Изучим группу $G(\mathcal{A})$ для произвольного линейного оператора $\mathcal{A}\in GL(V)$. Для полупростого оператора $G(\mathcal{A})$ — квазитор, и его структура нам известна. Для унипотентного оператора группа $G(\mathcal{A})$ описана в задаче 7.1.

Пусть теперь $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s\mathcal{A}_u$ — линейный оператор, не являющийся ни полупростым, ни унипотентным. Тогда $G(\mathcal{A})\subseteq G(\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u)$. Из задачи 6.7 следует, что эта последняя группа коммутативна, а значит, множество $G(\mathcal{A}_s)\cdot G(\mathcal{A}_u)\subseteq G(\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u)$ — подгруппа. Эта подгруппа является алгебраической как образ алгебраической группы $G(\mathcal{A}_s)\times G(\mathcal{A}_u)$ при гомоморфизме $(\mathcal{B},\mathcal{C})\mapsto\mathcal{B}\mathcal{C}$. Следовательно, $G(\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u)=G(\mathcal{A}_s)\cdot G(\mathcal{A}_u)$. На самом деле произведение этих подгрупп — прямое (задача 7.2).

Выберем базис, в котором $\mathcal{A}_s$ будет записываться диагональной матрицей, а $\mathcal{A}_u$ — унитреугольной матрицей (например, жорданов базис для $\mathcal{A}$). Тогда и все операторы из $G(\mathcal{A}_s)$ будут записываться диагональными матрицами, а из $G(\mathcal{A}_u)$ — унитреугольными матрицами. Поэтому проекция группы $G(\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u)=G(\mathcal{A}_s)\times G(\mathcal{A}_u)$ на $G(\mathcal{A}_s)$ — это взятие диагонали у треугольной матрицы и, следовательно, гомоморфизм алгебраических групп. Образ алгебраической подгруппы $G(\mathcal{A})$ при этом гомоморфизме есть алгебраическая группа, содержащая $\mathcal{A}_s$ и, следовательно, совпадающая с $G(\mathcal{A}_s)$.

Если $\mathcal{B}\in G(\mathcal{A})$ — такой оператор, что его "диагональная часть" $\mathcal{B}_s$ имеет конечный порядок $m$, то $\mathcal{B}^m=\mathcal{B}_u^m$ — унипотентный оператор, содержащийся в $G(\mathcal{A}_u)$. Если $\mathcal{B}_u=\mathcal{A}_u^t\ne\mathcal{E}$, то $t\ne 0$ и $\mathcal{A}_u=(\mathcal{B}_u^m)^{1/mt}$, откуда $G(\mathcal{A}_u)=G(\mathcal{B}_u^m)\subseteq G(\mathcal{B})\subseteq G(\mathcal{A})$. Если же все элементы конечного порядка в $G(\mathcal{A}_s)$ содержатся в $G(\mathcal{A})$, то $G(\mathcal{A}_s)\subseteq G(\mathcal{A})$ по задаче 6.5. В обоих случаях $G(\mathcal{A})\ni\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u$, откуда $$G(\mathcal{A})=G(\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u)=G(\mathcal{A}_s)\times G(\mathcal{A}_u).$$

Теорема 1. Пусть $G\subseteq GL(V)$ — алгебраическая линейная группа, и $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ — её касательная алгебра Ли. Тогда
а) $\mathcal{A}\in G\implies\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u\in G$;
б) $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\implies\mathcal{X}_s,\mathcal{X}_n\in\mathfrak{g}$.

Пункт а) следует из описания группы $G(\mathcal{A})$, а пункт б) можно вывести из а) (задача 7.3).

Определение. Алгебраическая линейная группа, состоящая из унипотентных линейных операторов, называется унипотентной.

Изучим структуру унипотентных алгебраических групп. Ясно, что унипотентная алгебраическая группа $G\subseteq GL(V)$ вместе с каждым оператором $\mathcal{A}\in G$ содержит однопараметрическую группу $G(\mathcal{A})=\{\mathcal{A}^t\mid t\in\mathbb{C}\}$. Из этого и из задачи 7.6 легко вывести, что отображение $\exp:\mathfrak{g}\to G$ биективно (задача 7.7, ср. с задачей 2.4 в).

Теорема 2 (теорема Энгеля). Если линейная алгебра Ли $\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(V)$ состоит из нильпотентных операторов (например, $\mathfrak{g}$ — касательная алгебра Ли унипотентной алгебраической группы $G\subset GL(V)$), то существует базис пространства $V$, в котором все её элементы записываются нильтреугольными матрицами.

Доказательство. Индукция по $\dim V$ позволяет свести теорему к следующему утверждению: в условиях теоремы, существует такой ненулевой вектор $v\in V$, что $\mathfrak{g}v=0$. Докажем это утверждение индукцией по $\dim\mathfrak{g}$.

При $\dim\mathfrak{g}=1$ утверждение очевидно.

Пусть $\dim\mathfrak{g}>1$, и $\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}$ — максимальная собственная подалгебра Ли. Рассмотрим представление $\rho$ алгебры $\mathfrak{h}$ в пространстве $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$, индуцированное присоединённым представлением алгебры $\mathfrak{g}$, т.е. $$\rho(\mathcal{X})(\mathcal{Y}+\mathfrak{h})=[\mathcal{X},\mathcal{Y}]+\mathfrak{h}\qquad(\mathcal{X}\in\mathfrak{h},\ \mathcal{Y}\in\mathfrak{g}).$$ По предположению индукции и задаче 7.4 б), оно аннулирует некоторый ненулевой вектор $\mathcal{Z}+\mathfrak{h}\in\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$, т.е. $[\mathfrak{h},\mathcal{Z}]\subseteq\mathfrak{h}$, но $\mathcal{Z}\notin\mathfrak{h}$. Следовательно, $\mathfrak{h}+\mathbb{C}\mathcal{Z}$ — подалгебра, строго содержащая $\mathfrak{h}$ и, значит, совпадающая с $\mathfrak{g}$.

По предположению индукции, $$W=\{v\in V\mid\mathfrak{h}v=0\}\ne0.$$ Легко видеть, что $\mathcal{Z}W\subseteq W$. Так как $\mathcal{Z}$ — нильпотентный оператор, то существует ненулевой вектор $v\in W$, для которого $\mathcal{Z}v=0$. Этот вектор и будет искомым.

Из теоремы Энгеля и задач 7.6, 7.7 вытекает

Следствие. Если $G\subset GL(V)$ — унипотентная алгебраическая линейная группа, то существует базис пространства $V$, в котором все её элементы записываются унитреугольными матрицами.

Замечание. Можно доказать, что

если $\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(V)$ — линейная алгебра Ли, состоящая из нильпотентных операторов, то $G=\exp\mathfrak{g}$ — унипотентная алгебраическая линейная группа;
всякая связная линейная группа Ли, состоящая из унипотентных операторов, является алгебраической.

Задача 7.1. Если $\mathcal{A}\in GL(V)$ — унипотентный оператор, то $G(\mathcal{A})$ — однопараметрическая группа: $$ G(\mathcal{A})=\{\mathcal{A}^t:=\exp(t\ln\mathcal{A})\mid t\in\mathbb{C}\}. $$

Задача 7.2. $G(\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u)=G(\mathcal{A}_s)\times G(\mathcal{A}_u)$.

Задача 7.3. Вывести пункт б) теоремы 1 из пункта а).

Задача 7.4. Пусть $G\subseteq GL(V)$ — алгебраическая линейная группа, и $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ — её касательная алгебра Ли.
a) Для любого линейного оператора $\mathcal{A}\in G$ верно $(\operatorname{Ad}\mathcal{A})_s=\operatorname{Ad}(\mathcal{A}_s)$ и $(\operatorname{Ad}\mathcal{A})_u=\operatorname{Ad}(\mathcal{A}_u)$.
б) Для любого линейного оператора $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$ верно $(\operatorname{ad}\mathcal{X})_s=\operatorname{ad}(\mathcal{X}_s)$ и $(\operatorname{ad}\mathcal{X})_n=\operatorname{ad}(\mathcal{X}_n)$.

Задача 7.5. Любая коммутативная алгебраическая линейная группа есть прямое произведение квазитора и (коммутативной) унипотентной алгебраической линейной группы.

Задача 7.6. Касательная алгебра Ли унипотентной алгебраической группы состоит из нильпотентных операторов.

Задача 7.7. Если $G$ — унипотентная алгебраическая группа, то отображение $\exp:\mathfrak{g}\to G$ биективно.

предыдущий семинар	23 октября 2015 г.	следующий семинар
Тема 7 Разложение Жордана в алгебраических линейных группах Изучим группу $G(\mathcal{A})$ для произвольного линейного оператора $\mathcal{A}\in GL(V)$. Для полупростого оператора $G(\mathcal{A})$ — квазитор, и его структура нам известна. Для унипотентного оператора группа $G(\mathcal{A})$ описана в задаче 7.1. Пусть теперь $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s\mathcal{A}_u$ — линейный оператор, не являющийся ни полупростым, ни унипотентным. Тогда $G(\mathcal{A})\subseteq G(\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u)$. Из задачи 6.7 следует, что эта последняя группа коммутативна, а значит, множество $G(\mathcal{A}_s)\cdot G(\mathcal{A}_u)\subseteq G(\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u)$ — подгруппа. Эта подгруппа является алгебраической как образ алгебраической группы $G(\mathcal{A}_s)\times G(\mathcal{A}_u)$ при гомоморфизме $(\mathcal{B},\mathcal{C})\mapsto\mathcal{B}\mathcal{C}$. Следовательно, $G(\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u)=G(\mathcal{A}_s)\cdot G(\mathcal{A}_u)$. На самом деле произведение этих подгрупп — прямое (задача 7.2). Выберем базис, в котором $\mathcal{A}_s$ будет записываться диагональной матрицей, а $\mathcal{A}_u$ — унитреугольной матрицей (например, жорданов базис для $\mathcal{A}$). Тогда и все операторы из $G(\mathcal{A}_s)$ будут записываться диагональными матрицами, а из $G(\mathcal{A}_u)$ — унитреугольными матрицами. Поэтому проекция группы $G(\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u)=G(\mathcal{A}_s)\times G(\mathcal{A}_u)$ на $G(\mathcal{A}_s)$ — это взятие диагонали у треугольной матрицы и, следовательно, гомоморфизм алгебраических групп. Образ алгебраической подгруппы $G(\mathcal{A})$ при этом гомоморфизме есть алгебраическая группа, содержащая $\mathcal{A}_s$ и, следовательно, совпадающая с $G(\mathcal{A}_s)$. Если $\mathcal{B}\in G(\mathcal{A})$ — такой оператор, что его "диагональная часть" $\mathcal{B}_s$ имеет конечный порядок $m$, то $\mathcal{B}^m=\mathcal{B}_u^m$ — унипотентный оператор, содержащийся в $G(\mathcal{A}_u)$. Если $\mathcal{B}_u=\mathcal{A}_u^t\ne\mathcal{E}$, то $t\ne 0$ и $\mathcal{A}_u=(\mathcal{B}_u^m)^{1/mt}$, откуда $G(\mathcal{A}_u)=G(\mathcal{B}_u^m)\subseteq G(\mathcal{B})\subseteq G(\mathcal{A})$. Если же все элементы конечного порядка в $G(\mathcal{A}_s)$ содержатся в $G(\mathcal{A})$, то $G(\mathcal{A}_s)\subseteq G(\mathcal{A})$ по задаче 6.5. В обоих случаях $G(\mathcal{A})\ni\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u$, откуда $$G(\mathcal{A})=G(\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u)=G(\mathcal{A}_s)\times G(\mathcal{A}_u).$$ Теорема 1. Пусть $G\subseteq GL(V)$ — алгебраическая линейная группа, и $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ — её касательная алгебра Ли. Тогда а) $\mathcal{A}\in G\implies\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u\in G$; б) $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\implies\mathcal{X}_s,\mathcal{X}_n\in\mathfrak{g}$. Пункт а) следует из описания группы $G(\mathcal{A})$, а пункт б) можно вывести из а) (задача 7.3). Определение. Алгебраическая линейная группа, состоящая из унипотентных линейных операторов, называется унипотентной. Изучим структуру унипотентных алгебраических групп. Ясно, что унипотентная алгебраическая группа $G\subseteq GL(V)$ вместе с каждым оператором $\mathcal{A}\in G$ содержит однопараметрическую группу $G(\mathcal{A})=\{\mathcal{A}^t\mid t\in\mathbb{C}\}$. Из этого и из задачи 7.6 легко вывести, что отображение $\exp:\mathfrak{g}\to G$ биективно (задача 7.7, ср. с задачей 2.4 в). Теорема 2 (теорема Энгеля). Если линейная алгебра Ли $\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(V)$ состоит из нильпотентных операторов (например, $\mathfrak{g}$ — касательная алгебра Ли унипотентной алгебраической группы $G\subset GL(V)$), то существует базис пространства $V$, в котором все её элементы записываются нильтреугольными матрицами. Доказательство. Индукция по $\dim V$ позволяет свести теорему к следующему утверждению: в условиях теоремы, существует такой ненулевой вектор $v\in V$, что $\mathfrak{g}v=0$. Докажем это утверждение индукцией по $\dim\mathfrak{g}$. При $\dim\mathfrak{g}=1$ утверждение очевидно. Пусть $\dim\mathfrak{g}>1$, и $\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}$ — максимальная собственная подалгебра Ли. Рассмотрим представление $\rho$ алгебры $\mathfrak{h}$ в пространстве $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$, индуцированное присоединённым представлением алгебры $\mathfrak{g}$, т.е. $$\rho(\mathcal{X})(\mathcal{Y}+\mathfrak{h})=[\mathcal{X},\mathcal{Y}]+\mathfrak{h}\qquad(\mathcal{X}\in\mathfrak{h},\ \mathcal{Y}\in\mathfrak{g}).$$ По предположению индукции и задаче 7.4 б), оно аннулирует некоторый ненулевой вектор $\mathcal{Z}+\mathfrak{h}\in\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$, т.е. $[\mathfrak{h},\mathcal{Z}]\subseteq\mathfrak{h}$, но $\mathcal{Z}\notin\mathfrak{h}$. Следовательно, $\mathfrak{h}+\mathbb{C}\mathcal{Z}$ — подалгебра, строго содержащая $\mathfrak{h}$ и, значит, совпадающая с $\mathfrak{g}$. По предположению индукции, $$W=\{v\in V\mid\mathfrak{h}v=0\}\ne0.$$ Легко видеть, что $\mathcal{Z}W\subseteq W$. Так как $\mathcal{Z}$ — нильпотентный оператор, то существует ненулевой вектор $v\in W$, для которого $\mathcal{Z}v=0$. Этот вектор и будет искомым. Из теоремы Энгеля и задач 7.6, 7.7 вытекает Следствие. Если $G\subset GL(V)$ — унипотентная алгебраическая линейная группа, то существует базис пространства $V$, в котором все её элементы записываются унитреугольными матрицами. Замечание. Можно доказать, что если $\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(V)$ — линейная алгебра Ли, состоящая из нильпотентных операторов, то $G=\exp\mathfrak{g}$ — унипотентная алгебраическая линейная группа; всякая связная линейная группа Ли, состоящая из унипотентных операторов, является алгебраической. Задачи Задача 7.1. Если $\mathcal{A}\in GL(V)$ — унипотентный оператор, то $G(\mathcal{A})$ — однопараметрическая группа: $$ G(\mathcal{A})=\{\mathcal{A}^t:=\exp(t\ln\mathcal{A})\mid t\in\mathbb{C}\}. $$ Задача 7.2. $G(\mathcal{A}_s,\mathcal{A}_u)=G(\mathcal{A}_s)\times G(\mathcal{A}_u)$. Задача 7.3. Вывести пункт б) теоремы 1 из пункта а). Задача 7.4. Пусть $G\subseteq GL(V)$ — алгебраическая линейная группа, и $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ — её касательная алгебра Ли. a) Для любого линейного оператора $\mathcal{A}\in G$ верно $(\operatorname{Ad}\mathcal{A})_s=\operatorname{Ad}(\mathcal{A}_s)$ и $(\operatorname{Ad}\mathcal{A})_u=\operatorname{Ad}(\mathcal{A}_u)$. б) Для любого линейного оператора $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$ верно $(\operatorname{ad}\mathcal{X})_s=\operatorname{ad}(\mathcal{X}_s)$ и $(\operatorname{ad}\mathcal{X})_n=\operatorname{ad}(\mathcal{X}_n)$. Задача 7.5. Любая коммутативная алгебраическая линейная группа есть прямое произведение квазитора и (коммутативной) унипотентной алгебраической линейной группы. Задача 7.6. Касательная алгебра Ли унипотентной алгебраической группы состоит из нильпотентных операторов. Задача 7.7. Если $G$ — унипотентная алгебраическая группа, то отображение $\exp:\mathfrak{g}\to G$ биективно.