Задача 9.1. Если группа Ли $G$ связна, то $Z(G)=\operatorname{Ker}\operatorname{Ad}$.

Задача 9.2. Пусть $\varphi:G\to H$ — гомоморфизм групп Ли. Тогда его ядро $\operatorname{Ker}\varphi$ — подгруппа Ли в $G$ с касательной алгеброй Ли $\operatorname{Ker}d\varphi$.

Задача 9.3. Пусть $\mathfrak{g}$ — алгебраическая алгебра Ли, и $\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{g}$ — подпространство. Тогда его централизатор $$\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})=\{\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\mid[\mathcal{X},\mathcal{Y}]=0,\ \forall\mathcal{Y}\in\mathfrak{a}\}$$ — алгебраическая алгебра Ли.

Задача 9.4. Пусть $\mathfrak{g}$ — алгебраическая алгебра Ли, и $\mathfrak{a}\lhd\mathfrak{g}$ — алгебраический идеал (т.е. идеал, являющийся алгебраической алгеброй Ли). Тогда $\operatorname{rad}_n\mathfrak{a}\lhd\mathfrak{g}$.

предыдущий семинар	6 ноября 2015 г.	следующий семинар
Тема 9 Обсуждение и разбор задач прошлого семинара Задачи Задача 9.1. Если группа Ли $G$ связна, то $Z(G)=\operatorname{Ker}\operatorname{Ad}$. Задача 9.2. Пусть $\varphi:G\to H$ — гомоморфизм групп Ли. Тогда его ядро $\operatorname{Ker}\varphi$ — подгруппа Ли в $G$ с касательной алгеброй Ли $\operatorname{Ker}d\varphi$. Задача 9.3. Пусть $\mathfrak{g}$ — алгебраическая алгебра Ли, и $\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{g}$ — подпространство. Тогда его централизатор $$\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})=\{\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\mid[\mathcal{X},\mathcal{Y}]=0,\ \forall\mathcal{Y}\in\mathfrak{a}\}$$ — алгебраическая алгебра Ли. Задача 9.4. Пусть $\mathfrak{g}$ — алгебраическая алгебра Ли, и $\mathfrak{a}\lhd\mathfrak{g}$ — алгебраический идеал (т.е. идеал, являющийся алгебраической алгеброй Ли). Тогда $\operatorname{rad}_n\mathfrak{a}\lhd\mathfrak{g}$.