Для нахождения разложения чисто сингулярной (или кронекеровой) пары линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V,U)$ на кронекеровы блоки имеется алгоритм, принадлежащий Кронекеру.

Начнём со случая, когда пара $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ является широким кронекеровым блоком размера $n\times(n+1)$. Тогда в пространстве $V$ имеется кронекеров базис $\{v_0,v_1,\dots,v_n\}$, для которого выполняются равенства: \begin{align} \mathcal{B}v_0 &= 0, \\ \mathcal{B}v_1 &= \mathcal{A}v_0, \\ (1)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \mathcal{B}v_2 &= \mathcal{A}v_1, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\\ \cdots&\cdots\cdots \\ \mathcal{B}v_n &= \mathcal{A}v_{n-1}, \\ 0 &= \mathcal{A}v_n. \end{align}

Положим \begin{align} V[t]&=V\otimes_{\mathbb{K}}\mathbb{K}[t],\\ U[t]&=U\otimes_{\mathbb{K}}\mathbb{K}[t]. \end{align} На эти пространства можно смотреть двояко — как на пространства векторнозначных многочленов с коэффициентами из $V$ и из $U$, соответственно, или как на свободные (конечнопорождённые) модули над кольцом $\mathbb{K}[t]$, базисами которых являются базисы векторных пространств $V$ и $U$ над полем $\mathbb{K}$. Линейные отображения $\mathcal{A},\mathcal{B}:V\to U$ продолжаются до гомоморфизмов $\mathbb{K}[t]$-модулей $V[t]\to U[t]$.

Равенства (1) можно переписать в виде $$ (2)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (\mathcal{B}-t\mathcal{A})\,v(t)=0, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad $$ где $$v(t)=v_0+v_1t+v_2t^2+\dots+v_nt^n\in V[t].$$

Пусть теперь $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ — произвольная кронекерова пара. Предположим, что в её разложении имеется $s$ широких кронекеровых блоков размеров $n_i\times(n_i+1)$ ($i=1,\dots,s$), и пусть $$v^{(1)}(t),\dots,v^{(s)}(t)\in\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$$ — многочлены, построенные по кронекеровым базисам этих блоков, как выше. Коэффициенты всех этих многочленов линейно независимы по построению и составляют базис пространства $L(\mathcal{A},\mathcal{B})$, порождённого ядрами всех нетривиальных линейных комбинаций отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}$ (задача 28.1).

По известной теореме всякий подмодуль свободного $\mathbb{K}[t]$-модуля является свободным $\mathbb{K}[t]$-модулем. В частности, $\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$ — свободный $\mathbb{K}[t]$-модуль. Мы докажем, что $\{v^{(1)}(t),\dots,v^{(s)}(t)\}$ — его базис.

Определение 1. Подмодуль $M\subseteq V[t]$ называется примитивным, если из $f(t)\,x(t)\in M$ следует, что $x(t)\in M$ (для любых $f(t)\in\mathbb{K}[t]$, $x(t)\in V[t]$).

Очевидно, что ядро любого гомоморфизма модуля $V[t]$ в свободный $\mathbb{K}[t]$-модуль, в частности, модуль $\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$, является примитивным подмодулем.

Более того, элементы $v^{(1)}(t),\dots,v^{(s)}(t)$ порождают примитивный подмодуль в $V[t]$. В самом деле, совокупность их коэффициентов может быть дополнена до базиса пространства $V$ над полем $\mathbb{K}$, который одновременно является базисом свободного $\mathbb{K}[t]$-модуля $V[t]$. Cами элементы $v^{(1)}(t),\dots,v^{(s)}(t)$ образуют подмножество в базисе модуля $V[t]$, полученном из построенного базиса элементарными преобразованиями. Ясно, что подмодуль свободного модуля, порождённый частью базисных векторов, примитивен.

Поскольку ранг модуля $\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$, очевидно, равен $s$, элементы $v^{(1)}(t),\dots,v^{(s)}(t)$ образуют базис этого модуля по задаче 28.2. Однако не любой базис модуля $\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$ получается описанной конструкцией.

Определение 2. Базис подмодуля $M\subseteq V[t]$ называется минимальным, если старшие коэффициенты его элементов линейно независимы.

Минимальный базис всегда существует; по поводу его свойств см. задачу 28.3. Очевидно, что построенный выше базис $\{v^{(1)}(t),\dots,v^{(s)}(t)\}$ подмодуля $\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$ минимален.

Теорема 1. Коэффициенты элементов всякого минимального базиса подмодуля $\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$ составляют кронекеров базис пространства $L(\mathcal{A},\mathcal{B})$.

Как известно, всякая матрица $C(t)$ над кольцом $\mathbb{K}[t]$ с помощью элементарных преобразований строк и столбцов может быть приведена к каноническому виду $$ \begin{pmatrix} e_1(t) & & & & \mathrm{O} & \\ & \ddots & & & & \\ & & e_r(t) & & & \\ & & & 0 & & \\ & \mathrm{O} & & & \ddots & \\ \end{pmatrix}, $$ где $r=\operatorname{rk}C(t)$ и $e_1(t)\mid e_2(t)\mid \cdots\mid e_r(t)$. Многочлены $e_1(t),\cdots,e_r(t)$ называются инвариантными множителями матрицы $C(t)$. Произведение первых $k$ инвариантных множителей $e_1(t)\cdots e_k(t)$ равно наибольшему общему делителю миноров порядка $k$ матрицы $C(t)$.

Если рассматривать матрицу $C(t)$ как матрицу гомоморфизма свободных $\mathbb{K}[t]$-модулей, то элементарные преобразования её строк и столбцов соответствуют элементарным преобразованиям базисов этих модулей. Это даёт способ решения системы линейных уравнений $C(t)\,x(t)=0$ (где $x(t)$ — вектор с координатами из $\mathbb{K}[t]$).

В частности, применяя указанный алгоритм к матрице $C(t)=B-tA$, можно найти (минимальный) базис модуля $\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$ и таким образом, согласно теореме 1, построить часть кронекерова базиса пространства $V$, отвечающую широким кронекеровым блокам.

Другая часть кронекерова базиса, отвечающая высоким кронекеровым блокам, может быть построена применением указанного алгоритма к паре сопряжённых отображений $\mathcal{A}^*,\mathcal{B}^*\in L(U^*,V^*)$.

Критерий кронекеровости пары $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ в терминах инвариантов матрицы $B-tA$ содержится в задаче 28.5. Можно определить понятие кронекеровой пары линейных отображений векторных пространств над произвольным (не обязательно алгебраически замкнутым) полем $\mathbb{K}$, требуя, чтобы пара была кронекеровой над алгебраическим замыканием поля $\mathbb{K}$ (т.е. при расширении скаляров). Очевидно, что при таком определении критерий задачи 28.5 остаётся в силе для любого поля $\mathbb{K}$. Более того, алгоритм построения кронекерова базиса, даваемый теоремой 1 и решением задачи 28.3, также применим над любым полем $\mathbb{K}$.

Таким образом, если мы ограничиваемся кронекеровыми парами линейных отображений, алгебраическая замкнутость поля не играет роли.

Пусть, в частности, $\mathbb{K}=\Bbbk(x_1,\dots,x_n)$ — поле рациональных дробей от переменных $x_1,\dots,x_n$ над бесконечным полем $\Bbbk$. Рассматривая линейные отображения $\mathcal{A},\mathcal{B}$ как матрицы, мы можем определить их значения $\mathcal{A}(x),\mathcal{B}(x)$ в любой точке $x\in\Bbbk^n$, где определены все матричные элементы. При этом свойство кронекеровости сохраняется, по крайней мере, для точек общего положения (задача 28.6).

Замечание. Для знатоков алгебраической геометрии: поле $\Bbbk(x_1,\dots,x_n)$ можно заменить полем рациональных функций на любом неприводимом алгебраическом $\Bbbk$-многообразии (вместо $n$-мерного пространства), но нужно требовать, чтобы множество $\Bbbk$-точек этого многообразия было плотно в топологии Зарисского.

Задача 28.1. Для всякой кронекеровой пары $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ линейных отображений из $L(V,U)$ линейная оболочка $L(\mathcal{A},\mathcal{B})$ ядер всех нетривиальных линейных комбинаций $\alpha\mathcal{A}+\beta\mathcal{B}$ есть сумма подпространств пространства $V$, отвечающих широким кронекеровым блокам.

Задача 28.2. Пусть $w^{(1)}(t),\dots,w^{(p)}(t)$ — элементы подмодуля $M\subseteq V[t]$ ранга $p$, которые порождают примитивный подмодуль в $V[t]$, и старшие коэффициенты которых линейно независимы (над полем $\mathbb{K}$). Тогда $\{w^{(1)}(t),\dots,w^{(p)}(t)\}$ — базис модуля $M$.

Задача 28.3. Базис $w^{(1)}(t),\dots,w^{(p)}(t)$ любого подмодуля $M\subseteq V[t]$ можно выбрать так, чтобы старшие коэффициенты базисных многочленов $w^{(i)}(t)$ были линейно независимы. При этом условии степени $\deg w^{(1)}(t),\dots,\deg w^{(p)}(t)$ базисных многочленов определены однозанчно.

Задача 28.4. Доказать теорему 1.

Задача 28.5. Пара $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ кронекерова ранга $r$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{rk}(B-tA)=\operatorname{rk}A=r$ (где $\operatorname{rk}(B-tA)$ понимается как ранг матрицы над кольцом $\mathbb{K}[t]$ или полем $\mathbb{K}(t)$), и наибольший общий делитель миноров порядка $r$ матрицы $B-tA$ равен $1$.

Задача 28.6. Пара $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ линейных отображений векторных пространств над полем $\mathbb{K}=\Bbbk(x_1,\dots,x_n)$ (где $\Bbbk$ — бесконечное поле) кронекерова тогда и только тогда, когда пара $(\mathcal{A}(x),\mathcal{B}(x))$ кронекерова для точек $x\in\Bbbk^n$ общего положения (т.е. для всех точек, в которых не обращается в $0$ некоторый фиксированный многочлен от $x_1,\dots,x_n$). При этом число и размеры кронекеровых блоков пар $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ и $(\mathcal{A}(x),\mathcal{B}(x))$ одинаковы.

предыдущий семинар	7 мая 2015 г.	следующий семинар
Тема 28 Алгоритм Кронекера Для нахождения разложения чисто сингулярной (или кронекеровой) пары линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V,U)$ на кронекеровы блоки имеется алгоритм, принадлежащий Кронекеру. Начнём со случая, когда пара $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ является широким кронекеровым блоком размера $n\times(n+1)$. Тогда в пространстве $V$ имеется кронекеров базис $\{v_0,v_1,\dots,v_n\}$, для которого выполняются равенства: \begin{align} \mathcal{B}v_0 &= 0, \\ \mathcal{B}v_1 &= \mathcal{A}v_0, \\ (1)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \mathcal{B}v_2 &= \mathcal{A}v_1, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\\ \cdots&\cdots\cdots \\ \mathcal{B}v_n &= \mathcal{A}v_{n-1}, \\ 0 &= \mathcal{A}v_n. \end{align} Положим \begin{align} V[t]&=V\otimes_{\mathbb{K}}\mathbb{K}[t],\\ U[t]&=U\otimes_{\mathbb{K}}\mathbb{K}[t]. \end{align} На эти пространства можно смотреть двояко — как на пространства векторнозначных многочленов с коэффициентами из $V$ и из $U$, соответственно, или как на свободные (конечнопорождённые) модули над кольцом $\mathbb{K}[t]$, базисами которых являются базисы векторных пространств $V$ и $U$ над полем $\mathbb{K}$. Линейные отображения $\mathcal{A},\mathcal{B}:V\to U$ продолжаются до гомоморфизмов $\mathbb{K}[t]$-модулей $V[t]\to U[t]$. Равенства (1) можно переписать в виде $$ (2)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (\mathcal{B}-t\mathcal{A})\,v(t)=0, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad $$ где $$v(t)=v_0+v_1t+v_2t^2+\dots+v_nt^n\in V[t].$$ Пусть теперь $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ — произвольная кронекерова пара. Предположим, что в её разложении имеется $s$ широких кронекеровых блоков размеров $n_i\times(n_i+1)$ ($i=1,\dots,s$), и пусть $$v^{(1)}(t),\dots,v^{(s)}(t)\in\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$$ — многочлены, построенные по кронекеровым базисам этих блоков, как выше. Коэффициенты всех этих многочленов линейно независимы по построению и составляют базис пространства $L(\mathcal{A},\mathcal{B})$, порождённого ядрами всех нетривиальных линейных комбинаций отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}$ (задача 28.1). По известной теореме всякий подмодуль свободного $\mathbb{K}[t]$-модуля является свободным $\mathbb{K}[t]$-модулем. В частности, $\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$ — свободный $\mathbb{K}[t]$-модуль. Мы докажем, что $\{v^{(1)}(t),\dots,v^{(s)}(t)\}$ — его базис. Определение 1. Подмодуль $M\subseteq V[t]$ называется примитивным, если из $f(t)\,x(t)\in M$ следует, что $x(t)\in M$ (для любых $f(t)\in\mathbb{K}[t]$, $x(t)\in V[t]$). Очевидно, что ядро любого гомоморфизма модуля $V[t]$ в свободный $\mathbb{K}[t]$-модуль, в частности, модуль $\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$, является примитивным подмодулем. Более того, элементы $v^{(1)}(t),\dots,v^{(s)}(t)$ порождают примитивный подмодуль в $V[t]$. В самом деле, совокупность их коэффициентов может быть дополнена до базиса пространства $V$ над полем $\mathbb{K}$, который одновременно является базисом свободного $\mathbb{K}[t]$-модуля $V[t]$. Cами элементы $v^{(1)}(t),\dots,v^{(s)}(t)$ образуют подмножество в базисе модуля $V[t]$, полученном из построенного базиса элементарными преобразованиями. Ясно, что подмодуль свободного модуля, порождённый частью базисных векторов, примитивен. Поскольку ранг модуля $\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$, очевидно, равен $s$, элементы $v^{(1)}(t),\dots,v^{(s)}(t)$ образуют базис этого модуля по задаче 28.2. Однако не любой базис модуля $\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$ получается описанной конструкцией. Определение 2. Базис подмодуля $M\subseteq V[t]$ называется минимальным, если старшие коэффициенты его элементов линейно независимы. Минимальный базис всегда существует; по поводу его свойств см. задачу 28.3. Очевидно, что построенный выше базис $\{v^{(1)}(t),\dots,v^{(s)}(t)\}$ подмодуля $\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$ минимален. Теорема 1. Коэффициенты элементов всякого минимального базиса подмодуля $\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$ составляют кронекеров базис пространства $L(\mathcal{A},\mathcal{B})$. Как известно, всякая матрица $C(t)$ над кольцом $\mathbb{K}[t]$ с помощью элементарных преобразований строк и столбцов может быть приведена к каноническому виду $$ \begin{pmatrix} e_1(t) & & & & \mathrm{O} & \\ & \ddots & & & & \\ & & e_r(t) & & & \\ & & & 0 & & \\ & \mathrm{O} & & & \ddots & \\ \end{pmatrix}, $$ где $r=\operatorname{rk}C(t)$ и $e_1(t)\mid e_2(t)\mid \cdots\mid e_r(t)$. Многочлены $e_1(t),\cdots,e_r(t)$ называются инвариантными множителями матрицы $C(t)$. Произведение первых $k$ инвариантных множителей $e_1(t)\cdots e_k(t)$ равно наибольшему общему делителю миноров порядка $k$ матрицы $C(t)$. Если рассматривать матрицу $C(t)$ как матрицу гомоморфизма свободных $\mathbb{K}[t]$-модулей, то элементарные преобразования её строк и столбцов соответствуют элементарным преобразованиям базисов этих модулей. Это даёт способ решения системы линейных уравнений $C(t)\,x(t)=0$ (где $x(t)$ — вектор с координатами из $\mathbb{K}[t]$). В частности, применяя указанный алгоритм к матрице $C(t)=B-tA$, можно найти (минимальный) базис модуля $\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$ и таким образом, согласно теореме 1, построить часть кронекерова базиса пространства $V$, отвечающую широким кронекеровым блокам. Другая часть кронекерова базиса, отвечающая высоким кронекеровым блокам, может быть построена применением указанного алгоритма к паре сопряжённых отображений $\mathcal{A}^,\mathcal{B}^\in L(U^,V^)$. Критерий кронекеровости пары $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ в терминах инвариантов матрицы $B-tA$ содержится в задаче 28.5. Можно определить понятие кронекеровой пары линейных отображений векторных пространств над произвольным (не обязательно алгебраически замкнутым) полем $\mathbb{K}$, требуя, чтобы пара была кронекеровой над алгебраическим замыканием поля $\mathbb{K}$ (т.е. при расширении скаляров). Очевидно, что при таком определении критерий задачи 28.5 остаётся в силе для любого поля $\mathbb{K}$. Более того, алгоритм построения кронекерова базиса, даваемый теоремой 1 и решением задачи 28.3, также применим над любым полем $\mathbb{K}$. Таким образом, если мы ограничиваемся кронекеровыми парами линейных отображений, алгебраическая замкнутость поля не играет роли. Пусть, в частности, $\mathbb{K}=\Bbbk(x_1,\dots,x_n)$ — поле рациональных дробей от переменных $x_1,\dots,x_n$ над бесконечным полем $\Bbbk$. Рассматривая линейные отображения $\mathcal{A},\mathcal{B}$ как матрицы, мы можем определить их значения $\mathcal{A}(x),\mathcal{B}(x)$ в любой точке $x\in\Bbbk^n$, где определены все матричные элементы. При этом свойство кронекеровости сохраняется, по крайней мере, для точек общего положения (задача 28.6). Замечание. Для знатоков алгебраической геометрии: поле $\Bbbk(x_1,\dots,x_n)$ можно заменить полем рациональных функций на любом неприводимом алгебраическом $\Bbbk$-многообразии (вместо $n$-мерного пространства), но нужно требовать, чтобы множество $\Bbbk$-точек этого многообразия было плотно в топологии Зарисского. Задачи Задача 28.1. Для всякой кронекеровой пары $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ линейных отображений из $L(V,U)$ линейная оболочка $L(\mathcal{A},\mathcal{B})$ ядер всех нетривиальных линейных комбинаций $\alpha\mathcal{A}+\beta\mathcal{B}$ есть сумма подпространств пространства $V$, отвечающих широким кронекеровым блокам. Задача 28.2. Пусть $w^{(1)}(t),\dots,w^{(p)}(t)$ — элементы подмодуля $M\subseteq V[t]$ ранга $p$, которые порождают примитивный подмодуль в $V[t]$, и старшие коэффициенты которых линейно независимы (над полем $\mathbb{K}$). Тогда $\{w^{(1)}(t),\dots,w^{(p)}(t)\}$ — базис модуля $M$. Задача 28.3. Базис $w^{(1)}(t),\dots,w^{(p)}(t)$ любого подмодуля $M\subseteq V[t]$ можно выбрать так, чтобы старшие коэффициенты базисных многочленов $w^{(i)}(t)$ были линейно независимы. При этом условии степени $\deg w^{(1)}(t),\dots,\deg w^{(p)}(t)$ базисных многочленов определены однозанчно. Задача 28.4. Доказать теорему 1. Задача 28.5. Пара $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ кронекерова ранга $r$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{rk}(B-tA)=\operatorname{rk}A=r$ (где $\operatorname{rk}(B-tA)$ понимается как ранг матрицы над кольцом $\mathbb{K}[t]$ или полем $\mathbb{K}(t)$), и наибольший общий делитель миноров порядка $r$ матрицы $B-tA$ равен $1$. Задача 28.6. Пара $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ линейных отображений векторных пространств над полем $\mathbb{K}=\Bbbk(x_1,\dots,x_n)$ (где $\Bbbk$ — бесконечное поле) кронекерова тогда и только тогда, когда пара $(\mathcal{A}(x),\mathcal{B}(x))$ кронекерова для точек $x\in\Bbbk^n$ общего положения (т.е. для всех точек, в которых не обращается в $0$ некоторый фиксированный многочлен от $x_1,\dots,x_n$). При этом число и размеры кронекеровых блоков пар $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ и $(\mathcal{A}(x),\mathcal{B}(x))$ одинаковы.