Пусть $V$ — вещественное или комплексное векторное пространство конечной размерности $n$. Тогда пространство линейных операторов $L(V)$ также является вещественным или комплексным векторным пространством размерности $n^2$, а группа невырожденных операторов $GL(V)$ — открытое подмножество в $L(V)$, т.е. гладкое многообразие (вещественное или комплексное).

Определение 1. (Линейная) группа Ли — это подгруппа $G\subseteq GL(V)$, являющаяся одновременно замкнутым подмногообразием.

Имеется более общее понятие группы Ли (не обязательно линейной), но произвольные группы Ли в некотором смысле достаточно близки к линейным, а в интересующих нас вопросах заведомо можно ограничиться линейными группами Ли, поэтому общих групп Ли мы рассматривать не будем. С теорией линейных групп Ли можно познакомиться по главе 12 книги Э.Б. Винберга "Курс алгебры", 3-е изд., Москва, Факториал Пресс, 2002. Нам потребуются некоторые основные понятия этой теории.

Рассмотрим касательное пространство к группе Ли в единице: $\mathfrak{g}=T_{\mathcal{E}}G\subseteq L(V)$.

Теорема 1. $\exp(\mathfrak{g})\subseteq G$.

В самом деле, возьмём произвольный касательный вектор $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$. Он является вектором скорости некоторой кривой в группе Ли: $\mathcal{X}=\dot{\mathcal{U}}(0)$, $\mathcal{U}(t)\in G$, $\mathcal{U}(0)=\mathcal{E}$. Тогда $\mathcal{U}(\frac1n)^n\in G$ и по задаче 24.1 $\exp(\mathcal{X})\in G$.

Таким образом, каждый касательный вектор к группе Ли в единице является вектором скорости некоторой однопараметрической подгруппы $$ G(\mathcal{X})=\{\exp(t\mathcal{X})\mid t\in\mathbb{R}\}\subseteq G. $$

Если группа Ли $G$ действует (дифференцируемым образом) на многообразии $M$, то каждый касательный вектор $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$ задаёт поле скоростей $\widehat{\mathcal{X}}$ на $M$: $$ \widehat{\mathcal{X}}(x)=\left.\frac{d\exp(t\mathcal{X})x}{dt}\right|_{t=0},\qquad\forall x\in M. $$ Его фазовым потоком является однопараметрическая группа диффеоморфизмов многообразия $M$, определяемая действием группы $G(\mathcal{X})$.

Рассмотрим действие группы Ли $G$ на себе самой сопряжениями. Единица $\mathcal{E}$ является неподвижной точкой этого действия, и поэтому возникает действие группы $G$ на касательном пространстве $\mathfrak{g}$ линейными преобразованиями (дифференциалами автоморфизмов сопряжения), т.е. линейное представление. Оно называется присоединённым представлением группы Ли, обозначается $\operatorname{Ad}:G\to GL(\mathfrak{g})$ и вычисляется по формуле $$ \operatorname{Ad}(\mathcal{U}):\mathcal{X}\mapsto\mathcal{U}\mathcal{X}\mathcal{U}^{-1},\qquad\forall\mathcal{U}\in G,\ \mathcal{X}\in\mathfrak{g} $$ (поскольку операция сопряжения посредством оператора $\mathcal{U}$ является линейным преобразованием пространства $L(V)$ и, следовательно, совпадает со своим дифференциалом).

Теорема 2. $\mathfrak{g}$ является подалгеброй Ли в $L(V)$ (относительно операции коммутирования).

По этой причине $\mathfrak{g}=T_{\mathcal{E}}G$ называется (касательной) алгеброй Ли группы Ли $G$.

Для доказательства теоремы рассмотрим два произвольных элемента $\mathcal{X},\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}$. Подгруппа $G(\mathcal{X})$ действует на $\mathfrak{g}$ присоединённым представлением, и в пространстве $\mathfrak{g}$ возникает кривая $$\operatorname{Ad}(\exp(t\mathcal{X}))\mathcal{Y}=\exp(t\mathcal{X})\cdot\mathcal{Y}\cdot\exp(-t\mathcal{X}).$$ Её вектор скорости при $t=0$ тоже лежит в $\mathfrak{g}$ и равен $$ \widehat{\mathcal{X}}(\mathcal{Y})=\left.\frac{d\operatorname{Ad}(\exp(t\mathcal{X}))\mathcal{Y}}{dt}\right|_{t=0}=[\mathcal{X},\mathcal{Y}]. $$

Теорема 3. Пусть группа Ли $G$ действует на многообразии $M$. Тогда для любых $\mathcal{X},\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}$ имеет место равенство $$ [\widehat{\mathcal{X}},\widehat{\mathcal{Y}}]=\widehat{[\mathcal{X},\mathcal{Y}]} $$ (т.е. сопоставление элементу касательной алгебры Ли его поля скоростей определяет гомоморфизм касательной алгебры Ли в алгебру Ли векторных полей на многообразии).

Лемма. Диффеоморфизм многообразия $M$, задаваемый действием элемента $\mathcal{U}\in G$, преобразует поле скоростей элемента $\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}$ по формуле $$ \mathcal{U}\cdot\widehat{\mathcal{Y}}=\widehat{\operatorname{Ad}(\mathcal{U})\mathcal{Y}}. $$

В самом деле, вектор $(\mathcal{U}\widehat{\mathcal{Y}})(x)$ получается из вектора $\widehat{\mathcal{Y}}(\mathcal{U}^{-1}x)$ применением дифференциала действия элемента $\mathcal{U}$. Поскольку $\widehat{\mathcal{Y}}(\mathcal{U}^{-1}x)$ — вектор скорости кривой $\exp(t\mathcal{Y})\mathcal{U}^{-1}x$ при $t=0$, $(\mathcal{U}\widehat{\mathcal{Y}})(x)$ — вектор скорости кривой $\mathcal{U}\exp(t\mathcal{Y})\mathcal{U}^{-1}x=\exp(t\operatorname{Ad}(\mathcal{U})\mathcal{Y})x$, что и требовалось доказать.

Для доказательства теоремы 3 достаточно применить лемму к $\mathcal{U}=\exp(t\mathcal{X})$ и продифференцировать по $t$ при $t=0$, воспользовавшись задачей 22.1.

Определение 2. Коприсоединённое представление группы Ли $G$ — это линейное представление $\operatorname{Ad}^*:G\to GL(\mathfrak{g^*})$, двойственное к присоединённому представлению. Оно вычисляется по формуле $$ \langle\operatorname{Ad}^*(\mathcal{U})\varphi,\mathcal{Y}\rangle=\langle\varphi,\operatorname{Ad}(\mathcal{U}^{-1})\mathcal{Y}\rangle,\qquad\forall\mathcal{U}\in G,\ \varphi\in\mathfrak{g}^*,\ \mathcal{Y}\in\mathfrak{g}. $$

Подставляя в эту формулу $\mathcal{U}=\exp(t\mathcal{X})$ и дифференцируя по $t$ при $t=0$, получаем формулу для поля скоростей элемента $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$ при коприсоединённом действии: $$ \langle\widehat{\mathcal{X}}(\varphi),\mathcal{Y}\rangle=-\langle\varphi,[\mathcal{X},\mathcal{Y}]\rangle. $$

Замечание. Для $G=GL(V)$ коприсоединённое представление изоморфно присоединённому, поскольку инвариантное скалярное умножение на $\mathfrak{g}=L(V)$ задаёт изоморфизм $\mathfrak{g}\simeq\mathfrak{g}^*$, сопоставляющий оператору $\mathcal{F}$ линейную форму $\varphi$ по правилу $$ \langle\varphi,\mathcal{Y}\rangle=(\mathcal{F},\mathcal{Y})=\operatorname{tr}\mathcal{F}\mathcal{Y}. $$ В общем случае $\mathfrak{g}^*\simeq L(V)/\mathfrak{g}^{\perp}$ и \begin{align} \operatorname{Ad}^*(\mathcal{U})\varphi &= \mathcal{U}\mathcal{F}\mathcal{U}^{-1} \bmod \mathfrak{g}^{\perp},\\ \widehat{\mathcal{X}}(\varphi) &= [\mathcal{X},\mathcal{F}] \bmod \mathfrak{g}^{\perp}. \end{align}

Задача 24.1. Пусть $\mathcal{U}(t)$ — кривая в группе Ли $G$, проходящая через $\mathcal{E}$ при $t=0$, с вектором скорости $\mathcal{X}=\dot{\mathcal{U}}(0)$. Тогда $$\lim_{n\to\infty}\mathcal{U}(\tfrac1n)^n=\exp(\mathcal{X}).$$