Симплектическая форма $\omega$ на симплектическом многообразии $M$ задаёт в каждой точке $x\in M$ изоморфизм векторных пространств $T_xM\simeq T^*_xM$, при котором, в частности, косые градиенты функций переходят в их дифференциалы. С помощью этого изоморфизма можно превратить кососкалярное умножение $\omega_x$ на $T_xM$ в кососкалярное умножение на $T^*_xM$, т.е. в бивектор $\beta_x\in\bigwedge^2T_xM$. Таким образом, на $M$ возникает поле бивекторов $\beta$, с помощью которого можно задать скобку Пуассона: $$\{f,g\}=\omega(\nabla{f},\nabla{g})=\beta(df,dg).$$ В локальных координатах $$ \{f,g\}=\sum_{i,j}\beta_{ij}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}\frac{\partial{g}}{\partial{x_j}}=\sum_{i< j}\beta_{ij} \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}\cdot\frac{\partial{g}}{\partial{x_j}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x_j}}\cdot\frac{\partial{g}}{\partial{x_i}}\right), $$ где $\beta_{ij}=\{x_i,x_j\}$ образуют кососимметрическую матрицу $B$. Вычислим её.

Имеем $\omega=\sum_{i< j}\omega_{ij}dx_i\wedge dx_j$, т.е. $$ \omega(\xi,\eta)=\sum_{i< j}\omega_{ij}(\xi_i\eta_j-\xi_j\eta_i)=\sum_{i,j}\omega_{ij}\xi_i\eta_j, $$ где $\omega_{ij}$ образуют кососимметрическую матрицу $\Omega$. Каждому вектору $\xi$ соответствует ковектор $\xi^*$, так что верны следующие формулы: $$ \langle\xi^*,\eta\rangle=\omega(\xi,\eta)=\beta(\xi^*,\eta^*) $$ или, в координатах, $$ \sum_j\xi^*_j\eta_j=\sum_{i,j}\omega_{ij}\xi_i\eta_j=\sum_{j,k}\beta_{jk}\xi^*_j\eta^*_k. $$ Отсюда получаем выражения координат ковектора через координаты вектора и обратно: \begin{align} \xi^*_j&=\sum_i\omega_{ij}\xi_i,\\ \eta_j&=\sum_k\beta_{jk}\eta^*_k, \end{align} Выражая с помощью этих формул координаты вектора $\xi$ через координаты ковектора $\xi^*$ и обратно, получаем $$ \xi_j=\sum_k\beta_{jk}\xi^*_k=\sum_{k,i}\beta_{jk}\omega_{ik}\xi_i, $$ откуда $B\cdot\Omega^{\top}=E$ и, стало быть, $B=(\Omega^{\top})^{-1}=-\Omega^{-1}$.

Стандартная модель. Рассмотрим симплектическое пространство $\mathbb{K}^{2n}$ со стандартной симплектической формой $\omega=dx_1\wedge dy_1+\dots+dx_n\wedge dy_n$, где $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$ — координаты на $\mathbb{K}^{2n}$. Обозначим через $e_1,\dots,e_n,f_1,\dots,f_n$ базисные векторные поля. Все, с точностью до перестановки аргументов, ненулевые кососкалярные произведения базисных векторов суть $\omega(e_i,f_i)=1$, т.е. $$ \Omega= \begin{pmatrix} \mathrm{O} & E \\ -E & \mathrm{O} \\ \end{pmatrix} =B. $$ Поэтому косые градиенты координатных функций суть $\nabla{x_i}=-f_i$, $\nabla{y_i}=e_i$, а скобка Пуассона вычисляется по формуле $$ \{f,g\}=\sum_i \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}\cdot\frac{\partial{g}}{\partial{y_i}}-\frac{\partial{f}}{\partial{y_i}}\cdot\frac{\partial{g}}{\partial{x_i}}\right). $$

Кокасательные расслоения. Класс дифференцируемых функций на кокасательном расслоении $T^*M$ с проекцией $\pi:T^*M\to M$ функционально порождается функциями вида $\pi^*f$ (где $f$ — функция на $M$) и $\xi$ (векторное поле на $M$, рассматриваемое как функция на $T^*M$, линейная на слоях $T^*_xM$). Поэтому скобка Пуассона определяется значениями на таких функциях. Поля косых градиентов имеют вид $\nabla(\pi^*f)=-df$ (вертикальное векторное поле, задаваемое дифференциалом функции) и $\nabla\xi=\hat\xi$, а скобки Пуассона равны \begin{align} \{\pi^*f,\pi^*g\}&=0,\\ \{\xi,\eta\}&=[\xi,\eta],\\ \{\xi,\pi^*g\}&=\pi^*(L_{\xi}g). \end{align}

Коприсоединённые орбиты. Пусть $O=\operatorname{Ad}^*(G)\varphi\subset\mathfrak{g}^*$ — орбита коприсоединённого представления группы Ли. Класс дифференцируемых функций на $O$ функционально порождается функциями $\varphi\mapsto\langle\varphi,\mathcal{X}\rangle$, $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$. Эти функции, будучи линейными, совпадают со своими дифференциалами, а их поля косых градиентов суть поля скоростей: $\nabla\mathcal{X}=\widehat{\mathcal{X}}$. Отсюда $$ \{\mathcal{X},\mathcal{Y}\}=[\mathcal{X},\mathcal{Y}],\qquad\forall\mathcal{X},\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}, $$ а для произвольных функций $f,g$ их скобка Пуассона вычисляется по формуле $$ \{f,g\}(\varphi)=\langle\varphi,[d_{\varphi}f,d_{\varphi}g]\rangle, $$ где дифференциалы функций интерпретируются как элементы алгебры Ли: $d_{\varphi}f\in T^*_{\varphi}O\simeq\mathfrak{g}/(T_{\varphi}O)^{\perp}$.

предыдущий семинар	23 апреля 2015 г.	следующий семинар
Тема 26 Вычисление скобок Пуассона Симплектическая форма $\omega$ на симплектическом многообразии $M$ задаёт в каждой точке $x\in M$ изоморфизм векторных пространств $T_xM\simeq T^_xM$, при котором, в частности, косые градиенты функций переходят в их дифференциалы. С помощью этого изоморфизма можно превратить кососкалярное умножение $\omega_x$ на $T_xM$ в кососкалярное умножение на $T^_xM$, т.е. в бивектор $\beta_x\in\bigwedge^2T_xM$. Таким образом, на $M$ возникает поле бивекторов $\beta$, с помощью которого можно задать скобку Пуассона: $$\{f,g\}=\omega(\nabla{f},\nabla{g})=\beta(df,dg).$$ В локальных координатах $$ \{f,g\}=\sum_{i,j}\beta_{ij}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}\frac{\partial{g}}{\partial{x_j}}=\sum_{i< j}\beta_{ij} \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}\cdot\frac{\partial{g}}{\partial{x_j}}-\frac{\partial{f}}{\partial{x_j}}\cdot\frac{\partial{g}}{\partial{x_i}}\right), $$ где $\beta_{ij}=\{x_i,x_j\}$ образуют кососимметрическую матрицу $B$. Вычислим её. Имеем $\omega=\sum_{i< j}\omega_{ij}dx_i\wedge dx_j$, т.е. $$ \omega(\xi,\eta)=\sum_{i< j}\omega_{ij}(\xi_i\eta_j-\xi_j\eta_i)=\sum_{i,j}\omega_{ij}\xi_i\eta_j, $$ где $\omega_{ij}$ образуют кососимметрическую матрицу $\Omega$. Каждому вектору $\xi$ соответствует ковектор $\xi^$, так что верны следующие формулы: $$ \langle\xi^,\eta\rangle=\omega(\xi,\eta)=\beta(\xi^,\eta^) $$ или, в координатах, $$ \sum_j\xi^_j\eta_j=\sum_{i,j}\omega_{ij}\xi_i\eta_j=\sum_{j,k}\beta_{jk}\xi^_j\eta^_k. $$ Отсюда получаем выражения координат ковектора через координаты вектора и обратно: \begin{align} \xi^_j&=\sum_i\omega_{ij}\xi_i,\\ \eta_j&=\sum_k\beta_{jk}\eta^_k, \end{align} Выражая с помощью этих формул координаты вектора $\xi$ через координаты ковектора $\xi^$ и обратно, получаем $$ \xi_j=\sum_k\beta_{jk}\xi^_k=\sum_{k,i}\beta_{jk}\omega_{ik}\xi_i, $$ откуда $B\cdot\Omega^{\top}=E$ и, стало быть, $B=(\Omega^{\top})^{-1}=-\Omega^{-1}$. Стандартная модель.* Рассмотрим симплектическое пространство $\mathbb{K}^{2n}$ со стандартной симплектической формой $\omega=dx_1\wedge dy_1+\dots+dx_n\wedge dy_n$, где $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$ — координаты на $\mathbb{K}^{2n}$. Обозначим через $e_1,\dots,e_n,f_1,\dots,f_n$ базисные векторные поля. Все, с точностью до перестановки аргументов, ненулевые кососкалярные произведения базисных векторов суть $\omega(e_i,f_i)=1$, т.е. $$ \Omega= \begin{pmatrix} \mathrm{O} & E \\ -E & \mathrm{O} \\ \end{pmatrix} =B. $$ Поэтому косые градиенты координатных функций суть $\nabla{x_i}=-f_i$, $\nabla{y_i}=e_i$, а скобка Пуассона вычисляется по формуле $$ \{f,g\}=\sum_i \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}\cdot\frac{\partial{g}}{\partial{y_i}}-\frac{\partial{f}}{\partial{y_i}}\cdot\frac{\partial{g}}{\partial{x_i}}\right). $$ Кокасательные расслоения. Класс дифференцируемых функций на кокасательном расслоении $T^M$ с проекцией $\pi:T^M\to M$ функционально порождается функциями вида $\pi^f$ (где $f$ — функция на $M$) и $\xi$ (векторное поле на $M$, рассматриваемое как функция на $T^M$, линейная на слоях $T^_xM$). Поэтому скобка Пуассона определяется значениями на таких функциях. Поля косых градиентов имеют вид $\nabla(\pi^f)=-df$ (вертикальное векторное поле, задаваемое дифференциалом функции) и $\nabla\xi=\hat\xi$, а скобки Пуассона равны \begin{align} \{\pi^f,\pi^g\}&=0,\\ \{\xi,\eta\}&=[\xi,\eta],\\ \{\xi,\pi^g\}&=\pi^(L_{\xi}g). \end{align} Коприсоединённые орбиты. Пусть $O=\operatorname{Ad}^(G)\varphi\subset\mathfrak{g}^$ — орбита коприсоединённого представления группы Ли. Класс дифференцируемых функций на $O$ функционально порождается функциями $\varphi\mapsto\langle\varphi,\mathcal{X}\rangle$, $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$. Эти функции, будучи линейными, совпадают со своими дифференциалами, а их поля косых градиентов суть поля скоростей: $\nabla\mathcal{X}=\widehat{\mathcal{X}}$. Отсюда $$ \{\mathcal{X},\mathcal{Y}\}=[\mathcal{X},\mathcal{Y}],\qquad\forall\mathcal{X},\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}, $$ а для произвольных функций $f,g$ их скобка Пуассона вычисляется по формуле $$ \{f,g\}(\varphi)=\langle\varphi,[d_{\varphi}f,d_{\varphi}g]\rangle, $$ где дифференциалы функций интерпретируются как элементы алгебры Ли: $d_{\varphi}f\in T^*_{\varphi}O\simeq\mathfrak{g}/(T_{\varphi}O)^{\perp}$. Задачи Задача 26.1. Доказать формулы для косых градиентов и скобок Пуассона на кокасательном расслоении.