Изученная нами классификация пар кососимметрических билинейных форм имеет приложения к геометрии симплектических и пуассоновых многообразий и к гамильтоновой механике. Для знакомства с этими понятиями нам потребуются некоторые базовые сведения из анализа на дифференцируемых многообразиях.

Предполагаются известными основные понятия дифференциальной геометрии (многообразие, касательный вектор, дифференциальная форма и т.п.). Зафиксируем некоторые обозначения.

Через $M$ обозначим дифференцируемое $n$-мерное многообразие над полем $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. Систему локальных координат на области в многообразии $M$ мы будем обозначать через $x_1,\dots,x_n$.

Касательное пространство $T_xM$ в точке $x\in M$ к многообразию $M$ состоит из касательных векторов к $M$ в $x$, т.е. векторов скоростей дифференцируемых кривых, проходящих через точку $x$: $$ \xi=\left.\frac{dx(t)}{dt}\right|_{t=0}=\dot{x}(0), $$ где $x(t)\in M$ — дифференцируемая параметризация кривой на $M$, причём $x(0)=x$ (точка обозначает производную по параметру). В локальных координатах каждый касательный вектор имеет набор координат $\xi_i=\dot{x_i}(0)$ ($i=1,\dots,n$), причём замена локальных координат $(x_1,\dots,x_n)\rightsquigarrow(x'_1,\dots,x'_n)$ влечёт преобразование координат касательного вектора по формулам $$\xi'_i=\sum_j\frac{\partial{x'_i}}{\partial{x_j}}\xi_j.$$

Векторное поле $\xi$ на многообразии $M$ (или на какой-либо области в $M$) определяется заданием в каждой точке $x$ касательного вектора $\xi(x)\in T_xM$ так, что его координаты $\xi_i(x)$ являются дифференцируемыми функциями от локальных координат точки.

Аналогично, внешняя дифференциальная форма $\omega$ на $M$ (или на какой-либо области в $M$) определяется заданием в каждой точке $x$ кососимметрической полилинейной функции $\omega_x$ на $T_xM\times\dots\times T_xM$. В локальных координатах можно записать $$\omega=\sum_{i_1<\dots< i_m}\omega_{i_1\dots i_m}dx_{i_1}\wedge\dots\wedge dx_{i_m},$$ где $\omega_{i_1\dots i_m}$ — дифференцируемые функции локальных координат, а $dx_i$ — дифференциалы координатных функций, которые в каждой точке задают координаты на касательном пространстве: $dx_i(\xi)=\xi_i$.

Локальные координаты на многообразии могут носить достаточно произвольный характер, и часто нет никакого естественного способа их выбрать. Поэтому полезно уметь работать с дифференциально-геометрическими объектами на многообразиях на инвариантном бескоординатном языке. Рассмотрим некоторые аспекты такого подхода.

Со всяким касательным вектором $\xi\in T_xM$ можно связать линейный функционал на пространстве функций на $M$, а именно, производную функции по направлению касательного вектора: $$ \partial_{\xi}f=\left.\frac{df(x(t))}{dt}\right|_{t=0}=\sum_i\xi_i\frac{\partial{f(x)}}{\partial{x_i}}. $$ Соответственно, векторное поле $\xi$ задаёт дифференциальный оператор 1-го порядка на пространстве функций: $\partial_{\xi}=\sum_i\xi_i\frac{\partial}{\partial{x_i}}$. Однако более естественно рассматривать противоположный дифференциальный оператор — производную Ли по направлению векторного поля $L_{\xi}=-\partial_{\xi}$.

Дело в том, что производная Ли может быть определена не только на функциях, а на любых естественных геометрических объектах на многообразии (векторных и тензорных полях, дифференциальных формах, метриках, линейных связностях и т.п.). Для этого заметим, что всякое векторное поле $\xi$ задаёт на многообразии $M$ систему обыкновенных дифференциальных уравнений или, как ещё говорят, динамическую систему $$\dot{x}=\xi(x),\qquad x\in M,$$ или, в локальных координатах, $$\dot{x}_i=\xi_i(x_1,\dots,x_n).$$ Решениями этой системы дифференциальных уравнений или, в другой терминологии, фазовыми кривыми динамической системы являются кривые $x(t)\in M$, у которых вектор скорости в каждой точке принадлежит векторному полю $\xi$. По основной теореме о существовании и единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях существует такая однопараметрическая группа диффеоморфизмов $\varphi^t:M\to M$ (фазовый поток), что фазовые кривые имеют вид $x(t)=\varphi^t(x)$ ($x\in M$), т.е. $$ \frac{d\varphi^t(x)}{dt}=\xi(\varphi^t(x)). $$ (Строго говоря, сказанное верно, если многообразие компактно, а в общем случае диффеоморфизмы $\varphi^t$ определены лишь на достаточно малой окрестности данной точки при достаточно малых $t$, т.е., образуют псевдогруппу локальных диффеоморфизмов многообразия. Но все интересующие нас объекты и операции над ними тоже определяются локально, так что для нас эта поправка несущественна.)

Фазовый поток преобразует многообразие $M$, увлекая за собой все геометрические объекты на $M$. Скажем, $\varphi^t$ действует на функции, перенося их значения из точки $x$ в точку $\varphi^t(x)$, а на касательные векторы посредством дифференциалов $d_x\varphi^t:T_xM\to T_{\varphi^t(x)}M$. Таким образом, любое поле геометрических объектов $\tau$ на $M$ меняется под действием фазового потока, и мы можем продифференцировать его по параметру — это и есть производная Ли: $$ L_{\xi}\tau=\left.\frac{d(\varphi^t\tau)}{dt}\right|_{t=0}. $$ В частности, на функциях $$ (L_{\xi}f)(x)=\left.\frac{d(\varphi^tf)(x)}{dt}\right|_{t=0}=\left.\frac{d(f(\varphi^{-t}x))}{dt}\right|_{t=0}=-(\partial_{\xi}f)(x). $$ Коммутатор производных Ли вдоль двух векторных полей тоже является дифференциальным оператором 1-го порядка, а значит, производной Ли по направлению некоторого векторного поля, называемого коммутатором двух исходных полей: $$ [\xi,\eta]=\zeta,\quad\text{если}\quad[L_{\xi},L_{\eta}]=L_{\zeta}. $$ Компоненты коммутатора векторных полей в локальных координатах суть $$\zeta_i=\sum_j\left(\frac{\partial\xi_i}{\partial{x_j}}\eta_j-\frac{\partial\eta_i}{\partial{x_j}}\xi_j\right).$$

Коммутатор можно понимать и как производную Ли одного векторного поля вдоль другого (задача 22.1).

Внешний дифференциал дифференциальной формы $\omega=\sum_{i_1,\dots,i_m}\omega_{i_1\dots i_m}dx_{i_1}\wedge\dots\wedge dx_{i_m}$ может быть определён в локальных координатах по формуле $$ d\omega=\sum_{i_1,\dots,i_m}d\omega_{i_1\dots i_m}\wedge dx_{i_1}\wedge\dots\wedge dx_{i_m}= \sum_{i_0,i_1,\dots,i_m}\frac{\partial\omega_{i_1\dots i_m}}{\partial{x_{i_0}}}dx_{i_0}\wedge dx_{i_1}\wedge\dots\wedge dx_{i_m} $$ (суммирование ведётся по всем наборам индексов, но можно привести подобные члены, воспользовавшись косой симметрией). Бескоординатная формула для внешнего дифференциала содержится в задаче 22.2. Важные для нас частные случаи: \begin{align} \text{функции:} && df(\xi) &= \partial_{\xi}f, \\ \text{1-формы:} && d\omega(\xi,\eta) &= \partial_{\xi}\omega(\eta)-\partial_{\eta}\omega(\xi)+\omega([\xi,\eta]), \\ \text{2-формы:} && d\omega(\xi,\eta,\zeta) &= \sum_{\xi,\eta,\zeta\ \circlearrowleft}\bigl(\partial_{\xi}\omega(\eta,\zeta)+\omega([\xi,\eta],\zeta)\bigr) \\ \end{align} (здесь $\xi,\eta,\zeta$ — произвольные векторные поля, а значок $\circlearrowleft$ означает суммирование по всем циклическим перестановкам).

Поясним общий принцип проверки такого рода формул. Написанное выражение — полилинейный дифференциальный оператор на наборах векторных полей, принимающий значения в функциях. Для того, чтобы этот дифференциальный оператор задавал дифференциальную форму на $M$, т.е. значение полученной функции в точке $x\in M$ зависело только от значений в $x$ исходных векторных полей (но не от их производных), необходимо и достаточно, чтобы при умножении любого из полей на произвольную функцию результат тоже умножался на эту функцию. Если это условие выполнено, то для проверки того, что полученная дифференциальная форма совпадает с искомой, достаточно проверить равенство на наборах из векторных полей, порождающих касательное пространство в каждой точке (например, на базисных векторных полях в локальной системе координат).

Симплектические многообразия

Напомним, что риманово многообразие — это вещественное многообразие $M$, в каждой точке которого на касательном пространстве $T_xM$ задана положительно определённая симметрическая билинейная форма (скалярное умножение) $\gamma_x(\xi,\eta)=\sum_{i,j}\gamma_{ij}(x)\xi_i\eta_j$, причём её компоненты $\gamma_{ij}$ являются дифференцируемыми функциями точки $x\in M$. Иными словами, на $M$ задана положительно определённая квадратичная дифференциальная форма $\gamma=\sum_{i,j}\gamma_{ij}dx_idx_j$ — риманова метрика. Заменяя симметрические билинейные формы на кососимметрические, приходим к понятию симплектического многообразия.

Определение. Симплектическое многообразие — это многообразие $M$, в каждой точке которого на касательном пространстве $T_xM$ задана невырожденная кососимметрическая билинейная форма (кососкалярное умножение) $\omega_x(\xi,\eta)=\sum_{i,j}\omega_{ij}(x)\xi_i\eta_j$, причём функции $\omega_{ij}$ дифференцируемы, и возникающая на $M$ симплектическая 2-форма $$\omega=\sum_{i< j}\omega_{ij}dx_i\wedge dx_j$$ замкнута, т.е. $d\omega=0$.

В частности, размерность симплектического многообразия всегда чётна. Условие замкнутости симплектической формы имеет важные следствия, отличающие симплектическую геометрию от римановой (хотя у этих двух геометрий есть и общие черты). Как известно, у римановых многообразий есть локальный инвариант — кривизна. Напротив, все симплектические многообразия одной размерности локально устроены одинаково.

Теорема Дарбу. Всякое симплектическое многообразие $M$ размерности $n=2l$ в окрестности любой своей точки изоморфно области пространства $\mathbb{K}^{2l}$ со стандартной симплектической формой $$\omega=dx_1\wedge dy_1+\dots+dx_l\wedge dy_l,$$ где $x_1,\dots,x_l,y_1,\dots,y_l$ — координаты на $\mathbb{K}^{2l}$.

Кроме стандартного примера $M=\mathbb{K}^{2l}$, простейшими примерами симплектических многообразий являются двумерные ориентируемые поверхности с 2-формой площади, задающей ориентацию (условие замкнутости здесь выполнено по соображениям размерности). Например $M=\mathbb{R}^2$ с обычной формой площади ($\omega(\xi,\eta)$ — площадь ориентированного параллелограмма, натянутого на векторы $\xi,\eta$) — частный случай стандартного примера. Ещё пример: $M=S^2$ с формой площади $\omega(\xi,\eta)=(\xi,\eta,\nu)$ (смешанное произведение), где $\nu$ — вектор внешней нормали к сфере в данной точке.

Далее будут рассмотрены более общие естественные классы симплектических многообразий.

предыдущий семинар	26 марта 2015 г.	следующий семинар
Тема 22 Элементы анализа на многообразиях. Симплектические многообразия. Изученная нами классификация пар кососимметрических билинейных форм имеет приложения к геометрии симплектических и пуассоновых многообразий и к гамильтоновой механике. Для знакомства с этими понятиями нам потребуются некоторые базовые сведения из анализа на дифференцируемых многообразиях. Предполагаются известными основные понятия дифференциальной геометрии (многообразие, касательный вектор, дифференциальная форма и т.п.). Зафиксируем некоторые обозначения. Через $M$ обозначим дифференцируемое $n$-мерное многообразие над полем $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. Систему локальных координат на области в многообразии $M$ мы будем обозначать через $x_1,\dots,x_n$. Касательное пространство $T_xM$ в точке $x\in M$ к многообразию $M$ состоит из касательных векторов к $M$ в $x$, т.е. векторов скоростей дифференцируемых кривых, проходящих через точку $x$: $$ \xi=\left.\frac{dx(t)}{dt}\right\|_{t=0}=\dot{x}(0), $$ где $x(t)\in M$ — дифференцируемая параметризация кривой на $M$, причём $x(0)=x$ (точка обозначает производную по параметру). В локальных координатах каждый касательный вектор имеет набор координат $\xi_i=\dot{x_i}(0)$ ($i=1,\dots,n$), причём замена локальных координат $(x_1,\dots,x_n)\rightsquigarrow(x'_1,\dots,x'_n)$ влечёт преобразование координат касательного вектора по формулам $$\xi'_i=\sum_j\frac{\partial{x'_i}}{\partial{x_j}}\xi_j.$$ Векторное поле $\xi$ на многообразии $M$ (или на какой-либо области в $M$) определяется заданием в каждой точке $x$ касательного вектора $\xi(x)\in T_xM$ так, что его координаты $\xi_i(x)$ являются дифференцируемыми функциями от локальных координат точки. Аналогично, внешняя дифференциальная форма $\omega$ на $M$ (или на какой-либо области в $M$) определяется заданием в каждой точке $x$ кососимметрической полилинейной функции $\omega_x$ на $T_xM\times\dots\times T_xM$. В локальных координатах можно записать $$\omega=\sum_{i_1<\dots< i_m}\omega_{i_1\dots i_m}dx_{i_1}\wedge\dots\wedge dx_{i_m},$$ где $\omega_{i_1\dots i_m}$ — дифференцируемые функции локальных координат, а $dx_i$ — дифференциалы координатных функций, которые в каждой точке задают координаты на касательном пространстве: $dx_i(\xi)=\xi_i$. Локальные координаты на многообразии могут носить достаточно произвольный характер, и часто нет никакого естественного способа их выбрать. Поэтому полезно уметь работать с дифференциально-геометрическими объектами на многообразиях на инвариантном бескоординатном языке. Рассмотрим некоторые аспекты такого подхода. Со всяким касательным вектором $\xi\in T_xM$ можно связать линейный функционал на пространстве функций на $M$, а именно, производную функции по направлению касательного вектора: $$ \partial_{\xi}f=\left.\frac{df(x(t))}{dt}\right\|_{t=0}=\sum_i\xi_i\frac{\partial{f(x)}}{\partial{x_i}}. $$ Соответственно, векторное поле $\xi$ задаёт дифференциальный оператор 1-го порядка на пространстве функций: $\partial_{\xi}=\sum_i\xi_i\frac{\partial}{\partial{x_i}}$. Однако более естественно рассматривать противоположный дифференциальный оператор — производную Ли по направлению векторного поля $L_{\xi}=-\partial_{\xi}$. Дело в том, что производная Ли может быть определена не только на функциях, а на любых естественных геометрических объектах на многообразии (векторных и тензорных полях, дифференциальных формах, метриках, линейных связностях и т.п.). Для этого заметим, что всякое векторное поле $\xi$ задаёт на многообразии $M$ систему обыкновенных дифференциальных уравнений или, как ещё говорят, динамическую систему $$\dot{x}=\xi(x),\qquad x\in M,$$ или, в локальных координатах, $$\dot{x}_i=\xi_i(x_1,\dots,x_n).$$ Решениями этой системы дифференциальных уравнений или, в другой терминологии, фазовыми кривыми динамической системы являются кривые $x(t)\in M$, у которых вектор скорости в каждой точке принадлежит векторному полю $\xi$. По основной теореме о существовании и единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях существует такая однопараметрическая группа диффеоморфизмов $\varphi^t:M\to M$ (фазовый поток), что фазовые кривые имеют вид $x(t)=\varphi^t(x)$ ($x\in M$), т.е. $$ \frac{d\varphi^t(x)}{dt}=\xi(\varphi^t(x)). $$ (Строго говоря, сказанное верно, если многообразие компактно, а в общем случае диффеоморфизмы $\varphi^t$ определены лишь на достаточно малой окрестности данной точки при достаточно малых $t$, т.е., образуют псевдогруппу локальных диффеоморфизмов многообразия. Но все интересующие нас объекты и операции над ними тоже определяются локально, так что для нас эта поправка несущественна.) Фазовый поток преобразует многообразие $M$, увлекая за собой все геометрические объекты на $M$. Скажем, $\varphi^t$ действует на функции, перенося их значения из точки $x$ в точку $\varphi^t(x)$, а на касательные векторы посредством дифференциалов $d_x\varphi^t:T_xM\to T_{\varphi^t(x)}M$. Таким образом, любое поле геометрических объектов $\tau$ на $M$ меняется под действием фазового потока, и мы можем продифференцировать его по параметру — это и есть производная Ли: $$ L_{\xi}\tau=\left.\frac{d(\varphi^t\tau)}{dt}\right\|_{t=0}. $$ В частности, на функциях $$ (L_{\xi}f)(x)=\left.\frac{d(\varphi^tf)(x)}{dt}\right\|_{t=0}=\left.\frac{d(f(\varphi^{-t}x))}{dt}\right\|_{t=0}=-(\partial_{\xi}f)(x). $$ Коммутатор производных Ли вдоль двух векторных полей тоже является дифференциальным оператором 1-го порядка, а значит, производной Ли по направлению некоторого векторного поля, называемого коммутатором двух исходных полей: $$ [\xi,\eta]=\zeta,\quad\text{если}\quad[L_{\xi},L_{\eta}]=L_{\zeta}. $$ Компоненты коммутатора векторных полей в локальных координатах суть $$\zeta_i=\sum_j\left(\frac{\partial\xi_i}{\partial{x_j}}\eta_j-\frac{\partial\eta_i}{\partial{x_j}}\xi_j\right).$$ Коммутатор можно понимать и как производную Ли одного векторного поля вдоль другого (задача 22.1). Внешний дифференциал дифференциальной формы $\omega=\sum_{i_1,\dots,i_m}\omega_{i_1\dots i_m}dx_{i_1}\wedge\dots\wedge dx_{i_m}$ может быть определён в локальных координатах по формуле $$ d\omega=\sum_{i_1,\dots,i_m}d\omega_{i_1\dots i_m}\wedge dx_{i_1}\wedge\dots\wedge dx_{i_m}= \sum_{i_0,i_1,\dots,i_m}\frac{\partial\omega_{i_1\dots i_m}}{\partial{x_{i_0}}}dx_{i_0}\wedge dx_{i_1}\wedge\dots\wedge dx_{i_m} $$ (суммирование ведётся по всем наборам индексов, но можно привести подобные члены, воспользовавшись косой симметрией). Бескоординатная формула для внешнего дифференциала содержится в задаче 22.2. Важные для нас частные случаи: \begin{align} \text{функции:} && df(\xi) &= \partial_{\xi}f, \\ \text{1-формы:} && d\omega(\xi,\eta) &= \partial_{\xi}\omega(\eta)-\partial_{\eta}\omega(\xi)+\omega([\xi,\eta]), \\ \text{2-формы:} && d\omega(\xi,\eta,\zeta) &= \sum_{\xi,\eta,\zeta\ \circlearrowleft}\bigl(\partial_{\xi}\omega(\eta,\zeta)+\omega([\xi,\eta],\zeta)\bigr) \\ \end{align} (здесь $\xi,\eta,\zeta$ — произвольные векторные поля, а значок $\circlearrowleft$ означает суммирование по всем циклическим перестановкам). Поясним общий принцип проверки такого рода формул. Написанное выражение — полилинейный дифференциальный оператор на наборах векторных полей, принимающий значения в функциях. Для того, чтобы этот дифференциальный оператор задавал дифференциальную форму на $M$, т.е. значение полученной функции в точке $x\in M$ зависело только от значений в $x$ исходных векторных полей (но не от их производных), необходимо и достаточно, чтобы при умножении любого из полей на произвольную функцию результат тоже умножался на эту функцию. Если это условие выполнено, то для проверки того, что полученная дифференциальная форма совпадает с искомой, достаточно проверить равенство на наборах из векторных полей, порождающих касательное пространство в каждой точке (например, на базисных векторных полях в локальной системе координат). Симплектические многообразия Напомним, что риманово многообразие — это вещественное многообразие $M$, в каждой точке которого на касательном пространстве $T_xM$ задана положительно определённая симметрическая билинейная форма (скалярное умножение) $\gamma_x(\xi,\eta)=\sum_{i,j}\gamma_{ij}(x)\xi_i\eta_j$, причём её компоненты $\gamma_{ij}$ являются дифференцируемыми функциями точки $x\in M$. Иными словами, на $M$ задана положительно определённая квадратичная дифференциальная форма $\gamma=\sum_{i,j}\gamma_{ij}dx_idx_j$ — риманова метрика. Заменяя симметрические билинейные формы на кососимметрические, приходим к понятию симплектического многообразия. Определение. Симплектическое многообразие — это многообразие $M$, в каждой точке которого на касательном пространстве $T_xM$ задана невырожденная кососимметрическая билинейная форма (кососкалярное умножение) $\omega_x(\xi,\eta)=\sum_{i,j}\omega_{ij}(x)\xi_i\eta_j$, причём функции $\omega_{ij}$ дифференцируемы, и возникающая на $M$ симплектическая 2-форма $$\omega=\sum_{i< j}\omega_{ij}dx_i\wedge dx_j$$ замкнута, т.е. $d\omega=0$. В частности, размерность симплектического многообразия всегда чётна. Условие замкнутости симплектической формы имеет важные следствия, отличающие симплектическую геометрию от римановой (хотя у этих двух геометрий есть и общие черты). Как известно, у римановых многообразий есть локальный инвариант — кривизна. Напротив, все симплектические многообразия одной размерности локально устроены одинаково. Теорема Дарбу. Всякое симплектическое многообразие $M$ размерности $n=2l$ в окрестности любой своей точки изоморфно области пространства $\mathbb{K}^{2l}$ со стандартной симплектической формой $$\omega=dx_1\wedge dy_1+\dots+dx_l\wedge dy_l,$$ где $x_1,\dots,x_l,y_1,\dots,y_l$ — координаты на $\mathbb{K}^{2l}$. Кроме стандартного примера $M=\mathbb{K}^{2l}$, простейшими примерами симплектических многообразий являются двумерные ориентируемые поверхности с 2-формой площади, задающей ориентацию (условие замкнутости здесь выполнено по соображениям размерности). Например $M=\mathbb{R}^2$ с обычной формой площади ($\omega(\xi,\eta)$ — площадь ориентированного параллелограмма, натянутого на векторы $\xi,\eta$) — частный случай стандартного примера. Ещё пример: $M=S^2$ с формой площади $\omega(\xi,\eta)=(\xi,\eta,\nu)$ (смешанное произведение), где $\nu$ — вектор внешней нормали к сфере в данной точке. Далее будут рассмотрены более общие естественные классы симплектических многообразий. Задачи Задача 22.1. $L_{\xi}\eta=[\xi,\eta]$ для любых векторных полей $\xi,\eta$. Задача 22.2. Значение дифференциала внешней формы $\omega$ степени $m$ на наборе векторных полей $\xi_0,\xi_1,\dots,\xi_m$ может быть вычислено по формуле \begin{multline} d\omega(\xi_0,\xi_1,\dots,\xi_m)=\sum_i(-1)^i\partial_{\xi_i}\omega(\xi_0,\dots,\,\not\!\xi_i,\dots,\xi_m)-{}\\{}- \sum_{i< j}(-1)^{i+j}\omega([\xi_i,\xi_j],\xi_0,\dots,\,\not\!\xi_i,\dots,\,\not\!\xi_j,\dots,\xi_m). \end{multline} Задача 22.3. Внутреннее произведение внешней формы $\omega$ степени $m$ и векторного поля $\xi$ — это внешняя форма $i_{\xi}\omega$ степени $m-1$, получаемая подстановкой $\xi$ в $\omega$ в качестве одного из аргументов: $$ i_{\xi}\omega(\xi_1,\dots,\xi_{m-1})=\omega(\xi,\xi_1,\dots,\xi_{m-1}). $$ Операции внутреннего умножения, внешнего дифференциала и производной Ли дифференциальных форм связаны формулой гомотопии: $$ L_{\xi}\omega=-d(i_{\xi}\omega)-i_{\xi}(d\omega). $$