Пусть группа Ли $G$ действует (дифференцируемым образом) на многообразии $M$. Орбита $O=Gx$ любой точки $x\in M$ является виртуальным (или погружённым) подмногообразием в $M$. Это означает, что на $O$ имеется структура гладкого многообразия, причём вложение $O\hookrightarrow M$ диффеоморфно отображает достаточно малую окрестность каждой точки $x\in O$ на некоторое подмногообразие в $M$ (однако при этом топология на $O$, вообще говоря, не является ограничением топологии на $M$, т.е. $O$ может не быть настоящим подмногообразием в $M$).

Локальные координаты в окрестности точки $x\in O$ можно определить следующим образом. Стабилизатор точки $H=G_x\subset G$ является подгруппой Ли. Можно выбрать в окрестности точки $\mathcal{E}\in G$ подмногообразие $S\subset G$ пересекающее $H$ в $\mathcal{E}$ трансверсально (т.е. $T_{\mathcal{E}}G=T_{\mathcal{E}}S\oplus T_{\mathcal{E}}H$). Если окрестность достаточно мала, то для всех $\mathcal{U}\in S$ смежные классы $\mathcal{U}\cdot H$ пересекают $S$ трансверсально в единственной точке $\mathcal{U}$, и операция умножения диффеоморфно отображает $S\times H$ на открытое подмножество $S\cdot H\subset G$. Орбитное отображение $G\to O$, $\mathcal{U}\mapsto\mathcal{U}\cdot x$ биективно отображает $S$ на подмножество $S\cdot x\subset O$, которое является окрестностью точки $x\in O$, и локальные координаты на ней происходят из локальных координат на $S$.

Касательное пространство к орбите в любой точке состоит из векторов скоростей: $$ T_xO=\{\widehat{\mathcal{X}}(x)\mid\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\}. $$

Коприсоединённые орбиты. Пусть $\varphi\in\mathfrak{g}^*$ — произвольный вектор в коприсоединённом представлении группы Ли $G$, т.е. линейная форма на касательной алгебре Ли $\mathfrak{g}$. Его орбита $O=\operatorname{Ad}^*(G)\cdot\varphi$ является виртуальным подмногообразием в $\mathfrak{g}^*$, и в каждой её точке на касательном пространстве определено кососкалярное умножение по формуле $$ \omega_{\varphi}(\widehat{\mathcal{X}}(\varphi),\widehat{\mathcal{Y}}(\varphi))=\langle\varphi,[\mathcal{X},\mathcal{Y}]\rangle= -\langle\widehat{\mathcal{X}}(\varphi),\mathcal{Y}\rangle=\langle\widehat{\mathcal{Y}}(\varphi),\mathcal{X}\rangle, \qquad\forall\mathcal{X},\mathcal{Y}\in\mathfrak{g} $$ (в частном случае $G=GL(V)$ мы его уже фактически рассматривали раньше). Таким образом, на $O$ возникает невырожденная дифференциальная 2-форма $\omega$, называемая формой Кириллова. Она задаёт на орбите $O$ симплектическую структуру (задача 25.1).

Следовательно, орбиты коприсоединённого представления являются симплектическими многообразиями. В частности, все они имеют чётную размерность.

Пример. Рассмотрим группу Ли $G$ аффинных преобразований прямой, т.е. преобразований вида $x\mapsto ax+b$, где $a\ne0$. Её можно реализовать в виде подгруппы в $GL_2(\mathbb{K})$, состоящей из матриц вида $$ U= \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ Опишем орбиты её коприсоединённого представления и форму Кириллова на каждой из них.

Касательная алгебра Ли $\mathfrak{g}$ состоит из матриц вида $$ X= \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, $$ а двойственное пространство $\mathfrak{g}^*\simeq\operatorname{Mat}_2(\mathbb{K})/\mathfrak{g}^{\perp}$, где $$ \mathfrak{g}^{\perp}= \left\{\begin{pmatrix} 0 & * \\ 0 & * \end{pmatrix}\right\}. $$ Векторы $\varphi\in\mathfrak{g}^*$ представляются матрицами, у которых 2-й столбец не имеет значения: $$ F= \begin{pmatrix} x & * \\ y & * \end{pmatrix}. $$ Коприсоединённое представление изоморфно факторпредставлению присоединённого представления группы $G$ на всей алгебре матриц $\operatorname{Mat}_2(\mathbb{K})$: $$ \operatorname{Ad}^*(U)\varphi=U\cdot F\cdot U^{-1}\bmod\mathfrak{g}^{\perp}= \begin{pmatrix} x+\frac{by}a & * \\ \frac{y}a & * \end{pmatrix}. $$ Поэтому ось абсцисс $\{y=0\}$ состоит из неподвижных точек (одноточечных орбит), а все остальные точки пространства $\mathfrak{g}^*$ образуют одну орбиту. Вычислим на ней форму Кириллова.

Поля скоростей на $\mathfrak{g}^*$ имеют вид $$ \hat{X}(\varphi)=[X,F]\bmod\mathfrak{g}^{\perp}= \begin{pmatrix} \beta y & * \\ -\alpha y & * \end{pmatrix}. $$ Взяв $$ Y= \begin{pmatrix} \gamma & \delta \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, $$ получим $$ \omega_{\varphi}(\hat{X}(\varphi),\hat{Y}(\varphi))= -\langle\hat{X}(\varphi),Y\rangle= -\operatorname{tr}\left( \begin{pmatrix} \beta y & * \\ -\alpha y & * \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \gamma & \delta \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) =\alpha\delta y-\beta\gamma y=\frac1y \begin{vmatrix} \beta y & \delta y \\ -\alpha y & -\gamma y \end{vmatrix}, $$ откуда $$\omega=\frac{dx\wedge dy}y.$$

Гамильтоновы векторные поля и скобка Пуассона

На римановом многообразии $M$ с метрикой $\gamma$ касательное пространство $T_xM$ в любой точке $x\in M$ можно отождествить с кокасательным пространством $T^*_xM$ с помощью скалярного умножения $\gamma_x$ на $T_xM$. Поэтому имеется каноническое взаимно однозначное соответствие между векторными полями и дифференциальными 1-формами на $M$. В частности, у каждой функции $f$ есть поле градиента $\nabla{f}$, соответствующее дифференциалу этой функции. Оно определяется из формулы $df(\xi)=\gamma(\nabla{f},\xi)$, где $\xi$ — произвольное векторное поле.

То же самое справедливо и для симплектического многообразия $M$ с симплектической формой $\omega$. Векторное поле, соответствующее дифференциалу функции $f$, называется её полем косого градиента и обозначается также $\nabla{f}$. Оно определяется из формулы $$\omega(\nabla{f},\xi)=df(\xi)=\partial_{\xi}f=-L_{\xi}f,$$ где $\xi$ — произвольное векторное поле на $M$. Поля косых градиентов функций на симплектическом многообразии также называются гамильтоновыми векторными полями, а сами функции — их гамильтонианами. Заметим, что гамильтониан векторного поля определён не однозначно, а с точностью до прибавления локально постоянной функции.

Определение. Скобка Пуассона функций $f$ и $g$ на симплектическом многообразии $M$ определяется формулой $$\{f,g\}=\omega(\nabla{f},\nabla{g})=L_{\nabla{f}}^{\strut}g=-L_{\nabla{g}}^{\strut}f.$$

Операция скобки Пуассона на алгебре дифференцируемых функций билинейна, кососимметрична и удовлетворяет тождеству Лейбница: $$\{f,gh\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot\{f,h\}.$$

Для справедливости всего вышесказанного нужна лишь невырожденность 2-формы $\omega$ на многообразии $M$. Однако её замкнутость имеет дополнительные замечательные следствия.

Теорема. Следующие условия эквивалентны:

(1) $d\omega=0$;

(2) $L_{\nabla{f}}^{\strut}\omega=0$ для любой функции $f$;

(3) скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби $$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$$ (т.е. алгебра функций на симплектическом многообразии является алгеброй Ли относительно скобки Пуассона).

Эквивалентность условий (1) и (2) вытекает из формулы гомотопии: $L_{\nabla{f}}^{\strut}\omega=-i_{\nabla{f}}^{\strut}(d\omega)$, поскольку $d(i_{\nabla{f}}^{\strut}\omega)=d(df)=0$. Так как косые градиенты функций порождают касательное пространство в каждой точке (ибо их дифференциалы порождают кокасательное пространство), $d\omega=0$ тогда и только тогда, когда $i_{\nabla{f}}^{\strut}(d\omega)=0$ для всех $f$.

Эквивалентность условий (1) и (3) проверяется вычислением значений дифференциала формы $\omega$ на гамильтоновых полях (задача 25.3), чем форма $d\omega$ полностью определяется.

предыдущий семинар	16 апреля 2015 г.	следующий семинар
Тема 25 Коприсоединённые орбиты групп Ли. Гамильтоновы поля и скобка Пуассона. Пусть группа Ли $G$ действует (дифференцируемым образом) на многообразии $M$. Орбита $O=Gx$ любой точки $x\in M$ является виртуальным (или погружённым) подмногообразием в $M$. Это означает, что на $O$ имеется структура гладкого многообразия, причём вложение $O\hookrightarrow M$ диффеоморфно отображает достаточно малую окрестность каждой точки $x\in O$ на некоторое подмногообразие в $M$ (однако при этом топология на $O$, вообще говоря, не является ограничением топологии на $M$, т.е. $O$ может не быть настоящим подмногообразием в $M$). Локальные координаты в окрестности точки $x\in O$ можно определить следующим образом. Стабилизатор точки $H=G_x\subset G$ является подгруппой Ли. Можно выбрать в окрестности точки $\mathcal{E}\in G$ подмногообразие $S\subset G$ пересекающее $H$ в $\mathcal{E}$ трансверсально (т.е. $T_{\mathcal{E}}G=T_{\mathcal{E}}S\oplus T_{\mathcal{E}}H$). Если окрестность достаточно мала, то для всех $\mathcal{U}\in S$ смежные классы $\mathcal{U}\cdot H$ пересекают $S$ трансверсально в единственной точке $\mathcal{U}$, и операция умножения диффеоморфно отображает $S\times H$ на открытое подмножество $S\cdot H\subset G$. Орбитное отображение $G\to O$, $\mathcal{U}\mapsto\mathcal{U}\cdot x$ биективно отображает $S$ на подмножество $S\cdot x\subset O$, которое является окрестностью точки $x\in O$, и локальные координаты на ней происходят из локальных координат на $S$. Касательное пространство к орбите в любой точке состоит из векторов скоростей: $$ T_xO=\{\widehat{\mathcal{X}}(x)\mid\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\}. $$ Коприсоединённые орбиты. Пусть $\varphi\in\mathfrak{g}^$ — произвольный вектор в коприсоединённом представлении группы Ли $G$, т.е. линейная форма на касательной алгебре Ли $\mathfrak{g}$. Его орбита $O=\operatorname{Ad}^(G)\cdot\varphi$ является виртуальным подмногообразием в $\mathfrak{g}^$, и в каждой её точке на касательном пространстве определено кососкалярное умножение по формуле $$ \omega_{\varphi}(\widehat{\mathcal{X}}(\varphi),\widehat{\mathcal{Y}}(\varphi))=\langle\varphi,[\mathcal{X},\mathcal{Y}]\rangle= -\langle\widehat{\mathcal{X}}(\varphi),\mathcal{Y}\rangle=\langle\widehat{\mathcal{Y}}(\varphi),\mathcal{X}\rangle, \qquad\forall\mathcal{X},\mathcal{Y}\in\mathfrak{g} $$ (в частном случае $G=GL(V)$ мы его уже фактически рассматривали раньше). Таким образом, на $O$ возникает невырожденная дифференциальная 2-форма $\omega$, называемая формой Кириллова. Она задаёт на орбите $O$ симплектическую структуру (задача 25.1). Следовательно, орбиты коприсоединённого представления являются симплектическими многообразиями. В частности, все они имеют чётную размерность. Пример. Рассмотрим группу Ли $G$ аффинных преобразований прямой, т.е. преобразований вида $x\mapsto ax+b$, где $a\ne0$. Её можно реализовать в виде подгруппы в $GL_2(\mathbb{K})$, состоящей из матриц вида $$ U= \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ Опишем орбиты её коприсоединённого представления и форму Кириллова на каждой из них. Касательная алгебра Ли $\mathfrak{g}$ состоит из матриц вида $$ X= \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, $$ а двойственное пространство $\mathfrak{g}^\simeq\operatorname{Mat}_2(\mathbb{K})/\mathfrak{g}^{\perp}$, где $$ \mathfrak{g}^{\perp}= \left\{\begin{pmatrix} 0 & * \\ 0 & * \end{pmatrix}\right\}. $$ Векторы $\varphi\in\mathfrak{g}^$ представляются матрицами, у которых 2-й столбец не имеет значения: $$ F= \begin{pmatrix} x & \\ y & * \end{pmatrix}. $$ Коприсоединённое представление изоморфно факторпредставлению присоединённого представления группы $G$ на всей алгебре матриц $\operatorname{Mat}_2(\mathbb{K})$: $$ \operatorname{Ad}^(U)\varphi=U\cdot F\cdot U^{-1}\bmod\mathfrak{g}^{\perp}= \begin{pmatrix} x+\frac{by}a & \\ \frac{y}a & * \end{pmatrix}. $$ Поэтому ось абсцисс $\{y=0\}$ состоит из неподвижных точек (одноточечных орбит), а все остальные точки пространства $\mathfrak{g}^$ образуют одну орбиту. Вычислим на ней форму Кириллова. Поля скоростей на $\mathfrak{g}^$ имеют вид $$ \hat{X}(\varphi)=[X,F]\bmod\mathfrak{g}^{\perp}= \begin{pmatrix} \beta y & * \\ -\alpha y & * \end{pmatrix}. $$ Взяв $$ Y= \begin{pmatrix} \gamma & \delta \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, $$ получим $$ \omega_{\varphi}(\hat{X}(\varphi),\hat{Y}(\varphi))= -\langle\hat{X}(\varphi),Y\rangle= -\operatorname{tr}\left( \begin{pmatrix} \beta y & * \\ -\alpha y & * \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \gamma & \delta \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) =\alpha\delta y-\beta\gamma y=\frac1y \begin{vmatrix} \beta y & \delta y \\ -\alpha y & -\gamma y \end{vmatrix}, $$ откуда $$\omega=\frac{dx\wedge dy}y.$$ Гамильтоновы векторные поля и скобка Пуассона На римановом многообразии $M$ с метрикой $\gamma$ касательное пространство $T_xM$ в любой точке $x\in M$ можно отождествить с кокасательным пространством $T^_xM$ с помощью скалярного умножения $\gamma_x$ на $T_xM$. Поэтому имеется каноническое взаимно однозначное соответствие между векторными полями и дифференциальными 1-формами на $M$. В частности, у каждой функции $f$ есть поле градиента $\nabla{f}$, соответствующее дифференциалу этой функции. Оно определяется из формулы $df(\xi)=\gamma(\nabla{f},\xi)$, где $\xi$ — произвольное векторное поле. То же самое справедливо и для симплектического многообразия $M$ с симплектической формой $\omega$. Векторное поле, соответствующее дифференциалу функции $f$, называется её полем косого градиента* и обозначается также $\nabla{f}$. Оно определяется из формулы $$\omega(\nabla{f},\xi)=df(\xi)=\partial_{\xi}f=-L_{\xi}f,$$ где $\xi$ — произвольное векторное поле на $M$. Поля косых градиентов функций на симплектическом многообразии также называются гамильтоновыми векторными полями, а сами функции — их гамильтонианами. Заметим, что гамильтониан векторного поля определён не однозначно, а с точностью до прибавления локально постоянной функции. Определение. Скобка Пуассона функций $f$ и $g$ на симплектическом многообразии $M$ определяется формулой $$\{f,g\}=\omega(\nabla{f},\nabla{g})=L_{\nabla{f}}^{\strut}g=-L_{\nabla{g}}^{\strut}f.$$ Операция скобки Пуассона на алгебре дифференцируемых функций билинейна, кососимметрична и удовлетворяет тождеству Лейбница: $$\{f,gh\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot\{f,h\}.$$ Для справедливости всего вышесказанного нужна лишь невырожденность 2-формы $\omega$ на многообразии $M$. Однако её замкнутость имеет дополнительные замечательные следствия. Теорема. Следующие условия эквивалентны: (1) $d\omega=0$; (2) $L_{\nabla{f}}^{\strut}\omega=0$ для любой функции $f$; (3) скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби $$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$$ (т.е. алгебра функций на симплектическом многообразии является алгеброй Ли относительно скобки Пуассона). Эквивалентность условий (1) и (2) вытекает из формулы гомотопии: $L_{\nabla{f}}^{\strut}\omega=-i_{\nabla{f}}^{\strut}(d\omega)$, поскольку $d(i_{\nabla{f}}^{\strut}\omega)=d(df)=0$. Так как косые градиенты функций порождают касательное пространство в каждой точке (ибо их дифференциалы порождают кокасательное пространство), $d\omega=0$ тогда и только тогда, когда $i_{\nabla{f}}^{\strut}(d\omega)=0$ для всех $f$. Эквивалентность условий (1) и (3) проверяется вычислением значений дифференциала формы $\omega$ на гамильтоновых полях (задача 25.3), чем форма $d\omega$ полностью определяется. Задачи Задача 25.1. Форма Кириллова на любой орбите коприсоединённого представления группы Ли замкнута. Задача 25.2. Описать орбиты коприсоединённого представления и вычислить на них формы Кириллова a) для группы Гейзенберга, состоящей из матриц вида $$ \begin{pmatrix} 1 & x_1 & \dots & x_n & z \\ & 1 & & \mathrm{O} & y_1 \\ & & \ddots & & \vdots \\ & \mathrm{O} & & 1 & y_n \\ & & & & 1 \\ \end{pmatrix} $$ б) для группы $SO_3(\mathbb{R})$. Задача 25.3. Значение дифференциала невырожденной 2-формы $\omega$ на тройке гамильтоновых векторных полей вычисляется по формуле $$d\omega(\nabla{f},\nabla{g},\nabla{h})=\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}.$$ Задача 25.4. Пусть $M$ — симплектическое многообразие с симплектической формой $\omega$, $\xi$ — векторное поле на $M$, $\varphi^t$ — его фазовый поток. Следующие условия эквивалентны: (1) $\varphi^t\omega=\omega$ (т.е. фазовый поток действует автоморфизмами симплектической структуры); (2) поле $\xi$ локально гамильтоново (т.е. в окрестности каждой точки для него существует гамильтониан). Задача 25.5. Для любых функций $f,g$ на симплектическом многообразии $M$ верна формула $\nabla\{f,g\}=[\nabla{f},\nabla{g}]$ (т.е. операция косого градиента — гомоморфизм алгебр Ли).