Определение 1. Пусть $G\subseteq GL(V)$ — линейная группа Ли, и $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ — её касательная алгебра Ли. Билинейная форма $\beta$ на $\mathfrak{g}$ называется ($G$-)инвариантной, если $$ (1)\qquad\qquad\qquad\qquad \beta(\operatorname{Ad}(\mathcal{A})(\mathcal{X}),\operatorname{Ad}(\mathcal{A})(\mathcal{Y}))=\beta(\mathcal{X},\mathcal{Y}), \qquad\forall\mathcal{A}\in G,\ \mathcal{X},\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}.\qquad\qquad\qquad\qquad $$ Дифференцируя это равенство по $\mathcal{A}$ при $\mathcal{A}=\mathcal{E}$, получаем $$ (2)\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \beta([\mathcal{Z},\mathcal{X}],\mathcal{Y})+\beta(\mathcal{X},[\mathcal{Z},\mathcal{Y}]), \qquad\mathcal{X},\mathcal{Y},\mathcal{Z}\in\mathfrak{g}.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\; $$ Равенство (2) может служить внутренним определением инвариантной билинейной формы на любой (не обязательно касательной) алгебре Ли $\mathfrak{g}$.

На алгебре Ли $\mathfrak{gl}(V)$ (и, тем самым, на любой её подалгебре) имеется каноническая невырожденная (задача 8.2) инвариантная симметрическая билинейная форма, которую мы будем называть (каноническим) скалярным умножением и обозначать соответствующим образом: $$ (3)\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (\mathcal{X},\mathcal{Y})=\operatorname{tr}(\mathcal{X}\mathcal{Y}) \qquad(\mathcal{X},\mathcal{Y}\in\mathfrak{gl}(V)).\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad $$

Пусть $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ — линейная алгебра Ли. Наша ближайшая цель — выяснить, когда каноническое скалярное умножение в $\mathfrak{g}$ невырожденно. Некоторые результаты по этому вопросу содержатся в задачах 8.3–8.5. В частности, на касательной алгебре Ли алгебраического тора (такие линейные алгебры Ли будем называть торическими) скалярное умножение невырожденно (задача 8.4).

В дальнейшем будем рассматривать касательные алгебры Ли алгебраических линейных групп. Такие линейные алгебры Ли будем называть алгебраическими.

Очевидно, что для любой линейной алгебры Ли $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ существует наименьшая содержащая её алгебраическая линейная алгебра Ли $\mathfrak{g}^a\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ (нужно рассмотреть пересечение всех алгебраических линейных групп в $GL(V)$, касательные алгебры которых содержат $\mathfrak{g}$, и взять её касательную алгебру). Алгебра $\mathfrak{g}^a$ называется алгебраическим замыканием алгебры $\mathfrak{g}$.

Теорема. Ядро скалярного умножения на алгебраической линейной алгебре Ли $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ есть наибольший идеал алгебры $\mathfrak{g}$, состоящий из нильпотентных операторов.

Этот идеал называется нильрадикалом (или унипотентным радикалом) алгебры $\mathfrak{g}$ и обозначается $\operatorname{rad}_n\mathfrak{g}$.

Доказательство. Пусть $\mathfrak{r}$ — ядро скалярного умножения на $\mathfrak{g}$. Согласно задаче 8.3 это идеал алгебры Ли $\mathfrak{g}$.

Для любого $\mathcal{X}\in\mathfrak{r}$ рассмотрим базис пространства $V$, в котором оператор $\mathcal{X}_s$ записывается диагональной матрицей, а оператор $\mathcal{X}_n$ – нильтреугольной матрицей (например, жорданов базис для оператора $\mathcal{X}$). В этом базисе все операторы из торической (по задаче 8.6) алгебры Ли $(\mathbb{C}\mathcal{X}_s)^a$ также записываются диагональными матрицами, откуда следует, что $$(\mathcal{Y},\mathcal{X}_s)=(\mathcal{Y},\mathcal{X})=0,\qquad\forall\mathcal{Y}\in(\mathbb{C}\mathcal{X}_s)^a.$$ Но тогда $\mathcal{X}_s=0$ в силу задачи 8.4. Таким образом, идеал $\mathfrak{r}$ состоит из нильпотентных операторов.

Обратно, пусть $\tilde{\mathfrak{r}}\lhd\mathfrak{g}$ – идеал, состоящий из нильпотентных операторов. По теореме Энгеля $$V_0=\{v\in V\mid\tilde{\mathfrak{r}}v=0\}\ne0.$$ Легко видеть (задача 8.7), что $\mathfrak{g}V_0\subseteq V_0$. Применяя теорему Энгеля к факторпространству $V/V_0$ (на котором $\tilde{\mathfrak{r}}$ также действует нильпотентными операторами), получаем, что $$V_1=\{v\in V\mid\tilde{\mathfrak{r}}v\subseteq V_0\}\ne V_0,$$ причём $\mathfrak{g}V_1\subseteq V_1$. Продолжая в том же духе, получаем цепочку (флаг) $\mathfrak{g}$-инвариантных подпространств $$V_0\subset V_1\subset V_2\subset\dots\subset V_m=V,$$ причём $\tilde{\mathfrak{r}}V_k\subseteq V_{k-1}$. Отсюда следует, что $$(\mathcal{X},\mathcal{Y})=\operatorname{tr}(\mathcal{X}\mathcal{Y})=0,\qquad\forall\mathcal{X}\in\tilde{\mathfrak{r}},\ \mathcal{Y}\in\mathfrak{g},$$ т.е. $\tilde{\mathfrak{r}}\subseteq\mathfrak{r}$.

Определение 2. Алгебраическая линейная алгебра Ли $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ (и соответствующая алгебраическая линейная группа $G\subseteq GL(V)$) называется редуктивной, если $\operatorname{rad}_n\mathfrak{g}=0$, т.е. скалярное умножение на $\mathfrak{g}$ невырожденно.

Пример. Всякая торическая алгебра Ли редуктивна (задача 8.4).

Задача 8.1. Если группа Ли $G$ связна, то из (2) следует (1).

Задача 8.2. Каноническое скалярное умножение (3) на $\mathfrak{gl}(V)$ невырожденно.

Задача 8.3. Ортогональное дополнение $\mathfrak{a}^{\perp}$ в линейной алгебре Ли $\mathfrak{g}$ к идеалу $\mathfrak{a}\lhd\mathfrak{g}$ есть идеал. В частности, ядро скалярного умножения на $\mathfrak{g}$ — идеал.

Задача 8.4. Скалярное умножение на касательной алгебре Ли алгебраического тора невырожденно.

Задача 8.5. Если линейная алгебра Ли $\mathfrak{g}$ состоит из нильпотентных операторов (например, $\mathfrak{g}$ — касательная алгебра Ли унипотентной алгебраической группы), то скалярное умножение на $\mathfrak{g}$ равно нулю.

Задача 8.6. Пусть $\mathcal{X}\in\mathfrak{gl}(V)$ — полупростой линейный оператор. Тогда $(\mathbb{C}\mathcal{X})^a$ — торическая алгебра Ли. Как она описывается в базисе, в котором $\mathcal{X}$ задаётся диагональной матрицей?

Задача 8.7. Если $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ — линейная алгебра Ли, $\mathfrak{a}\lhd\mathfrak{g}$ и $$V_0=\{v\in V\mid\mathfrak{a}v=0\},$$ то подпространство $V_0$ инвариантно относительно $\mathfrak{g}$.

Задача 8.8. Центр редуктивной алгебры Ли является торической алгеброй Ли.

Задача 8.9. Пусть $\mathfrak{g}$ — редуктивная алгебра Ли. Тогда:
a) для любого $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$ ортогональное дополнение к централизатору $$\mathfrak{z}(\mathcal{X})=\{\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}\mid[\mathcal{X},\mathcal{Y}]=0\}$$ равно $[\mathfrak{g},\mathcal{X}]$;

б) ортогональное дополнение к центру $$\mathfrak{z}(\mathfrak{g})=\{\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\mid[\mathcal{X},\mathcal{Y}]=0,\ \forall\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}\}$$ есть коммутант $$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\langle[\mathcal{X},\mathcal{Y}]\mid\mathcal{X},\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}\rangle;$$
в) $\mathfrak{g}=\mathfrak{z}(\mathfrak{g})\oplus[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$, причём скалярное умножение на $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ невырожденно.

предыдущий семинар	30 октября 2015 г.	следующий семинар
Тема 8 Инвариантные скалярные умножения в линейных алгебрах Ли Определение 1. Пусть $G\subseteq GL(V)$ — линейная группа Ли, и $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ — её касательная алгебра Ли. Билинейная форма $\beta$ на $\mathfrak{g}$ называется ($G$-)инвариантной, если $$ (1)\qquad\qquad\qquad\qquad \beta(\operatorname{Ad}(\mathcal{A})(\mathcal{X}),\operatorname{Ad}(\mathcal{A})(\mathcal{Y}))=\beta(\mathcal{X},\mathcal{Y}), \qquad\forall\mathcal{A}\in G,\ \mathcal{X},\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}.\qquad\qquad\qquad\qquad $$ Дифференцируя это равенство по $\mathcal{A}$ при $\mathcal{A}=\mathcal{E}$, получаем $$ (2)\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \beta([\mathcal{Z},\mathcal{X}],\mathcal{Y})+\beta(\mathcal{X},[\mathcal{Z},\mathcal{Y}]), \qquad\mathcal{X},\mathcal{Y},\mathcal{Z}\in\mathfrak{g}.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\; $$ Равенство (2) может служить внутренним определением инвариантной билинейной формы на любой (не обязательно касательной) алгебре Ли $\mathfrak{g}$. На алгебре Ли $\mathfrak{gl}(V)$ (и, тем самым, на любой её подалгебре) имеется каноническая невырожденная (задача 8.2) инвариантная симметрическая билинейная форма, которую мы будем называть (каноническим) скалярным умножением и обозначать соответствующим образом: $$ (3)\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (\mathcal{X},\mathcal{Y})=\operatorname{tr}(\mathcal{X}\mathcal{Y}) \qquad(\mathcal{X},\mathcal{Y}\in\mathfrak{gl}(V)).\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad $$ Пусть $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ — линейная алгебра Ли. Наша ближайшая цель — выяснить, когда каноническое скалярное умножение в $\mathfrak{g}$ невырожденно. Некоторые результаты по этому вопросу содержатся в задачах 8.3–8.5. В частности, на касательной алгебре Ли алгебраического тора (такие линейные алгебры Ли будем называть торическими) скалярное умножение невырожденно (задача 8.4). В дальнейшем будем рассматривать касательные алгебры Ли алгебраических линейных групп. Такие линейные алгебры Ли будем называть алгебраическими. Очевидно, что для любой линейной алгебры Ли $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ существует наименьшая содержащая её алгебраическая линейная алгебра Ли $\mathfrak{g}^a\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ (нужно рассмотреть пересечение всех алгебраических линейных групп в $GL(V)$, касательные алгебры которых содержат $\mathfrak{g}$, и взять её касательную алгебру). Алгебра $\mathfrak{g}^a$ называется алгебраическим замыканием алгебры $\mathfrak{g}$. Теорема. Ядро скалярного умножения на алгебраической линейной алгебре Ли $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ есть наибольший идеал алгебры $\mathfrak{g}$, состоящий из нильпотентных операторов. Этот идеал называется нильрадикалом (или унипотентным радикалом) алгебры $\mathfrak{g}$ и обозначается $\operatorname{rad}_n\mathfrak{g}$. Доказательство. Пусть $\mathfrak{r}$ — ядро скалярного умножения на $\mathfrak{g}$. Согласно задаче 8.3 это идеал алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Для любого $\mathcal{X}\in\mathfrak{r}$ рассмотрим базис пространства $V$, в котором оператор $\mathcal{X}_s$ записывается диагональной матрицей, а оператор $\mathcal{X}_n$ – нильтреугольной матрицей (например, жорданов базис для оператора $\mathcal{X}$). В этом базисе все операторы из торической (по задаче 8.6) алгебры Ли $(\mathbb{C}\mathcal{X}_s)^a$ также записываются диагональными матрицами, откуда следует, что $$(\mathcal{Y},\mathcal{X}_s)=(\mathcal{Y},\mathcal{X})=0,\qquad\forall\mathcal{Y}\in(\mathbb{C}\mathcal{X}_s)^a.$$ Но тогда $\mathcal{X}_s=0$ в силу задачи 8.4. Таким образом, идеал $\mathfrak{r}$ состоит из нильпотентных операторов. Обратно, пусть $\tilde{\mathfrak{r}}\lhd\mathfrak{g}$ – идеал, состоящий из нильпотентных операторов. По теореме Энгеля $$V_0=\{v\in V\mid\tilde{\mathfrak{r}}v=0\}\ne0.$$ Легко видеть (задача 8.7), что $\mathfrak{g}V_0\subseteq V_0$. Применяя теорему Энгеля к факторпространству $V/V_0$ (на котором $\tilde{\mathfrak{r}}$ также действует нильпотентными операторами), получаем, что $$V_1=\{v\in V\mid\tilde{\mathfrak{r}}v\subseteq V_0\}\ne V_0,$$ причём $\mathfrak{g}V_1\subseteq V_1$. Продолжая в том же духе, получаем цепочку (флаг) $\mathfrak{g}$-инвариантных подпространств $$V_0\subset V_1\subset V_2\subset\dots\subset V_m=V,$$ причём $\tilde{\mathfrak{r}}V_k\subseteq V_{k-1}$. Отсюда следует, что $$(\mathcal{X},\mathcal{Y})=\operatorname{tr}(\mathcal{X}\mathcal{Y})=0,\qquad\forall\mathcal{X}\in\tilde{\mathfrak{r}},\ \mathcal{Y}\in\mathfrak{g},$$ т.е. $\tilde{\mathfrak{r}}\subseteq\mathfrak{r}$. Определение 2. Алгебраическая линейная алгебра Ли $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ (и соответствующая алгебраическая линейная группа $G\subseteq GL(V)$) называется редуктивной, если $\operatorname{rad}_n\mathfrak{g}=0$, т.е. скалярное умножение на $\mathfrak{g}$ невырожденно. Пример. Всякая торическая алгебра Ли редуктивна (задача 8.4). Задачи Задача 8.1. Если группа Ли $G$ связна, то из (2) следует (1). Задача 8.2. Каноническое скалярное умножение (3) на $\mathfrak{gl}(V)$ невырожденно. Задача 8.3. Ортогональное дополнение $\mathfrak{a}^{\perp}$ в линейной алгебре Ли $\mathfrak{g}$ к идеалу $\mathfrak{a}\lhd\mathfrak{g}$ есть идеал. В частности, ядро скалярного умножения на $\mathfrak{g}$ — идеал. Задача 8.4. Скалярное умножение на касательной алгебре Ли алгебраического тора невырожденно. Задача 8.5. Если линейная алгебра Ли $\mathfrak{g}$ состоит из нильпотентных операторов (например, $\mathfrak{g}$ — касательная алгебра Ли унипотентной алгебраической группы), то скалярное умножение на $\mathfrak{g}$ равно нулю. Задача 8.6. Пусть $\mathcal{X}\in\mathfrak{gl}(V)$ — полупростой линейный оператор. Тогда $(\mathbb{C}\mathcal{X})^a$ — торическая алгебра Ли. Как она описывается в базисе, в котором $\mathcal{X}$ задаётся диагональной матрицей? Задача 8.7. Если $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ — линейная алгебра Ли, $\mathfrak{a}\lhd\mathfrak{g}$ и $$V_0=\{v\in V\mid\mathfrak{a}v=0\},$$ то подпространство $V_0$ инвариантно относительно $\mathfrak{g}$. Задача 8.8. Центр редуктивной алгебры Ли является торической алгеброй Ли. Задача 8.9. Пусть $\mathfrak{g}$ — редуктивная алгебра Ли. Тогда: a) для любого $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}$ ортогональное дополнение к централизатору $$\mathfrak{z}(\mathcal{X})=\{\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}\mid[\mathcal{X},\mathcal{Y}]=0\}$$ равно $[\mathfrak{g},\mathcal{X}]$; б) ортогональное дополнение к центру $$\mathfrak{z}(\mathfrak{g})=\{\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\mid[\mathcal{X},\mathcal{Y}]=0,\ \forall\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}\}$$ есть коммутант $$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\langle[\mathcal{X},\mathcal{Y}]\mid\mathcal{X},\mathcal{Y}\in\mathfrak{g}\rangle;$$ в) $\mathfrak{g}=\mathfrak{z}(\mathfrak{g})\oplus[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$, причём скалярное умножение на $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ невырожденно.