предыдущий семинар 2 апреля 2015 г. следующий семинар

Тема 23

Основные классы симплектических многообразий

Кокасательные расслоения. С каждым многообразием $M$ можно связать симплектическое многообразие вдвое большей размерности — кокасательное расслоение $$T^*M=\bigsqcup_{x\in M}T^*_xM,$$ где $T^*_xM=(T_xM)^*$ — кокасательное пространство к $M$ в точке $x$. Локальными координатами на $T^*M$ являются $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$, где $x_1,\dots,x_n$ — локальные координаты точек $x\in M$, а $y_1,\dots,y_n$ — координаты в пространствах $T^*_xM$, задаваемые выбором локальных координат на $M$. Имеется естественная проекция $\pi:T^*M\to M$, задаваемая в локальных координатах формулой $\pi(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)=(x_1,\dots,x_n)$.

Симплектическая форма на кокасательном расслоении задаётся в локальных координатах формулой $$\omega=dx_1\wedge dy_1+\dots+dx_n\wedge dy_n=-d\alpha,$$ где $$\alpha=y_1dx_1+\dots+y_ndx_n.$$ 1-форму $\alpha$ на $T^*M$ можно определить бескоординатным образом: для любой точки $\lambda\in T^*M$ и любого касательного вектора $\nu\in T_{\lambda}(T^*M)$ $$\alpha(\nu)=\langle d\pi(\nu),\lambda \rangle$$ — значение ковектора $\lambda$ на проекции касательного вектора $\nu$ в $T_xM$.

Каждую функцию $f$ на $M$ (или на какой-либо области в $M$) можно поднять в $T^*M$, определив функцию $\pi^*f(\lambda)=f(\pi(\lambda))$. Таковы, в частности, локальные координаты $x_i$ на $T^*M$.

Каждое векторное поле $\xi$ на $M$ можно рассматривать как функцию на $T^*M$, линейную на слоях $T^*_xM$ отображения проекции $\pi$. Таковы, в частности, локальные координаты $y_i$ на $T^*M$, соответствующие базисным векторным полям на $M$.

Указанные два класса функций не исчерпывают все дифференцируемые функции на $T^*M$, но функционально порождают их (поскольку содержат все координатные функции вышеописанных систем локальных координат на $T^*M$). Поэтому во многих вопросах можно ограничиться рассмотрением только таких функций на кокасательном расслоении.

Теперь рассмотрим аналогично два класса векторных полей на кокасательном расслоении.

Вертикальные векторные поля касаются слоёв $T^*_xM$ отображения проекции в каждой точке. Другими словами, поле $\gamma$ вертикально тогда и только тогда, когда $d\pi(\gamma)=0$. Значение $\gamma(\lambda)$ вертикального векторного поля в точке $\lambda\in T^*_xM$ можно рассматривать как ковектор из $T^*_xM$. В частности, с каждой функцией $f$ на $M$ связано вертикальное векторное поле $df$ (принимающее во всех точках $\lambda\in T^*_xM$ одно и то же значение $d_xf\in T^*_xM$).

С другой стороны, каждое векторное поле $\xi$ на $M$ порождает структурное векторное поле $\hat\xi$ на $T^*M$ следующим образом. Поле $\xi$ задаёт фазовый поток $\varphi^t$ на $M$. Диффеоморфизмы $\varphi^t$ действуют на ковекторах, задавая поток $\hat\varphi^t$ на $T^*M$, полем скоростей которого является $\hat\xi$. Отметим, что $d\pi(\hat\xi)=\xi$.

Значения вертикальных и структурных векторных полей порождают касательное пространство в каждой точке многообразия $T^*M$. Поэтому зачастую можно ограничиться рассмотрением только векторных полей из этих двух классов. Например, симплектическая форма на кокасательном расслоении однозначно определяется своими значениями на вертикальных и структурных векторных полях (см. задачу 23.1).

Квазипроективные комплексные многообразия. Рассмотрим комплексное проективное пространство $\mathbb{CP}^n=\mathbb{P}(V)$, точками которого являются прямые (одномерные подпространства) в комплексном векторном пространстве $V=\mathbb{C}^{n+1}$. Снабдим пространство $V$ эрмитовым скалярным умножением, т.е. положительно определённой эрмитовой полуторалинейной формой $$ \varkappa(v,w)=\gamma(v,w)+\boldsymbol{i}\cdot\omega(v,w)\qquad(v,w\in V). $$ Вещественная часть $\gamma$ эрмитова скалярного умножения — это вещественное скалярное умножение (т.е. положительно определённая симметрическая билинейная форма), а мнимая часть $\omega$ — кососкалярное умножение (т.е. невырожденная кососимметрическая билинейная форма) на пространстве $V$, рассматриваемом как вещественное векторное пространство. Они связаны соотношением $$ \omega(v,w)=\gamma(v,\mathcal{I}w), $$ где $\mathcal{I}:V\to V$ — оператор умножения на $\boldsymbol{i}$ (оператор комплексной структуры). Он унитарен по отношению к $\varkappa$, ортогонален по отношению к $\gamma$, симплектичен по отношению к $\omega$ и обладает свойством $\mathcal{I}^2=-\mathcal{E}$ (где $\mathcal{E}$ — тождественный оператор).

Проекция $\pi:V\setminus\{0\}\to\mathbb{P}(V)$ отображает вектор $v$ в точку $x=\langle v \rangle$. Её дифференциал $d_v\pi:T_vV\simeq V\to T_x\mathbb{P}(V)$ сюръективен, причём $\operatorname{Ker}d_v\pi=\langle v \rangle$. Следовательно, $$d_v\pi:\langle v \rangle^{\perp}\to T_x\mathbb{P}(V)$$ — измоморфизм векторных пространств, посредством которого можно перенести эрмитово скалярное умножение $\varkappa$ с пространства $\langle v \rangle^{\perp}$ на $T_x\mathbb{P}(V)$. Полученное эрмитово скалярное умножение на $T_x\mathbb{P}(V)$ зависит от выбора вектора $v\in\pi^{-1}(x)$: если взять $w=\lambda v$ ($\lambda\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$), то $d_v\pi=d_w\pi\cdot\lambda$, и поэтому при замене $v$ на $w$ индуцированная эрмитова форма на $T_x\mathbb{P}(V)$ умножается на $\lambda\bar\lambda=|\lambda|^2$. Однако, если нормировать вектор $v$ условием $\varkappa(v,v)=1$, то построенное эрмитово скалярное умножение $\varkappa_x$ на $T_x\mathbb{P}(V)$ уже не будет зависеть от выбора $v$.

Его мнимая часть $\omega_x$ определяет кососкалярное умножение на $T_x\mathbb{P}(V)$, и таким образом на $\mathbb{P}(V)$ возникает невырожденная вещественная внешняя 2-форма $\omega$ (форма Фубини-Штуди). Она определяет на комплексном проективном пространстве структуру вещественного симплектического многообразия (задача 23.2).

Если $M\subset\mathbb{CP}^n$ — гладкое комплексное подмногообразие, то $\omega|_M$ — симплектическая структура на $M$, рассматриваемом как вещественное многообразие (невырожденность формы $\omega|_M$ вытекает, как и выше, из того, что она является мнимой частью эрмитовой метрики на $M$).

Третий основной класс симплектических многообразий — коприсоединённые орбиты групп Ли — будет рассмотрен позже.


Задачи

Задача 23.1. Пусть $\omega$ — симплектическая форма на $T^*M$, $\gamma,\delta$ — вертикальные векторные поля на $T^*M$, а $\xi,\eta$ — векторные поля на $M$. Тогда \begin{align} \omega(\gamma,\delta)&=0,\\ \omega(\hat\xi,\hat\eta)&=[\xi,\eta],\\ \omega(\hat\xi,\delta)&=\langle \xi,\delta \rangle. \end{align}

Задача 23.2. Форма Фубини-Штуди $\omega$ на пространстве $\mathbb{CP}^n$ замкнута, т.е. $d\omega=0$.

Задача 23.3. Записать форму Фубини-Штуди в координатах на проективном пространстве.