $\operatorname{ad}(\mathcal{A})\mathcal{X}=[\mathcal{A},\mathcal{X}]$, и $L(V)^*$ отождествлено с $L(V)$ c помощью инвариантного скалярного умножения.

Задача 21.5. $\operatorname{ad}:L(V)\to L(L(V))$ — линейное представление алгебры Ли, т.е. $$\operatorname{ad}([\mathcal{A},\mathcal{B}])=[\operatorname{ad}(\mathcal{A}),\operatorname{ad}(\mathcal{B})],\qquad\forall\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V).$$

Задача 21.6. Операторы $\operatorname{ad}(\mathcal{E}),\operatorname{ad}(\mathcal{F}),\operatorname{ad}(\mathcal{H})$ задают линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ в пространстве $L(V)$, где $V$ — пространство неприводимого $n$-мерного представления алгебры $\mathfrak{sl}_2$. Как полученное представление разлагается на неприводимые слагаемые?

Задача 21.7. В обозначениях задачи 21.6 доказать, что пара форм $(f_{\mathcal{E}},f_{\mathcal{F}})$ чисто сингулярна, и найти количество и размеры её кронекеровых блоков (ср. более общую задачу 20.1).

предыдущий семинар	19 марта 2015 г.	следующий семинар
Тема 21 Классификация пар из симметрической и кососимметрической билинейных форм. Представления $\mathfrak{sl}_2$. Теорема 1. Набор жордановых и кронекеровых блоков реализуется парой матриц, из которых первая симметрична, а вторая кососимметрична, тогда и только тогда, когда выполняются условия (1), (2) и (4) совокупность жордановых блоков чётного (нечётного) размера с собственным значением $0$ ($\infty$) разбивается на пары одинаковых блоков. Достаточность условий (1), (2) и (4) проверяется так же, как и в предыдущих случаях. С кронекеровыми блоками мы уже разобрались раньше. Пару жордановых блоков одинакового размера с противоположными собственными значениями (в том числе $0$ или $\infty$) элементарными преобразованиями строк и столбцов можно привести к виду $$ \Biggl(\begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & I \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} J & 0 \\ 0 & -J \\ \end{pmatrix}\Biggr) \rightsquigarrow \Biggl(\begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & I^{\top} \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} J & 0 \\ 0 & -J^{\top} \\ \end{pmatrix}\Biggr) \rightsquigarrow \Biggl(\begin{pmatrix} 0 & I \\ I^{\top} & 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & J \\ -J^{\top} & 0 \\ \end{pmatrix}\Biggr). $$ Жорданов блок с собственным значением $0$ или $\infty$ можно привести к виду $(F,G)$ или $(G,F)$, соответственно, где $F$ — антиединичная матрица, а $$ G= \begin{pmatrix} \mathrm{O} & & & 1 & 0 \\ & & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & 0 & \\ & 1 & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & & \\ 1 & 0 & & \mathrm{O} & \\ 0 & & & & \\ \end{pmatrix} $$ — антижорданова клетка. Если блок имеет нечётный размер, то заменами знаков строк и столбцов можно, не меняя $F$, превратить $G$ в кососимметричную матрицу $$ \begin{pmatrix} \mathrm{O} & & & & 1 & 0 \\ & & & 1 & 0 & \\ & & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & 0 & & \\ & -1 & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & & & \\ -1 & 0 & & & \mathrm{O} & \\ 0 & & & & & \\ \end{pmatrix}. $$ А если размер блока чётен, то наоборот, не меняя $G$, можно превратить $F$ в кососимметричную матрицу $$ \begin{pmatrix} & & & & 1 \\ & \mathrm{O} & & 1 & \\ & & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & & \\ & -1 & & \mathrm{O} & \\ -1 & & & & \\ \end{pmatrix}. $$ Задача 21.1 завершает доказательство теоремы 1. Классификация пар билинейных форм, из которых первая симметрична, а вторая кососимметрична, равносильна классификации произвольных билинейных форм (безо всякого условия симметрии). Представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ Этот сюжет напрямую не связан с предыдущим (хотя может быть использован, к примеру, в решении задачи 21.7), но крайне важен сам по себе. Его изложение следует §4 главы 12 книги Э.Б. Винберга "Курс алгебры", 3-е изд., Москва, Факториал Пресс, 2002. Алгебра Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ состоит из всех комплексных матриц размера $2\times2$ со следом $0$. Её стандартный базис составляют матрицы $$ e=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \qquad f=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \qquad h=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}, $$ связанные коммутационными соотношениями $$ [e,f]=h, \qquad [h,e]=2e, \qquad [h,f]=-2f. $$ Линейное представление алгебры Ли — это её гомоморфизм в алгебру Ли $L(V)$ всех линейных операторов на векторном пространстве $V$ (относительно операции коммутирования). Для линейных представлений алгебр Ли имеют смысл все основные понятия теории представлений. Теорема 2. Все конечномерные комплексные линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ вполне приводимы. Остаётся описать неприводимые представления. Пусть задано неприводимое представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ в конечномерном комплексном векторном пространстве $V$. Разберёмся с его устройством. Обозначим через $\mathcal{E},\mathcal{F},\mathcal{H}$ образы элементов $e,f,h$ в алгебре $L(V)$. Эти линейные операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям $$ [\mathcal{E},\mathcal{F}]=\mathcal{H}, \qquad [\mathcal{H},\mathcal{E}]=2\mathcal{E}, \qquad [\mathcal{H},\mathcal{F}]=-2\mathcal{F}. $$ Из двух последних соотношений легко вытекает Лемма 1. Пусть $v\in V$ — собственный вектор оператора $\mathcal{H}$ с собственным значением $\lambda$. Тогда вектор $\mathcal{E}v$ (соответственно $\mathcal{F}v$) является собственным для $\mathcal{H}$ с собственным значением $\lambda+2$ (соответственно $\lambda-2$), либо равен $0$. Поскольку $\dim V<\infty$ и оператор $\mathcal{H}$ имеет лишь конечное число различных собственных значений, имеет место следующая Лемма 2. Оператор $\mathcal{H}$ обладает собственным вектором $v_0\in V$, для которого $\mathcal{E}v_0=0$. Вектор $v_0$ называется старшим вектором, а его собственное значение $\mu$ — старшим веcом линейного представления. Рассмотрим векторы $v_k=\mathcal{F}^kv_0$ ($k=0,1,2,\dots$). По лемме 1, $\mathcal{H}v_k=(\mu-2k)v_k$. Лемма 3. $\mathcal{E}v_k=c_kv_{k-1}$ при $k>0$, где $c_k=k(\mu-k+1)$. Доказательство проводится индукцией по $k$ с использованием первого коммутационного соотношения. Пусть $m$ — наибольший номер, для которого $v_m\ne0$. Следствие. Векторы $v_0,\dots,v_m$ образуют базис пространства $V$, причём $m=\mu$ — старший вес. Операторы $\mathcal{E},\mathcal{F},\mathcal{H}$ действуют в этом базисе по формулам \begin{align} \mathcal{E}v_k&=k(m-k+1)v_{k-1}, \\ \mathcal{F}v_k&=v_{k+1}, \\ \mathcal{H}v_k&=(m-2k)v_k \end{align} (где считается $v_{-1}=v_{m+1}=0$). Равенство $\mu=m$ следует из того, что в лемме 3 $c_{m+1}=0$. Также из леммы 3 следует, что $\langle v_0,\dots,v_m\rangle$ — инвариантное подпространство. Формулы для действия операторов $\mathcal{E},\mathcal{F},\mathcal{H}$ вытекают из определения векторов $v_k$ и лемм 1, 3. Теорема 3. Для каждого целого неотрицательного числа $m$ существует единственное неприводимое линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ со старшим весом $m$. Оно имеет размерность $m+1$ и описывается в подходящем базисе вышеуказанными формулами. Так получаются все неприводимые конечномерные комплексные линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$. Для доказательства теоремы остаётся лишь убедиться в существовании неприводимого представления со старшим весом $m$. Нетрудно явно проверить все коммутационные соотношения для операторов $\mathcal{E},\mathcal{F},\mathcal{H}$, задаваемых в базисе $(v_0,\dots,v_m)$ вышеуказанными формулами при произвольном $m$, и убедиться, что они определяют неприводимое представление. Можно также построить явную модель представления со старшим весом $m$, рассмотрев пространство $\mathbb{C}[x,y]_m$ однородных многочленов степени $m$ от двух переменных и определив на нём операторы $$ \mathcal{E}=x\frac\partial{\partial y}, \qquad \mathcal{F}=y\frac\partial{\partial x}, \qquad \mathcal{H}=x\frac\partial{\partial x}-y\frac\partial{\partial y} $$ (см. задачу 21.3). Это представление получается дифференцированием в единице линейного представления группы Ли $SL_2(\mathbb{C})$ (т.е. дифференцируемого гомоморфизма групп Ли $SL_2(\mathbb{C})\to GL(V)$) в пространстве $V=\mathbb{C}[x,y]_m$, индуцированного естественным линейным действием группы $SL_2(\mathbb{C})$ на двумерном векторном пространстве с базисом $x,y$. Задачи Задача 21.1. Доказать необходимость условий (1), (2), (4) в теореме 1. Задача 21.2. Классифицировать невырожденные билинейные формы a) в $\mathbb{C}^2$ б) в $\mathbb{C}^3$. Задача 21.3. Проверить для дифференциальных операторов $\mathcal{E},\mathcal{F},\mathcal{H}$ на пространстве многочленов коммутационные соотношения алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ и доказать, что они задают на пространстве $\mathbb{C}[x,y]_m$ неприводимое представление алгебры $\mathfrak{sl}_2$ со старшим весом $m$. Задача 21.4. Доказать, что кососимметрической билинейной форме $f_{\mathcal{A}}$ на $L(V)$ соответствует линейный оператор $-\operatorname{ad}(\mathcal{A})$, где $\operatorname{ad}(\mathcal{A})$ — присоединённый к $\mathcal{A}$ оператор, действующий на пространстве $L(V)$ по формуле $\operatorname{ad}(\mathcal{A})\mathcal{X}=[\mathcal{A},\mathcal{X}]$, и $L(V)^*$ отождествлено с $L(V)$ c помощью инвариантного скалярного умножения. Задача 21.5. $\operatorname{ad}:L(V)\to L(L(V))$ — линейное представление алгебры Ли, т.е. $$\operatorname{ad}([\mathcal{A},\mathcal{B}])=[\operatorname{ad}(\mathcal{A}),\operatorname{ad}(\mathcal{B})],\qquad\forall\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V).$$ Задача 21.6. Операторы $\operatorname{ad}(\mathcal{E}),\operatorname{ad}(\mathcal{F}),\operatorname{ad}(\mathcal{H})$ задают линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ в пространстве $L(V)$, где $V$ — пространство неприводимого $n$-мерного представления алгебры $\mathfrak{sl}_2$. Как полученное представление разлагается на неприводимые слагаемые? Задача 21.7. В обозначениях задачи 21.6 доказать, что пара форм $(f_{\mathcal{E}},f_{\mathcal{F}})$ чисто сингулярна, и найти количество и размеры её кронекеровых блоков (ср. более общую задачу 20.1).