Понятие симплектического многообразия допускает обобщение.

Определение 1. Пуассоново многообразие — это многообразие $M$, на котором задано поле бивекторов $\beta$, определяющее на дифференцируемых функциях на $M$ операцию $$\{f,g\}=\beta(df,dg)$$ (скобка Пуассона), которая удовлетворяет тождеству Якоби (билинейность, кососимметричность и тождество Лейбница выполнены автоматически).

Пуассоново многообразие $M$ является симплектическим тогда и только тогда, когда бивектор $\beta_x\in\bigwedge^2T_xM$ невырожден для каждой точки $x\in M$.

Ряд понятий симплектической геометрии можно определить и для пуассоновых многообразий. В частности, бивектор $\beta_x$, рассматриваемый как кососимметрическая билинейная форма на $T^*_xM$, задаёт линейное отображение $T^*_xM\to T_xM$ (не обязательно изоморфизм), с помощью которого каждой дифференциальной 1-форме можно сопоставить (не обязательно взаимно однозначно) векторное поле на $M$. Это позволяет определить для каждой функции $f$ её поле косого градиента $\nabla{f}$ по правилу $$\beta(\alpha,df)=\langle\alpha,\nabla{f}\rangle$$ (для любой 1-формы $\alpha$), так что, как и раньше, $$\{f,g\}=L_{\nabla{f}}^{\strut}g=-L_{\nabla{g}}^{\strut}f.$$

Более того, пуассоновы многообразия в определённом смысле сводятся к симплектическим.

Теорема 1. Всякое пуассоново многообразие допускает разбиение $M=\bigsqcup_aS_a$ в дизъюнктное объединение виртуальных подмногообразий $S_a$ (симплектические листы), на каждом из которых имеется симплектическая структура, причём $$\{f,g\}|_{S_a}=\{f|_{S_a},g|_{S_a}\}$$ для любых функций $f,g$ на $M$ (т.е. скобка Пуассона на пуассоновом многообразии вычисляется путём ограничения функций на симплектические листы как скобка Пуассона для соответствующих симплектических структур на листах).

Гамильтоновы векторные поля (т.е. поля косых градиентов функций) на пуассоновом многообразии касаются симплектических листов, и касательное пространство $T_xS_a$ в любой точке $x\in S_a$ каждого симплектического листа $S_a\subseteq M$ состоит из косых градиентов функций в точке $x$. Это свойство однозначно определяет разбиение многообразия $M$ на листы.

Пример 1. Пространство $\mathfrak{g}^*$ коприсоединённого представления группы Ли $G$ является пуассоновым многообразием. Скобка Пуассона функций на всём пространстве $\mathfrak{g}^*$ определяется так же, как на отдельных коприсоединённых орбитах, которые являются симплектическими листами этого пуассонова многообразия.

Можно рассматривать скобки Пуассона с чисто алгебраической точки зрения.

Определение 2. Алгебра Пуассона — это коммутативная ассоциативная алгебра с единицей $F$ над полем $\mathbb{K}$, на которой, помимо структуры векторного пространства и операции умножения, ещё определена операция $\{\cdot,\cdot\}$ (скобка Пуассона), задающая на $F$ структуру алгебры Ли и связанная с умножением в алгебре $F$ тождеством Лейбница.

Примером алгебры Пуассона является алгебра дифференцируемых функций на симплектическом или пуассоновом многообразии. Алгебры Пуассона можно строить с помощью следующей алгебраической конструкции.

Пусть $A$ — ассоциативная (но не обязательно коммутативная) алгебра с единицей, снабжённая возрастающей фильтрацией, т.е. такой цепочкой вложенных подпространств $$\mathbb{K}\subseteq A_0\subseteq A_1\subseteq A_2\subseteq\dots,$$ что $\bigcup_nA_n=A$ и $A_n\cdot A_m\subseteq A_{n+m}$ для любых $n,m$.

Определение 3. Присоединённая (к фильтрованной алгебре $A$) градуированная алгебра — это пространство $$F=\operatorname{gr}A=A_0\oplus A_1/A_0\oplus A_2/A_1\oplus\cdots,$$ на котором операция умножения определяется следующим образом. Для каждого $a\in A_n$ рассмотрим его смежный класс $$\operatorname{gr}_na=a+A_{n-1}\in A_n/A_{n-1},$$ называемый также символом $n$-го порядка элемента $a$. Умножение определяется на символах: $$\operatorname{gr}_na\cdot\operatorname{gr}_mb=\operatorname{gr}_{n+m}ab,\qquad\forall a\in A_n,\ b\in A_m,$$ и продолжается по линейности на всё $F$. Предположим, что $$a\in A_n,\ b\in A_m \implies [a,b]=ab-ba\in A_{n+m-1}.$$ Тогда на присоединённой градуированной алгебре $F$ можно определить скобку Пуассона $$\{\operatorname{gr}_na,\operatorname{gr}_mb\}=\operatorname{gr}_{n+m-1}[a,b],\qquad\forall a\in A_n,\ b\in A_m,$$ превращающую $F$ в пуассонову алгебру.

Замечание. Как векторное пространство, $F$ изоморфно $A$: выбрав в каждом $A_n$ подпространство $F_n$, дополнительное к $A_{n-1}$, получим, что $$A=F_0\oplus F_1\oplus F_2\oplus\cdots\simeq F.$$ Однако умножение в $F$ устроено иначе, чем в $A$. Так, алгебра $F$ коммутативна, а $A$ — нет. Можно сказать, что умножение в $F$ получается из умножения в $A$ "забыванием младших членов".

Пример 2. Пусть $A$ — алгебра дифференциальных операторов на многообразии $M$, т.е. операторов, действующих на дифференцируемые функции и записываемых в локальных координатах выражениями вида $$ \partial=\sum_{i_1,\dots,i_k}f_{i_1\dots i_k}\frac{\partial^k}{\partial x_{i_1}\cdots\partial x_{i_k}}, $$ где $f_{i_1\dots i_k}$ — дифференцируемые функции. На алгебре $A$ имеется естественная фильтрация по порядку дифференциального оператора: $$ A_n=\left\{\partial=\sum_{\substack{i_1,\dots,i_k \\ k\le n}}f_{i_1\dots i_k}\frac{\partial^k}{\partial x_{i_1}\cdots\partial x_{i_k}}\right\}. $$ Алгебра $A$ порождается операторами умножения на дифференцируемые функции и операторами производных Ли вдоль векторных полей, которые мы обозначим теми же буквами, что сами функции и векторные поля. Эти операторы, вообще говоря, не коммутируют, а коммутационные соотношения между ними таковы:

$[f,g]=0$ для любых функций $f,g$;
если $\xi,\eta$ — векторные поля, то $[\xi,\eta]$ — их коммутатор;
$[\xi,g]=L_{\xi}g$, где $\xi$ — векторное поле, а $g$ — функция.

Присоединённая градуированная алгебра $F$ изоморфна (как алгебра Пуассона) подалгебре в алгебре дифференцируемых функций на кокасательном расслоении $T^*M$ (задача 27.2).

Пример 3. Симметрическая алгебра алгебры Ли $\mathfrak{g}$ или, что то же самое, алгебра многочленов на сопряжённом пространстве $F=S(\mathfrak{g})=\mathbb{K}[\mathfrak{g}^*]$ является алгеброй Пуассона (это подалгебра в алгебре дифференцируемых функций на пуассоновом многообразии $\mathfrak{g}^*$). Она может быть получена вышеописанной конструкцией из т.н. универсальной обертывающей алгебры $A=U(\mathfrak{g})$.

Гамильтонова динамика занимается исследованием и решением гамильтоновых систем дифференциальных уравнений вида $$\dot{x}=\nabla_xf$$ на симплектическом или пуассоновом многообразии $M$. Для нахождения решений гамильтоновой системы уравнений, т.е. фазовых кривых $x(t)$ полезно найти как можно больше первых интегралов, т.е. функций, постоянных на фазовых кривых. Функция $g$ является первым интегралом гамильтоновой системы тогда и только тогда, когда она коммутирует с её гамильтонианом: $\{f,g\}=0$. (В частности, сам гамильтониан $f$ является первым интегралом, т.е. поле косого градиента $\nabla{f}$ касается гиперповерхностей уровня $f=\text{const}$, по контрасту с римановой геометрией, где градиенты функций перпендикулярны их гиперповерхностям уровня.)

Особенно интересен случай, когда удаётся найти достаточно большой набор функционально независимых первых интегралов, коммутирующих друг с другом относительно скобки Пуассона или, как говорят, находящихся в инволюции.

Теорема 2. Пусть $f_1,\dots,f_m$ — функции в инволюции на пуассоновом многообразии $M$, функционально независимые на плотном открытом подмножестве $M$ (т.е. $df_1,\dots,df_m$ линейно независимы в каждой точке этого подмножества). Тогда $m\le n-l$, где $n=\dim M$, а $2l$ — максимальная размерность симплектического листа $S_a\subseteq M$. Если $m=n-l$, и многообразие уровня $$ M_c=\{x\in M\mid f_1(x)=c_1,\dots,f_m(x)=c_m\} $$ компактно, причём $df_1,\dots,df_m$ линейно независимы на $M_c$, то $$ M_c\simeq\underbrace{S^1\times\dots\times S^1}_l $$ (тор Лиувилля). При этом поле косого градиента любой функции $f$, коммутирующей с $f_1,\dots,f_m$, касается тора $M_c$, и в угловых координатах на $M_c$ фазовые кривые гамильтонова поля $\nabla{f}$ задаются уравнениями $$ x_i(t)=x_i(0)+\xi_it,\qquad i=1,\dots,l\qquad(\xi_i=\operatorname{const}) $$ (т.е. фазовый поток задаёт условно периодическое движение на торе Лиувилля). Вместо компактности многообразия $M_c$ можно потребовать, чтобы гамильтоновы поля $\nabla{f_1},\dots,\nabla{f_m}$ были полны, т.е. их фазовые потоки были бы настоящими однопараметрическими группами диффеоморфизмов, определённых глобально (по крайней мере, на $M_c$) при всех значениях параметра, — в этом случае $$ M_c\simeq\underbrace{S^1\times\dots\times S^1\times\mathbb{R}^1\times\dots\times\mathbb{R}^1}_l, $$ и некоторые из угловых координат превращаются в линейные.

Такие гамильтоновы системы дифференциальных уравнений называются вполне интегрируемыми. Имея указанный в теореме набор первых интегралов (т.н. полный набор интегралов в инволюции), вполне интегрируемую систему можно явно решить по крайней мере на "хороших" поверхностях уровня первых интегралов (вроде торов Лиувилля).

Ограничение сверху на число независимых функций в инволюции на пуассоновом многообразии следует из того, что их дифференциалы порождают изотропное подпространство в $T^*_xM$, размерность которого не может быть больше, чем $\dim\operatorname{Ker}\beta_x+(\operatorname{rk}\beta_x)/2=n-(\operatorname{rk}\beta_x)/2$, а $\operatorname{rk}\beta_x$ равен размерности симплектического листа, проходящего через $x$.

Набор функций в инволюции функционально порождает коммутативную (относительно скобки Пуассона) подалгебру в алгебре дифференцируемых функций на пуассоновом многообразии. При этом максимальные наборы независимых функций в инволюции порождают максимальные подалгебры (в классе коммутативных подалгебр). Поэтому в гамильтоновой динамике важна следующая

Задача. Найти максимальные коммутативные (относительно скобки Пуассона) подалгебры в пуассоновой алгебре $F$.

предыдущий семинар	30 апреля 2015 г.	следующий семинар
Тема 27 Пуассоновы многообразия и алгебры Понятие симплектического многообразия допускает обобщение. Определение 1. Пуассоново многообразие — это многообразие $M$, на котором задано поле бивекторов $\beta$, определяющее на дифференцируемых функциях на $M$ операцию $$\{f,g\}=\beta(df,dg)$$ (скобка Пуассона), которая удовлетворяет тождеству Якоби (билинейность, кососимметричность и тождество Лейбница выполнены автоматически). Пуассоново многообразие $M$ является симплектическим тогда и только тогда, когда бивектор $\beta_x\in\bigwedge^2T_xM$ невырожден для каждой точки $x\in M$. Ряд понятий симплектической геометрии можно определить и для пуассоновых многообразий. В частности, бивектор $\beta_x$, рассматриваемый как кососимметрическая билинейная форма на $T^_xM$, задаёт линейное отображение $T^_xM\to T_xM$ (не обязательно изоморфизм), с помощью которого каждой дифференциальной 1-форме можно сопоставить (не обязательно взаимно однозначно) векторное поле на $M$. Это позволяет определить для каждой функции $f$ её поле косого градиента $\nabla{f}$ по правилу $$\beta(\alpha,df)=\langle\alpha,\nabla{f}\rangle$$ (для любой 1-формы $\alpha$), так что, как и раньше, $$\{f,g\}=L_{\nabla{f}}^{\strut}g=-L_{\nabla{g}}^{\strut}f.$$ Более того, пуассоновы многообразия в определённом смысле сводятся к симплектическим. Теорема 1. Всякое пуассоново многообразие допускает разбиение $M=\bigsqcup_aS_a$ в дизъюнктное объединение виртуальных подмногообразий $S_a$ (симплектические листы), на каждом из которых имеется симплектическая структура, причём $$\{f,g\}\|_{S_a}=\{f\|_{S_a},g\|_{S_a}\}$$ для любых функций $f,g$ на $M$ (т.е. скобка Пуассона на пуассоновом многообразии вычисляется путём ограничения функций на симплектические листы как скобка Пуассона для соответствующих симплектических структур на листах). Гамильтоновы векторные поля (т.е. поля косых градиентов функций) на пуассоновом многообразии касаются симплектических листов, и касательное пространство $T_xS_a$ в любой точке $x\in S_a$ каждого симплектического листа $S_a\subseteq M$ состоит из косых градиентов функций в точке $x$. Это свойство однозначно определяет разбиение многообразия $M$ на листы. Пример 1. Пространство $\mathfrak{g}^$ коприсоединённого представления группы Ли $G$ является пуассоновым многообразием. Скобка Пуассона функций на всём пространстве $\mathfrak{g}^$ определяется так же, как на отдельных коприсоединённых орбитах, которые являются симплектическими листами этого пуассонова многообразия. Можно рассматривать скобки Пуассона с чисто алгебраической точки зрения. Определение 2. Алгебра Пуассона — это коммутативная ассоциативная алгебра с единицей $F$ над полем $\mathbb{K}$, на которой, помимо структуры векторного пространства и операции умножения, ещё определена операция $\{\cdot,\cdot\}$ (скобка Пуассона), задающая на $F$ структуру алгебры Ли и связанная с умножением в алгебре $F$ тождеством Лейбница. Примером алгебры Пуассона является алгебра дифференцируемых функций на симплектическом или пуассоновом многообразии. Алгебры Пуассона можно строить с помощью следующей алгебраической конструкции. Пусть $A$ — ассоциативная (но не обязательно коммутативная) алгебра с единицей, снабжённая возрастающей фильтрацией, т.е. такой цепочкой вложенных подпространств $$\mathbb{K}\subseteq A_0\subseteq A_1\subseteq A_2\subseteq\dots,$$ что $\bigcup_nA_n=A$ и $A_n\cdot A_m\subseteq A_{n+m}$ для любых $n,m$. Определение 3. Присоединённая (к фильтрованной алгебре $A$) градуированная алгебра — это пространство $$F=\operatorname{gr}A=A_0\oplus A_1/A_0\oplus A_2/A_1\oplus\cdots,$$ на котором операция умножения определяется следующим образом. Для каждого $a\in A_n$ рассмотрим его смежный класс $$\operatorname{gr}_na=a+A_{n-1}\in A_n/A_{n-1},$$ называемый также символом $n$-го порядка элемента $a$. Умножение определяется на символах: $$\operatorname{gr}_na\cdot\operatorname{gr}_mb=\operatorname{gr}_{n+m}ab,\qquad\forall a\in A_n,\ b\in A_m,$$ и продолжается по линейности на всё $F$. Предположим, что $$a\in A_n,\ b\in A_m \implies [a,b]=ab-ba\in A_{n+m-1}.$$ Тогда на присоединённой градуированной алгебре $F$ можно определить скобку Пуассона $$\{\operatorname{gr}_na,\operatorname{gr}_mb\}=\operatorname{gr}_{n+m-1}[a,b],\qquad\forall a\in A_n,\ b\in A_m,$$ превращающую $F$ в пуассонову алгебру. Замечание. Как векторное пространство, $F$ изоморфно $A$: выбрав в каждом $A_n$ подпространство $F_n$, дополнительное к $A_{n-1}$, получим, что $$A=F_0\oplus F_1\oplus F_2\oplus\cdots\simeq F.$$ Однако умножение в $F$ устроено иначе, чем в $A$. Так, алгебра $F$ коммутативна, а $A$ — нет. Можно сказать, что умножение в $F$ получается из умножения в $A$ "забыванием младших членов". Пример 2. Пусть $A$ — алгебра дифференциальных операторов на многообразии $M$, т.е. операторов, действующих на дифференцируемые функции и записываемых в локальных координатах выражениями вида $$ \partial=\sum_{i_1,\dots,i_k}f_{i_1\dots i_k}\frac{\partial^k}{\partial x_{i_1}\cdots\partial x_{i_k}}, $$ где $f_{i_1\dots i_k}$ — дифференцируемые функции. На алгебре $A$ имеется естественная фильтрация по порядку дифференциального оператора: $$ A_n=\left\{\partial=\sum_{\substack{i_1,\dots,i_k \\ k\le n}}f_{i_1\dots i_k}\frac{\partial^k}{\partial x_{i_1}\cdots\partial x_{i_k}}\right\}. $$ Алгебра $A$ порождается операторами умножения на дифференцируемые функции и операторами производных Ли вдоль векторных полей, которые мы обозначим теми же буквами, что сами функции и векторные поля. Эти операторы, вообще говоря, не коммутируют, а коммутационные соотношения между ними таковы: $[f,g]=0$ для любых функций $f,g$; если $\xi,\eta$ — векторные поля, то $[\xi,\eta]$ — их коммутатор; $[\xi,g]=L_{\xi}g$, где $\xi$ — векторное поле, а $g$ — функция. Присоединённая градуированная алгебра $F$ изоморфна (как алгебра Пуассона) подалгебре в алгебре дифференцируемых функций на кокасательном расслоении $T^M$ (задача 27.2). Пример 3. Симметрическая алгебра алгебры Ли $\mathfrak{g}$ или, что то же самое, алгебра многочленов на сопряжённом пространстве $F=S(\mathfrak{g})=\mathbb{K}[\mathfrak{g}^]$ является алгеброй Пуассона (это подалгебра в алгебре дифференцируемых функций на пуассоновом многообразии $\mathfrak{g}^$). Она может быть получена вышеописанной конструкцией из т.н. универсальной обертывающей алгебры* $A=U(\mathfrak{g})$. Гамильтонова динамика занимается исследованием и решением гамильтоновых систем дифференциальных уравнений вида $$\dot{x}=\nabla_xf$$ на симплектическом или пуассоновом многообразии $M$. Для нахождения решений гамильтоновой системы уравнений, т.е. фазовых кривых $x(t)$ полезно найти как можно больше первых интегралов, т.е. функций, постоянных на фазовых кривых. Функция $g$ является первым интегралом гамильтоновой системы тогда и только тогда, когда она коммутирует с её гамильтонианом: $\{f,g\}=0$. (В частности, сам гамильтониан $f$ является первым интегралом, т.е. поле косого градиента $\nabla{f}$ касается гиперповерхностей уровня $f=\text{const}$, по контрасту с римановой геометрией, где градиенты функций перпендикулярны их гиперповерхностям уровня.) Особенно интересен случай, когда удаётся найти достаточно большой набор функционально независимых первых интегралов, коммутирующих друг с другом относительно скобки Пуассона или, как говорят, находящихся в инволюции. Теорема 2. Пусть $f_1,\dots,f_m$ — функции в инволюции на пуассоновом многообразии $M$, функционально независимые на плотном открытом подмножестве $M$ (т.е. $df_1,\dots,df_m$ линейно независимы в каждой точке этого подмножества). Тогда $m\le n-l$, где $n=\dim M$, а $2l$ — максимальная размерность симплектического листа $S_a\subseteq M$. Если $m=n-l$, и многообразие уровня $$ M_c=\{x\in M\mid f_1(x)=c_1,\dots,f_m(x)=c_m\} $$ компактно, причём $df_1,\dots,df_m$ линейно независимы на $M_c$, то $$ M_c\simeq\underbrace{S^1\times\dots\times S^1}_l $$ (тор Лиувилля). При этом поле косого градиента любой функции $f$, коммутирующей с $f_1,\dots,f_m$, касается тора $M_c$, и в угловых координатах на $M_c$ фазовые кривые гамильтонова поля $\nabla{f}$ задаются уравнениями $$ x_i(t)=x_i(0)+\xi_it,\qquad i=1,\dots,l\qquad(\xi_i=\operatorname{const}) $$ (т.е. фазовый поток задаёт условно периодическое движение на торе Лиувилля). Вместо компактности многообразия $M_c$ можно потребовать, чтобы гамильтоновы поля $\nabla{f_1},\dots,\nabla{f_m}$ были полны, т.е. их фазовые потоки были бы настоящими однопараметрическими группами диффеоморфизмов, определённых глобально (по крайней мере, на $M_c$) при всех значениях параметра, — в этом случае $$ M_c\simeq\underbrace{S^1\times\dots\times S^1\times\mathbb{R}^1\times\dots\times\mathbb{R}^1}_l, $$ и некоторые из угловых координат превращаются в линейные. Такие гамильтоновы системы дифференциальных уравнений называются вполне интегрируемыми. Имея указанный в теореме набор первых интегралов (т.н. полный набор интегралов в инволюции), вполне интегрируемую систему можно явно решить по крайней мере на "хороших" поверхностях уровня первых интегралов (вроде торов Лиувилля). Ограничение сверху на число независимых функций в инволюции на пуассоновом многообразии следует из того, что их дифференциалы порождают изотропное подпространство в $T^_xM$, размерность которого не может быть больше, чем $\dim\operatorname{Ker}\beta_x+(\operatorname{rk}\beta_x)/2=n-(\operatorname{rk}\beta_x)/2$, а $\operatorname{rk}\beta_x$ равен размерности симплектического листа, проходящего через $x$. Набор функций в инволюции функционально порождает коммутативную (относительно скобки Пуассона) подалгебру в алгебре дифференцируемых функций на пуассоновом многообразии. При этом максимальные наборы независимых функций в инволюции порождают максимальные подалгебры (в классе коммутативных подалгебр). Поэтому в гамильтоновой динамике важна следующая Задача. Найти максимальные коммутативные (относительно скобки Пуассона) подалгебры в пуассоновой алгебре $F$. Задачи Задача 27.1. Проверить корректность определения структуры алгебры Пуассона на $\operatorname{gr}A$. Задача 27.2. Доказать, что присоединённая градуированная алгебра к алгебре дифференциальных операторов на многообразии $M$ изоморфна, как алгебра Пуассона, алгебре таких дифференцируемых функций на кокасательном расслоении $T^M$, которые на каждом кокасательном пространстве $T^*_xM$ являются многочленами.