Пусть $V$ — комплексное векторное пространство, $L^{\pm}(V)$ — пространство симметрических (кососимметрических) билинейных форм на $V$. Рассматривая билинейные формы на $V$ как линейные отображения из $V$ в $V^*$, получаем вложения $L^{\pm}(V)\subset L(V,V^*)$. При этом действие $GL(V)$ на $L^{\pm}(V)\times L^{\pm}(V)$ согласовано с действием $GL(V)\times GL(V^*)$ на $L(V,V^*)\times L(V,V^*)$ при любом выборе знаков $\pm$ (группа $GL(V)$ вложена в $GL(V)\times GL(V^*)$ диагональным образом посредством естественных действий на $V$ и $V^*$).

Нам известна классификация пар линейных отображений: всякая такая пара разлагается в прямую сумму жордановых и кронекеровых блоков, причём набор этих блоков определён однозначно. Для получения классификации пар симметрических или кососимметрических билинейных форм $f,g$ на пространстве $V$ остаётся определить, какие орбиты группы $GL(V)\times GL(V^*)$ на $L(V,V^*)\times L(V,V^*)$ пересекают подпространство $L^{\pm}(V)\times L^{\pm}(V)$ (с заданным набором знаков) или, иначе говоря, для каких пар линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}:V\to V^*$ их матрицы могут быть сделаны симметрическими или кососимметрическими (в соответствии с типами форм $f,g$) за счёт независимого выбора базисов в пространствах $V$ и $V^*$.

Из $\mathcal{A}^*=\pm\mathcal{A}$, $\mathcal{B}^*=\pm\mathcal{B}$ в силу задачи 18.7 следует, что

(1) совокупность кронекеровых блоков разбивается на пары транспонированных по отношению друг к другу блоков.

Кроме того, если $\mathcal{A}^*=\mathcal{A}$, $\mathcal{B}^*=-\mathcal{B}$ (или наоборот), то

(2) совокупность жордановых блоков с собственными значениями $\ne0,\infty$ разбивается на пары блоков одинакового порядка, но с противоположными собственными значениями.

Рассмотрим вопрос о достаточности этих условий для того, чтобы заданный набор жордановых и кронекеровых блоков мог быть реализован парой матриц заданных типов симметрии.

Прямая сумма кронекерова блока $(K,L)$ и транспонированного блока $(K^{\top},L^{\top})$ имеет вид $$ \Biggl(\begin{pmatrix} K & 0 \\ 0 & K^{\top} \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} L & 0 \\ 0 & L^{\top} \\ \end{pmatrix}\Biggr). $$ С помощью одновременных элементарных преобразований строк и столбцов эту пару матриц можно привести к виду $$ \Biggl(\begin{pmatrix} 0 & K \\ \pm K^{\top} & 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & L \\ \pm L^{\top} & 0 \\ \end{pmatrix}\Biggr). $$ с любым набором знаков $\pm$, т.е. она эквивалентна паре матриц любых заданных типов симметрии. Таким образом, проблему составляют только жордановы блоки.

Теорема 1. Всякий набор жордановых и кронекеровых блоков, удовлетворяющих условию (1), реализуется парой симметричных матриц.

Действительно, матрицы любого жорданова блока становятся одновременно симметричными, если записать их столбцы в обратном порядке. (Единичная матрица при этом превращается в антиединичную, а жорданова клетка — в "антижорданову клетку".)

В остальных случаях необходимые условия (1)—(2) не являются достаточными.

Теорема 2. Набор жордановых и кронекеровых блоков реализуется парой кососимметричных матриц тогда и только тогда, когда выполняются условия (1) и

(3) совокупность всех жордановых блоков разбивается на пары одинаковых блоков.

Достаточность условий (1) и (3) проверяется так же, как и выше для кронекеровых блоков: перестановками и заменами знаков строк и столбцов можно осуществить следующие преобразования пары одинаковых жордановых блоков $(I,J)$: $$ \Biggl(\begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & I \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} J & 0 \\ 0 & J \\ \end{pmatrix}\Biggr) \rightsquigarrow \Biggl(\begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & I^{\top} \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} J & 0 \\ 0 & J^{\top} \\ \end{pmatrix}\Biggr) \rightsquigarrow \Biggl(\begin{pmatrix} 0 & I \\ -I^{\top} & 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & J \\ -J^{\top} & 0 \\ \end{pmatrix}\Biggr). $$ Необходимость доказывается индукцией по размерности. Заменяя при необходимости пару кососимметрических линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}$ на пару их линейных комбинаций (см. задачу 18.3) и переходя к производной паре линейных отображений, можно добиться (см. задачи 18.5, 18.6 и 19.1), чтобы остались только жордановы блоки с данным собственным значением, которое можно сделать равным $0$. Пусть $k_i$ — число жордановых блоков размера $i\times i$, тогда \begin{align*} \operatorname{rk}\mathcal{A}&=k_1+2k_2+3k_3+\dots\\ \operatorname{rk}\mathcal{B}&=k_2+2k_3+3k_4+\dots \end{align*} Поскольку при переходе к производной паре $(\mathcal{A}',\mathcal{B}')$ размер каждого жорданова блока уменьшается на $2$, а блоки размеров $1\times1$ и $2\times2$ исчезают (задача 18.5), мы можем по предположению индукции считать числа $k_3,k_4,\dots$ чётными. Так как $\operatorname{rk}\mathcal{A}$ и $\operatorname{rk}\mathcal{B}$ также чётны, чётными будут и числа $k_1,k_2$, что завершает доказательство.

Задача 20.1. С каждым линейным оператором $\mathcal{A}\in L(V)$ связана кососимметрическая билинейная форма $f_{\mathcal{A}}$ на $L(V)$. Пусть $\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V)$ — линейные операторы, задаваемые матрицами $$ A=\begin{pmatrix} 0 & & & & \\ a_1 & 0 & & \mathrm{O} & \\ & a_2 & \ddots & & \\ & & \ddots & 0 & \\ \mathrm{O} & & & a_{n-1} & 0 \\ \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 0 & b_1 & & & \mathrm{O} \\ & 0 & b_2 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & \mathrm{O} & & 0 & b_{n-1} \\ & & & & 0 \\ \end{pmatrix}, $$ причём $a_1,\dots,a_{n-1},b_1,\dots,b_{n-1}\ne0$. Доказать, что пара форм $(f_{\mathcal{A}},f_{\mathcal{B}})$ чисто сингулярна, и найти а) количество б)* размеры её кронекеровых блоков.