Пусть $f,g$ — кососимметрические билинейные формы на векторном пространстве $V$ над полем $\mathbb{K}$ нулевой характеристики, и $\mathcal{A}_f,\mathcal{A}_g:V\to V^*$ — определяемые ими линейные отображения.

Определение. Пара $(f,g)$ называется кронекеровой, если пара $(\mathcal{A}_f,\mathcal{A}_g)$ кронекерова, т.е. в её каноническом разложении над алгебраическим замыканием поля $\mathbb{K}$ присутствуют только кронекеровы блоки. (В этом случае каноническое разложение определено над самим полем $\mathbb{K}$.)

В случае, когда поле $\mathbb{K}$ алгебраически замкнуто, критерием кронекеровости пары $(f,g)$ является постоянство ранга нетривиальных линейных комбинаций $\lambda{f}+\mu{g}$.

Если $(f,g)$ — кронекерова пара, то кронекеровы блоки пары $(\mathcal{A}_f,\mathcal{A}_g)$ разбиваются на пары транспонированных по отношению друг к другу блоков. Сумму двух таких блоков будем называть кронекеровым блоком пары $(f,g)$. (Это неразложимая пара кососимметрических билинейных форм.) В подходящем базисе кронекерова блока формы $\lambda{f}+\mu{g}$ записываются матрицами $$ \begin{pmatrix} 0 & K(\lambda,\mu) \\ -K(\lambda,\mu)^{\top} & 0 \\ \end{pmatrix}, $$ где $$ K(\lambda,\mu)= \begin{pmatrix} \lambda & \mu & & \mathrm{O} \\ & \ddots & \ddots & \\ \mathrm{O} & & \lambda & \mu \\ \end{pmatrix}. $$

Пусть $\dim V=n$, и $(f,g)$ — кронекерова пара, состоящая из $s$ кронекеровых блоков. Из теории кронекеровых пар линейных отображений следует, что:

1) нетривиальные линейные комбинации $\lambda{f}+\mu{g}$ имеют постоянный ранг, равный $r=n-s$; будем называть его рангом пары $(f,g)$;

2) линейная оболочка $L(f,g)$ ядер нетривиальных линейных комбинаций $\lambda{f}+\mu{g}$ есть максимальное изотропное подпространство для $f$ и $g$ одновременно; его размерность равна $\frac12(n+s)=n-\frac{r}2$;

3) кронекеров базис пространства $L(f,g)$ состоит из коэффициентов минимального базиса $\mathbb{K}[t]$-модуля $\operatorname{Ker}(g-tf)$ (где формы $f$ и $g$ продолжены по линейности до билинейных форм на $\mathbb{K}[t]$-модуле $V[t]=V\otimes\mathbb{K}[t]$).

Пусть $\mathbb{K}=\mathbb{C}(x_1,\dots,x_n)$ — поле рациональных функций от $n$ переменных над полем $\mathbb{C}$. Рассмотрим дифференциальные 1-формы $$\omega=\sum_if_i(x_1,\dots,x_n)dx_i$$ с рациональными коэффициентами $f_i\in\mathbb{K}$. Они образуют векторное пространство $\Omega$ над полем $\mathbb{K}$. Кососимметрические билинейные формы на $\Omega$ — это бивекторные поля с рациональными координатами на $\mathbb{C}^n$. Ранг такой формы — это ранг соответствующего бивекторного поля в точке общего положения.

Согласно задаче 28.6 пара бивекторных полей $\alpha,\beta$ (рассматриваемых как кососимметрические билинейные формы на $\Omega$) кронекерова тогда и только тогда, когда пара бивекторов $\alpha_x,\beta_x$ (рассматриваемых как кососимметрические билинейные формы на $T^*_x\mathbb{C}^n=(\mathbb{C}^n)^*$) кронекерова для точек $x\in\mathbb{C}^n$ общего положения.

Имеется один общий способ построения кронекеровых пар бивекторных полей. А именно, пусть $\beta$ — какое-нибудь бивекторное поле на $\mathbb{C}^n$, и $\xi$ — такое векторное поле, что $$ (*)\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad L_{\xi}^2\beta=0. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad $$ Пусть $\varphi^t$ — фазовый поток, определяемый полем $\xi$. Тогда $$\varphi^t\beta=(\exp tL_{\xi})\beta=\beta+t\cdot L_{\xi}\beta.$$ Положим $\alpha=L_{\xi}\beta$. Тогда $$\beta_x-t\alpha_x=\varphi^{-t}\cdot\beta_{\varphi^tx},$$ так что $$\operatorname{rk}(\beta_x-t\alpha_x)=\operatorname{rk}\beta_{\varphi^tx}.$$ Применяя критерий кронекеровости к паре $(\alpha_x,\beta_x)$, получаем следующую теорему, лежащую в основе метода сдвига аргумента гамильтоновой механики.

Теорема 1. В предыдущих обозначениях пара $(\alpha,\beta)$ бивекторных полей кронекерова тогда и только тогда, когда $$\operatorname{rk}\beta_{\varphi^tx}=\operatorname{rk}\alpha_x$$ для точки $x\in\mathbb{C}^n$ общего положения и любого $t$.

Пример. Пусть $\mathfrak{g}$ — комплексная алгебра Ли, и $\mathfrak{g}^*$ — дуальное пространство (т.е. пространство линейных функций на $\mathfrak{g}$). На $\mathfrak{g}^*$ имеется стандартная пуассонова структура. Она задаётся бивекторным полем $\beta$, определяемым по формуле $$ \beta_x(\mathcal{Y},\mathcal{Z})=\langle x,[\mathcal{Y},\mathcal{Z}]\rangle, \qquad \forall x\in\mathfrak{g}^*,\ \mathcal{Y},\mathcal{Z}\in\mathfrak{g}=T^*_x\mathfrak{g}^*. $$ Отметим, что координаты этого бивекторного поля являются линейными функциями на $\mathfrak{g}^*$. Как мы знаем, $$\operatorname{rk}\beta_x=\dim\mathfrak{g}(x),$$ где $\mathfrak{g}(x)=\{\widehat{\mathcal{Z}}(x)\mid\mathcal{Z}\in\mathfrak{g}\}$ — касательное пространство к коприсоединённой орбите соответствующей группы Ли.

В качестве векторного поля $\xi$ на $\mathfrak{g}^*$ возьмём постоянное векторное поле $\xi(x)=a\in\mathfrak{g}^*$. Тогда $\alpha=L_a\beta$ есть постоянное бивекторное поле, определяемое равенством $$ \alpha_x(\mathcal{Y},\mathcal{Z})=-\langle a,[\mathcal{Y},\mathcal{Z}]\rangle, $$ и $L_a\alpha=0$, т.е. выполнено условие (*). Фазовый поток $\varphi^t$ имеет вид $$\varphi^tx=x+ta.$$

Применяя теорему 1, получаем, что построенная пара $(\alpha,\beta)$ бивекторных полей кронекерова тогда и только тогда, когда элемент $a$ регулярен, т.е. $\dim\mathfrak{g}(a)$ максимальна, и для точки $x\in\mathfrak{g}^*$ общего положения все элементы $x+ta$ регулярны. Последнее условие будет выполнено, если многообразие сингулярных элементов пространства $\mathfrak{g}^*$ имеет коразмерность $\ge2$. Это верно, например, для $\mathfrak{g}=L(V)$ или если алгебра $\mathfrak{g}$ полупроста.

В общем случае, если $\beta$ — пуассоново бивекторное поле на $\mathbb{C}^n$, и $\xi$ — векторное поле, удовлетворяющее условию (*), то поле $\beta+t\alpha=\varphi^t\beta$ также будет пуассоновым при любом $t$, и, значит, поле $$\alpha=\lim_{t\to\infty}(t^{-1}\beta+\alpha)$$ будет пуассоновым. Предположим, что пара $(\alpha,\beta)$ кронекерова. Тогда для гамильтоновой механики представляет интерес найти базис пространства $L(\alpha,\beta)$, состоящий из точных дифференциальных форм (дифференциалов функций). Соответствующие функции будут образовывать полный инволютивный набор, т.е. будут функционально (и даже алгебраически) независимы и находиться в инволюции относительно $\beta$ (а также $\alpha$), причём их количество будет максимально возможным, т.е. равным $n-\frac12\operatorname{rk}\beta$.

Как мы знаем, базис пространства $L(\alpha,\beta)$ может быть составлен из коэффициентов минимального базиса $\mathbb{K}[t]$-модуля $\operatorname{Ker}(\beta-t\alpha)$.

Возвращаясь к приведённому выше примеру, предположим, что $\mathfrak{g}=L(V)$ или, более общим образом, $\mathfrak{g}$ — полупростая алгебра Ли. При помощи инвариантного скалярного умножения отождествим $\mathfrak{g}^*$ с $\mathfrak{g}$. Известно, что алгебра инвариантных многочленов относительно присоединённого представления соответствующей группы Ли $G$ в $\mathfrak{g}$ порождается алгебраически независимыми однородными многочленами $f_1,\dots,f_s$, где $s=\dim\mathfrak{g}-\operatorname{rk}\beta$ (для $\mathfrak{g}=L(V)$ см. теорему 1 2-го семинара), причём их дифференциалы $df_1,\dots,df_s$ линейно независимы в любой регулярной точке $x\in\mathfrak{g}$ и, следовательно, составляют базис пространства $\operatorname{Ker}\beta_x$.

Пусть $a\in\mathfrak{g}$ — регулярный элемент, и $\varphi^t$ — определяемый соответствующим постоянным векторным полем фазовый поток. Очевидно, что дифференциалы многочленов $\varphi^tf_1,\dots,\varphi^tf_s$ составляют базис пространства $\operatorname{Ker}\varphi^t\beta_x$ для любого $t$. Будем рассматривать их как элементы $\mathbb{K}[t]$-модуля $\Omega[t]=\Omega\otimes\mathbb{K}[t]$. Заметим, что степень многочлена $\varphi^tf_i$ по $t$ равна степени $k_i$ многочлена $f_i$.

Теорема 2. Дифференциальные формы $d(\varphi^tf_1),\dots,d(\varphi^tf_s)$ составляют минимальный базис подмодуля $\operatorname{Ker}(\beta+t\alpha)\subset\Omega[t]$.

Следствие. Коэффициенты (по $t$) многочленов $\varphi^tf_i\in\mathbb{C}[\mathfrak{g}][t]$ образуют полный набор функций в инволюции на $\mathfrak{g}$.

Для доказательства теоремы 2 проверим, что дифференциальные формы $d(\varphi^tf_1),\dots,d(\varphi^tf_s)\in\Omega[t]$ удовлетворяют условиям задачи 28.2.

1) Ранг бивекторного поля $\beta+t\alpha=\varphi^t\beta$ равен $\operatorname{rk}\beta=n-s$ ($n=\dim\mathfrak{g}$). Следовательно, ранг $\mathbb{K}[t]$-модуля $\operatorname{Ker}(\beta-t\alpha)\subset\Omega[t]$ равен $s$.

2) Степень по $t$ дифференциальной формы $\varphi^t(df_i)=d(\varphi^tf_i)=d((\exp tL_a)f_i)$ равна $k_i-1$, причём её коэффициент при $t^{k_i-1}$ есть (с точностью до знака) дифференциал многочлена $f_i$ в точке $a$. Так как по построению $a$ — регулярный элемент алгебры $\mathfrak{g}$, дифференциалы многочленов $f_1,\dots,f_s$ в точке $a$ линейно независимы.

3) Наконец, докажем, что подмодуль, порождённый элементами $\varphi^t(df_1),\dots,\varphi^t(df_s)$ в $\Omega[t]$, примитивен. Для этого достаточно проверить, что наибольший общий делитель миноров порядка $s$ коэффициентов этих дифференциальных форм (являющихся многочленами от $t$ с коэффициентами из $\mathbb{K}=\mathbb{C}(x_1,\dots,x_n)$) равен $1$. Предположим противное. Тогда существует такое $t_0\in\mathbb{C}$, что при $t=t_0$ все эти миноры обращаются в нуль, т.е. дифференциальные формы $\varphi^{t_0}(df_1),\dots,\varphi^{t_0}(df_s)$, а, значит, и $df_1,\dots,df_s$, линейно зависимы. Но это невозможно ввиду алгебраической независимости многочленов $f_1,\dots,f_s$.

предыдущий семинар	14 мая 2015 г.
Тема 29 Метод сдвига аргумента Пусть $f,g$ — кососимметрические билинейные формы на векторном пространстве $V$ над полем $\mathbb{K}$ нулевой характеристики, и $\mathcal{A}_f,\mathcal{A}_g:V\to V^$ — определяемые ими линейные отображения. Определение. Пара $(f,g)$ называется кронекеровой, если пара $(\mathcal{A}_f,\mathcal{A}_g)$ кронекерова, т.е. в её каноническом разложении над алгебраическим замыканием поля $\mathbb{K}$ присутствуют только кронекеровы блоки. (В этом случае каноническое разложение определено над самим полем $\mathbb{K}$.) В случае, когда поле $\mathbb{K}$ алгебраически замкнуто, критерием кронекеровости пары $(f,g)$ является постоянство ранга нетривиальных линейных комбинаций $\lambda{f}+\mu{g}$. Если $(f,g)$ — кронекерова пара, то кронекеровы блоки пары $(\mathcal{A}_f,\mathcal{A}_g)$ разбиваются на пары транспонированных по отношению друг к другу блоков. Сумму двух таких блоков будем называть кронекеровым блоком* пары $(f,g)$. (Это неразложимая пара кососимметрических билинейных форм.) В подходящем базисе кронекерова блока формы $\lambda{f}+\mu{g}$ записываются матрицами $$ \begin{pmatrix} 0 & K(\lambda,\mu) \\ -K(\lambda,\mu)^{\top} & 0 \\ \end{pmatrix}, $$ где $$ K(\lambda,\mu)= \begin{pmatrix} \lambda & \mu & & \mathrm{O} \\ & \ddots & \ddots & \\ \mathrm{O} & & \lambda & \mu \\ \end{pmatrix}. $$ Пусть $\dim V=n$, и $(f,g)$ — кронекерова пара, состоящая из $s$ кронекеровых блоков. Из теории кронекеровых пар линейных отображений следует, что: 1) нетривиальные линейные комбинации $\lambda{f}+\mu{g}$ имеют постоянный ранг, равный $r=n-s$; будем называть его рангом пары $(f,g)$; 2) линейная оболочка $L(f,g)$ ядер нетривиальных линейных комбинаций $\lambda{f}+\mu{g}$ есть максимальное изотропное подпространство для $f$ и $g$ одновременно; его размерность равна $\frac12(n+s)=n-\frac{r}2$; 3) кронекеров базис пространства $L(f,g)$ состоит из коэффициентов минимального базиса $\mathbb{K}[t]$-модуля $\operatorname{Ker}(g-tf)$ (где формы $f$ и $g$ продолжены по линейности до билинейных форм на $\mathbb{K}[t]$-модуле $V[t]=V\otimes\mathbb{K}[t]$). Пусть $\mathbb{K}=\mathbb{C}(x_1,\dots,x_n)$ — поле рациональных функций от $n$ переменных над полем $\mathbb{C}$. Рассмотрим дифференциальные 1-формы $$\omega=\sum_if_i(x_1,\dots,x_n)dx_i$$ с рациональными коэффициентами $f_i\in\mathbb{K}$. Они образуют векторное пространство $\Omega$ над полем $\mathbb{K}$. Кососимметрические билинейные формы на $\Omega$ — это бивекторные поля с рациональными координатами на $\mathbb{C}^n$. Ранг такой формы — это ранг соответствующего бивекторного поля в точке общего положения. Согласно задаче 28.6 пара бивекторных полей $\alpha,\beta$ (рассматриваемых как кососимметрические билинейные формы на $\Omega$) кронекерова тогда и только тогда, когда пара бивекторов $\alpha_x,\beta_x$ (рассматриваемых как кососимметрические билинейные формы на $T^_x\mathbb{C}^n=(\mathbb{C}^n)^$) кронекерова для точек $x\in\mathbb{C}^n$ общего положения. Имеется один общий способ построения кронекеровых пар бивекторных полей. А именно, пусть $\beta$ — какое-нибудь бивекторное поле на $\mathbb{C}^n$, и $\xi$ — такое векторное поле, что $$ ()\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad L_{\xi}^2\beta=0. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad $$ Пусть $\varphi^t$ — фазовый поток, определяемый полем $\xi$. Тогда $$\varphi^t\beta=(\exp tL_{\xi})\beta=\beta+t\cdot L_{\xi}\beta.$$ Положим $\alpha=L_{\xi}\beta$. Тогда $$\beta_x-t\alpha_x=\varphi^{-t}\cdot\beta_{\varphi^tx},$$ так что $$\operatorname{rk}(\beta_x-t\alpha_x)=\operatorname{rk}\beta_{\varphi^tx}.$$ Применяя критерий кронекеровости к паре $(\alpha_x,\beta_x)$, получаем следующую теорему, лежащую в основе метода сдвига аргумента* гамильтоновой механики. Теорема 1. В предыдущих обозначениях пара $(\alpha,\beta)$ бивекторных полей кронекерова тогда и только тогда, когда $$\operatorname{rk}\beta_{\varphi^tx}=\operatorname{rk}\alpha_x$$ для точки $x\in\mathbb{C}^n$ общего положения и любого $t$. Пример. Пусть $\mathfrak{g}$ — комплексная алгебра Ли, и $\mathfrak{g}^$ — дуальное пространство (т.е. пространство линейных функций на $\mathfrak{g}$). На $\mathfrak{g}^$ имеется стандартная пуассонова структура. Она задаётся бивекторным полем $\beta$, определяемым по формуле $$ \beta_x(\mathcal{Y},\mathcal{Z})=\langle x,[\mathcal{Y},\mathcal{Z}]\rangle, \qquad \forall x\in\mathfrak{g}^,\ \mathcal{Y},\mathcal{Z}\in\mathfrak{g}=T^_x\mathfrak{g}^. $$ Отметим, что координаты этого бивекторного поля являются линейными функциями на $\mathfrak{g}^$. Как мы знаем, $$\operatorname{rk}\beta_x=\dim\mathfrak{g}(x),$$ где $\mathfrak{g}(x)=\{\widehat{\mathcal{Z}}(x)\mid\mathcal{Z}\in\mathfrak{g}\}$ — касательное пространство к коприсоединённой орбите соответствующей группы Ли. В качестве векторного поля $\xi$ на $\mathfrak{g}^$ возьмём постоянное векторное поле $\xi(x)=a\in\mathfrak{g}^$. Тогда $\alpha=L_a\beta$ есть постоянное бивекторное поле, определяемое равенством $$ \alpha_x(\mathcal{Y},\mathcal{Z})=-\langle a,[\mathcal{Y},\mathcal{Z}]\rangle, $$ и $L_a\alpha=0$, т.е. выполнено условие (). Фазовый поток $\varphi^t$ имеет вид $$\varphi^tx=x+ta.$$ Применяя теорему 1, получаем, что построенная пара $(\alpha,\beta)$ бивекторных полей кронекерова тогда и только тогда, когда элемент $a$ регулярен, т.е. $\dim\mathfrak{g}(a)$ максимальна, и для точки $x\in\mathfrak{g}^$ общего положения все элементы $x+ta$ регулярны. Последнее условие будет выполнено, если многообразие сингулярных элементов пространства $\mathfrak{g}^$ имеет коразмерность $\ge2$. Это верно, например, для $\mathfrak{g}=L(V)$ или если алгебра $\mathfrak{g}$ полупроста. В общем случае, если $\beta$ — пуассоново бивекторное поле на $\mathbb{C}^n$, и $\xi$ — векторное поле, удовлетворяющее условию (), то поле $\beta+t\alpha=\varphi^t\beta$ также будет пуассоновым при любом $t$, и, значит, поле $$\alpha=\lim_{t\to\infty}(t^{-1}\beta+\alpha)$$ будет пуассоновым. Предположим, что пара $(\alpha,\beta)$ кронекерова. Тогда для гамильтоновой механики представляет интерес найти базис пространства $L(\alpha,\beta)$, состоящий из точных дифференциальных форм (дифференциалов функций). Соответствующие функции будут образовывать полный инволютивный набор, т.е. будут функционально (и даже алгебраически) независимы и находиться в инволюции относительно $\beta$ (а также $\alpha$), причём их количество будет максимально возможным, т.е. равным $n-\frac12\operatorname{rk}\beta$. Как мы знаем, базис пространства $L(\alpha,\beta)$ может быть составлен из коэффициентов минимального базиса $\mathbb{K}[t]$-модуля $\operatorname{Ker}(\beta-t\alpha)$. Возвращаясь к приведённому выше примеру, предположим, что $\mathfrak{g}=L(V)$ или, более общим образом, $\mathfrak{g}$ — полупростая алгебра Ли. При помощи инвариантного скалярного умножения отождествим $\mathfrak{g}^*$ с $\mathfrak{g}$. Известно, что алгебра инвариантных многочленов относительно присоединённого представления соответствующей группы Ли $G$ в $\mathfrak{g}$ порождается алгебраически независимыми однородными многочленами $f_1,\dots,f_s$, где $s=\dim\mathfrak{g}-\operatorname{rk}\beta$ (для $\mathfrak{g}=L(V)$ см. теорему 1 2-го семинара), причём их дифференциалы $df_1,\dots,df_s$ линейно независимы в любой регулярной точке $x\in\mathfrak{g}$ и, следовательно, составляют базис пространства $\operatorname{Ker}\beta_x$. Пусть $a\in\mathfrak{g}$ — регулярный элемент, и $\varphi^t$ — определяемый соответствующим постоянным векторным полем фазовый поток. Очевидно, что дифференциалы многочленов $\varphi^tf_1,\dots,\varphi^tf_s$ составляют базис пространства $\operatorname{Ker}\varphi^t\beta_x$ для любого $t$. Будем рассматривать их как элементы $\mathbb{K}[t]$-модуля $\Omega[t]=\Omega\otimes\mathbb{K}[t]$. Заметим, что степень многочлена $\varphi^tf_i$ по $t$ равна степени $k_i$ многочлена $f_i$. Теорема 2. Дифференциальные формы $d(\varphi^tf_1),\dots,d(\varphi^tf_s)$ составляют минимальный базис подмодуля $\operatorname{Ker}(\beta+t\alpha)\subset\Omega[t]$. Следствие. Коэффициенты (по $t$) многочленов $\varphi^tf_i\in\mathbb{C}[\mathfrak{g}][t]$ образуют полный набор функций в инволюции на $\mathfrak{g}$. Для доказательства теоремы 2 проверим, что дифференциальные формы $d(\varphi^tf_1),\dots,d(\varphi^tf_s)\in\Omega[t]$ удовлетворяют условиям задачи 28.2. 1) Ранг бивекторного поля $\beta+t\alpha=\varphi^t\beta$ равен $\operatorname{rk}\beta=n-s$ ($n=\dim\mathfrak{g}$). Следовательно, ранг $\mathbb{K}[t]$-модуля $\operatorname{Ker}(\beta-t\alpha)\subset\Omega[t]$ равен $s$. 2) Степень по $t$ дифференциальной формы $\varphi^t(df_i)=d(\varphi^tf_i)=d((\exp tL_a)f_i)$ равна $k_i-1$, причём её коэффициент при $t^{k_i-1}$ есть (с точностью до знака) дифференциал многочлена $f_i$ в точке $a$. Так как по построению $a$ — регулярный элемент алгебры $\mathfrak{g}$, дифференциалы многочленов $f_1,\dots,f_s$ в точке $a$ линейно независимы. 3) Наконец, докажем, что подмодуль, порождённый элементами $\varphi^t(df_1),\dots,\varphi^t(df_s)$ в $\Omega[t]$, примитивен. Для этого достаточно проверить, что наибольший общий делитель миноров порядка $s$ коэффициентов этих дифференциальных форм (являющихся многочленами от $t$ с коэффициентами из $\mathbb{K}=\mathbb{C}(x_1,\dots,x_n)$) равен $1$. Предположим противное. Тогда существует такое $t_0\in\mathbb{C}$, что при $t=t_0$ все эти миноры обращаются в нуль, т.е. дифференциальные формы $\varphi^{t_0}(df_1),\dots,\varphi^{t_0}(df_s)$, а, значит, и $df_1,\dots,df_s$, линейно зависимы. Но это невозможно ввиду алгебраической независимости многочленов $f_1,\dots,f_s$.