16 апреля 2015 г. | ||
Тема 25 Коприсоединённые орбиты групп Ли. Гамильтоновы поля и скобка Пуассона. Пусть группа Ли G действует (дифференцируемым образом) на многообразии M. Орбита O=Gx любой точки x∈M является виртуальным (или погружённым) подмногообразием в M. Это означает, что на O имеется структура гладкого многообразия, причём вложение O↪M диффеоморфно отображает достаточно малую окрестность каждой точки x∈O на некоторое подмногообразие в M (однако при этом топология на O, вообще говоря, не является ограничением топологии на M, т.е. O может не быть настоящим подмногообразием в M). Локальные координаты в окрестности точки x∈O можно определить следующим образом. Стабилизатор точки H=Gx⊂G является подгруппой Ли. Можно выбрать в окрестности точки E∈G подмногообразие S⊂G пересекающее H в E трансверсально (т.е. TEG=TES⊕TEH). Если окрестность достаточно мала, то для всех U∈S смежные классы U⋅H пересекают S трансверсально в единственной точке U, и операция умножения диффеоморфно отображает S×H на открытое подмножество S⋅H⊂G. Орбитное отображение G→O, U↦U⋅x биективно отображает S на подмножество S⋅x⊂O, которое является окрестностью точки x∈O, и локальные координаты на ней происходят из локальных координат на S. Касательное пространство к орбите в любой точке состоит из векторов скоростей: TxO={ˆX(x)∣X∈g}. Коприсоединённые орбиты. Пусть φ∈g∗ — произвольный вектор в коприсоединённом представлении группы Ли G, т.е. линейная форма на касательной алгебре Ли g. Его орбита O=Ad∗(G)⋅φ является виртуальным подмногообразием в g∗, и в каждой её точке на касательном пространстве определено кососкалярное умножение по формуле ωφ(ˆX(φ),ˆY(φ))=⟨φ,[X,Y]⟩=−⟨ˆX(φ),Y⟩=⟨ˆY(φ),X⟩,∀X,Y∈g (в частном случае G=GL(V) мы его уже фактически рассматривали раньше). Таким образом, на O возникает невырожденная дифференциальная 2-форма ω, называемая формой Кириллова. Она задаёт на орбите O симплектическую структуру (задача 25.1). Следовательно, орбиты коприсоединённого представления являются симплектическими многообразиями. В частности, все они имеют чётную размерность. Пример. Рассмотрим группу Ли G аффинных преобразований прямой, т.е. преобразований вида x↦ax+b, где a≠0. Её можно реализовать в виде подгруппы в GL2(K), состоящей из матриц вида U=(ab01). Опишем орбиты её коприсоединённого представления и форму Кириллова на каждой из них. Касательная алгебра Ли g состоит из матриц вида X=(αβ00), а двойственное пространство g∗≃Mat2(K)/g⊥, где g⊥={(0∗0∗)}. Векторы φ∈g∗ представляются матрицами, у которых 2-й столбец не имеет значения: F=(x∗y∗). Коприсоединённое представление изоморфно факторпредставлению присоединённого представления группы G на всей алгебре матриц Mat2(K): Ad∗(U)φ=U⋅F⋅U−1mod Поэтому ось абсцисс \{y=0\} состоит из неподвижных точек (одноточечных орбит), а все остальные точки пространства \mathfrak{g}^* образуют одну орбиту. Вычислим на ней форму Кириллова. Поля скоростей на \mathfrak{g}^* имеют вид \hat{X}(\varphi)=[X,F]\bmod\mathfrak{g}^{\perp}= \begin{pmatrix} \beta y & * \\ -\alpha y & * \end{pmatrix}. Взяв Y= \begin{pmatrix} \gamma & \delta \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, получим \omega_{\varphi}(\hat{X}(\varphi),\hat{Y}(\varphi))= -\langle\hat{X}(\varphi),Y\rangle= -\operatorname{tr}\left( \begin{pmatrix} \beta y & * \\ -\alpha y & * \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \gamma & \delta \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) =\alpha\delta y-\beta\gamma y=\frac1y \begin{vmatrix} \beta y & \delta y \\ -\alpha y & -\gamma y \end{vmatrix}, откуда \omega=\frac{dx\wedge dy}y.
Гамильтоновы векторные поля и скобка Пуассона
На римановом многообразии M с метрикой \gamma касательное пространство T_xM в любой точке x\in M можно отождествить с кокасательным пространством T^*_xM с помощью скалярного умножения \gamma_x на T_xM. Поэтому имеется каноническое взаимно однозначное соответствие между векторными полями и дифференциальными 1-формами на M. В частности, у каждой функции f есть поле градиента \nabla{f}, соответствующее дифференциалу этой функции. Оно определяется из формулы df(\xi)=\gamma(\nabla{f},\xi), где \xi — произвольное векторное поле. То же самое справедливо и для симплектического многообразия M с симплектической формой \omega. Векторное поле, соответствующее дифференциалу функции f, называется её полем косого градиента и обозначается также \nabla{f}. Оно определяется из формулы \omega(\nabla{f},\xi)=df(\xi)=\partial_{\xi}f=-L_{\xi}f, где \xi — произвольное векторное поле на M. Поля косых градиентов функций на симплектическом многообразии также называются гамильтоновыми векторными полями, а сами функции — их гамильтонианами. Заметим, что гамильтониан векторного поля определён не однозначно, а с точностью до прибавления локально постоянной функции. Определение. Скобка Пуассона функций f и g на симплектическом многообразии M определяется формулой \{f,g\}=\omega(\nabla{f},\nabla{g})=L_{\nabla{f}}^{\strut}g=-L_{\nabla{g}}^{\strut}f. Операция скобки Пуассона на алгебре дифференцируемых функций билинейна, кососимметрична и удовлетворяет тождеству Лейбница: \{f,gh\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot\{f,h\}. Для справедливости всего вышесказанного нужна лишь невырожденность 2-формы \omega на многообразии M. Однако её замкнутость имеет дополнительные замечательные следствия. Теорема. Следующие условия эквивалентны: (1) d\omega=0; (2) L_{\nabla{f}}^{\strut}\omega=0 для любой функции f; (3) скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0 (т.е. алгебра функций на симплектическом многообразии является алгеброй Ли относительно скобки Пуассона). Эквивалентность условий (1) и (2) вытекает из формулы гомотопии: L_{\nabla{f}}^{\strut}\omega=-i_{\nabla{f}}^{\strut}(d\omega), поскольку d(i_{\nabla{f}}^{\strut}\omega)=d(df)=0. Так как косые градиенты функций порождают касательное пространство в каждой точке (ибо их дифференциалы порождают кокасательное пространство), d\omega=0 тогда и только тогда, когда i_{\nabla{f}}^{\strut}(d\omega)=0 для всех f. Эквивалентность условий (1) и (3) проверяется вычислением значений дифференциала формы \omega на гамильтоновых полях (задача 25.3), чем форма d\omega полностью определяется. Задача 25.1. Форма Кириллова на любой орбите коприсоединённого представления группы Ли замкнута. Задача 25.2. Описать орбиты коприсоединённого представления и вычислить на них формы Кириллова a) для группы Гейзенберга, состоящей из матриц вида \begin{pmatrix} 1 & x_1 & \dots & x_n & z \\ & 1 & & \mathrm{O} & y_1 \\ & & \ddots & & \vdots \\ & \mathrm{O} & & 1 & y_n \\ & & & & 1 \\ \end{pmatrix} б) для группы SO_3(\mathbb{R}). Задача 25.3. Значение дифференциала невырожденной 2-формы \omega на тройке гамильтоновых векторных полей вычисляется по формуле d\omega(\nabla{f},\nabla{g},\nabla{h})=\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}. Задача 25.4. Пусть M — симплектическое многообразие с симплектической формой \omega, \xi — векторное поле на M, \varphi^t — его фазовый поток. Следующие условия эквивалентны: (1) \varphi^t\omega=\omega (т.е. фазовый поток действует автоморфизмами симплектической структуры); (2) поле \xi локально гамильтоново (т.е. в окрестности каждой точки для него существует гамильтониан). Задача 25.5. Для любых функций f,g на симплектическом многообразии M верна формула \nabla\{f,g\}=[\nabla{f},\nabla{g}] (т.е. операция косого градиента — гомоморфизм алгебр Ли). |