Будем рассматривать линейные операторы в комплексных векторных пространствах.

Определение 1. Линейный оператор $\mathcal{A}\in L(V)$ называется полупростым, если в некотором базисе он записывается диагональной матрицей или, что эквивалентно, если $$V=\bigoplus_{\lambda}V_{\lambda}(\mathcal{A})$$ (сумма по всем собственным значениям $\lambda$), где $V_{\lambda}(\mathcal{A})=\{v\in V\mid\mathcal{A}v=\lambda{v}\}$ — собственное подпространство.

Пусть $S\subset L(V)$ — семейство коммутирующих друг с другом полупростых операторов. Из задачи 6.2 следует, что $$V=\bigoplus_{\lambda}V_{\lambda}(S),$$ где $V_{\lambda}(S)=\{v\in V\mid\mathcal{A}v=\lambda(\mathcal{A})v,\ \forall\mathcal{A}\in S\}$ — весовое подпространство, отвечающее функции $\lambda:S\to\mathbb{C}$ (называемой весом).

Определение 2. Коммутативная алгебраическая линейная группа, состоящая из полупростых операторов, называется (алгебраическим) квазитором. Связный квазитор называется (алгебраическим) тором.

Иначе говоря, квазитор — это алгебраическая подгруппа в группе $T_n\subset GL_n(\mathbb{C})$ (невырожденных) диагональных матриц. Отметим, что $T_n\simeq(\mathbb{C}^{\times})^n$.

Теорема 1. Всякий квазитор изоморфен $(\mathbb{C}^{\times})^m\times A$, где $A$ — конечная абелева группа.

В частности, всякий алгебраический тор изоморфен $(\mathbb{C}^{\times})^m$. Наибольшей компактной подгруппой в $(\mathbb{C}^{\times})^m$ является обычный $m$-мерный тор $(U_1)^m$, что объясняет терминологию.

Теорему 1 можно вывести из следующей теоремы (задача 6.4).

Теорема 2. Всякая алгебраическая подгруппа $T\subset T_n$ может быть задана уравнениями вида $$x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}=1\qquad(k_1,\dots,k_n\in\mathbb{Z})$$ (где $x_1,\dots,x_n$ — диагональные элементы).

Доказательство. Действие группы $T_n$ на себе умножениями определяет её линейное представление в пространстве многочленов Лорана $$\mathbb{C}[T_n]=\mathbb{C}[x_1,\dots,x_n,x_1^{-1},\dots,x_n^{-1}],$$ которое записывается диагональными матрицами в базисе, составленном из одночленов $x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}$ $(k_1,\dots,k_n\in\mathbb{Z})$; при этом весами являются сами эти одночлены, и весовые подпространства одномерны. Для ограничения этого представления на подгруппу $T\subset T_n$ весовыми подпространствами будут линейные оболочки одночленов, ограничения которых на $T$ совпадают, т.е. $x_1^{l_1}\cdots x_n^{l_n}$ и $x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}$ попадают в одно весовое подпространство тогда и только тогда, когда $x_1^{l_1-m_1}\cdots x_n^{l_1-m_1}=1$ на $T$.

Пусть $I_T\lhd\mathbb{C}[T_n]$ — идеал, образованный всеми функциями, равными $0$ на $T$. Очевидно, что он инвариантен относительно $T$ и, следовательно, является суммой своих пересечений с весовыми подпространствами (задача 6.3).

Пусть $\widetilde{T}\subset T_n$ — подгруппа, задаваемая всеми уравнениями указанного в теореме вида, которым удовлетворяют все элементы подгруппы $T$. Тогда весовые подпространства в $\mathbb{C}[T_n]$ для $\widetilde{T}$ будут такие же, как и для $T$. Следовательно, идеал $I_T$ инвариантен также относительно $\widetilde{T}$. Но это означает, что сама подгруппа $T$ (задаваемая системой уравнений $f(x_1,\dots,x_n)=0$, $f\in I_T$) инвариантна относительно умножений на элементы $\widetilde{T}$ и, следовательно, $T=\widetilde{T}$, что завершает доказательство теоремы 2.

Заметим, что всякий линейный оператор конечного порядка полупрост. Пусть $T\subset GL(V)$ — квазитор, и $T_{\text{fin}}\subseteq T$ — множество его элементов конечного порядка (подгруппа кручения). Для всякого семейства невырожденных линейных операторов $S\subseteq GL(V)$ можно рассмотреть наименьшую алгебраическую линейную группу $G(S)\subseteq GL(V)$, содержащую $S$ (она существует, поскольку пересечение алгебраических линейных групп также является алгебраической линейной группой). Оказывается, что $G(T_{\text{fin}})=T$ (задача 6.5). Из этого можно вывести, что образ квазитора при любом его линейном представлении является квазитором (задача 6.6).

Для всякого линейного оператора $\mathcal{A}\in L(V)$ имеем $$V=\bigoplus_{\lambda}V^{\lambda}(\mathcal{A}),$$ где $V^{\lambda}(\mathcal{A})=\{v\in V\mid(\mathcal{A}-\mathcal{E})^mv=\lambda{v}\ \text{ для некоторого }m\}$ — корневое подпространство оператора $\mathcal{A}$, отвечающее собственному значению $\lambda$. Обозначим через $\mathcal{A}_s$ полупростой оператор, действующий в каждом подпространстве $V^{\lambda}(\mathcal{A})$ умножением на $\lambda$, т.е. $$V_{\lambda}(\mathcal{A}_s)=V^{\lambda}(\mathcal{A}),\qquad\forall\lambda.$$ Очевидно, что $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s+\mathcal{A}_n$, где $\mathcal{A}_n$ — нильпотентный оператор, причём операторы $\mathcal{A}_s$ и $\mathcal{A}_n$ коммутируют. Это разложение называется аддитивным разложением Жордана оператора $\mathcal{A}$. Оно может быть определено аксиоматически (задача 6.8).

Если оператор $\mathcal{A}$ невырожден, то $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s\mathcal{A}_u$, где $\mathcal{A}_u=\mathcal{E}+\mathcal{A}_s^{-1}\mathcal{A}_n$ — унипотентный (т.е. имеющий только собственное значение $1$) оператор, коммутирующий с $\mathcal{A}_s$. Это разложение называется мультипликативным разложением Жордана оператора $\mathcal{A}$.

Задача 6.1. Если $\mathcal{A}\in L(V)$ — полупростой оператор, и $U\subset V$ — инвариантное относительно $\mathcal{A}$ подпространство, то оператор $\mathcal{A}|_U$ также полупрост.

Задача 6.2. Всякое коммутативное семейство $S\subset L(V)$ полупростых операторов записывается в некотором базисе пространства $V$ диагональными матрицами.

Задача 6.3. Всякое инвариантное подпространство $U\subset V$ для коммутативного семейства $S$ полупростых операторов есть сумма своих пересечений с весовыми подпространствами: $$U=\bigoplus_{\lambda}U_{\lambda},\qquad U_{\lambda}=U\cap V_{\lambda}(S).$$

Задача 6.4. Вывести теорему 1 из теоремы 2.

Задача 6.5. Подгруппа кручения $T_{\text{fin}}$ в квазиторе $T$ не содержится ни в какой алгебраической линейной группе, меньшей, чем $T$.

Задача 6.6. Образ квазитора при любом его линейном представлении (как алгебраической группы) является квазитором. (Считается известным, что образ алгебраической линейной группы при любом её линейном представлении является алгебраической линейной группой.)

Задача 6.7. Для любого коммутативного семейства линейных операторов $S\subset GL(V)$ группа $G(S)$ коммутативна.

Задача 6.8. Если $\mathcal{A}=\mathcal{S}+\mathcal{N}$, где $\mathcal{S}$ — полупростой оператор, а $\mathcal{N}$ — нильпотентный оператор, и $\mathcal{S}\mathcal{N}=\mathcal{N}\mathcal{S}$, то $\mathcal{S}=\mathcal{A}_s$, $\mathcal{N}=\mathcal{A}_n$.

Задача 6.9. Если $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$, то $\mathcal{A}_s\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}_s$ и $\mathcal{A}_n\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}_n$.