Определение 1. Связная редуктивная алгебраическая группа $G\subseteq GL(V)$ (и её касательная алгебра Ли $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$) называется полупростой, если $\mathfrak{z}(\mathfrak{g})=0$ (или, что эквивалентно, если $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\mathfrak{g}$).

Определение 2. Алгебра Ли $\mathfrak{g}$ называется простой, если она не имеет нетривиальных идеалов.

Если $\mathfrak{g}$ — простая алгебра Ли, то $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\mathfrak{g}$ или $0$. Во втором случае алгебра $\mathfrak{g}$ коммутативна и одномерна (так как всякое подпространство в коммутативной алгебре Ли является идеалом). В дальнейшем будем понимать под простой алгеброй Ли некоммутативную простую алгебру Ли. Имеет место

Теорема. Всякая полупростая алгебра Ли $\mathfrak{g}$ разлагается в прямую сумму простых алгебр Ли (которые являются её идеалами).

Замечания:

Можно доказать, что всякая (некоммутативная) простая алгебра Ли является алгебраической.
Разложение в теореме единственно (задача 10.3).

Доказательство теоремы проведём индукцией по $\dim\mathfrak{g}$.

Если алгебра $\mathfrak{g}$ проста, то доказывать нечего. В противном случае пусть $\mathfrak{a}\lhd\mathfrak{g}$ — минимальный ненулевой идеал. Тогда его ортогональное дополнение $\mathfrak{a}^{\perp}$ — тоже идеал и, значит, $\mathfrak{a}\cap\mathfrak{a}^{\perp}$ — идеал. В силу минимальности идеала $\mathfrak{a}$ либо $\mathfrak{a}\cap\mathfrak{a}^{\perp}=0$, либо $\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{a}^{\perp}$.

В первом случае скалярное умножение на $\mathfrak{a}$ и на $\mathfrak{a}^{\perp}$ невырожденно и $\mathfrak{g}=\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{a}^{\perp}$. Легко видеть, что тогда $\mathfrak{a}=\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a}^{\perp})$ и $\mathfrak{a}^{\perp}=\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ и, значит, $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{a}^{\perp}$ — полупростые алгебры Ли (их алгебраичность следует из задачи 9.3). Остаётся применить к $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{a}^{\perp}$ предположение индукции.

Во втором случае $\mathfrak{a}$ — коммутативный идеал, так как $$([\mathfrak{a},\mathfrak{a}],\mathfrak{g})=(\mathfrak{a},[\mathfrak{a},\mathfrak{g}])\subseteq(\mathfrak{a},\mathfrak{a})=0.$$ Рассмотрим его централизатор $\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$. Это идеал, содержащий $\mathfrak{a}$ и отличный от $\mathfrak{g}$. По задаче 9.3 он является алгебраической подалгеброй Ли, а из задачи 9.4 следует, что $\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ — редуктивная алгебра Ли. Тогда скалярное умножение на $\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ невырожденно и, как выше, получаем, что $$\mathfrak{g}=\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})\oplus\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^{\perp},$$ причём оба слагаемых — полупростые алгебры Ли. Это противоречит тому, что $\mathfrak{a}$ лежит в центре алгебры Ли $\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$. Полученное противоречие завершает доказательство.

Алгебры Ли $\mathfrak{sl}_n$, $\mathfrak{so}_n$ (за некоторыми исключениями) и $\mathfrak{sp}_n$ являются простыми (задачи 4.3 и 10.5). Помимо этого, с точностью до изоморфизма, существует ровно 5 простых алгебр Ли размерностей $14$, $52$, $78$, $133$, $248$.

Определение 3. Связная алгебраическая группа $G$ называется простой, если её касательная алгебра Ли $\mathfrak{g}$ (некоммутативна и) проста.

Это свойство близко, но не идентично простоте группы $G$ как абстрактной группы (см. задачу 10.4).

Задача 10.1. Пусть $G\subseteq GL(V)$ — неприводимая алгебраическая линейная группа (т.е. в пространстве $V$ нет нетривиальных инвариантных подпространств). Тогда:
a) $G$ редуктивна;
б) если $G$ связна и $\mathfrak{g}$ не содержит скалярных операторов, то $G$ полупроста.

Задача 10.2. Алгебраические группы $SL_n$, $SO_n$ (при $n\ge3$) и $Sp_n$ (при чётном $n$) полупросты.

Задача 10.3. Полупростая алгебра Ли $\mathfrak{g}$ единственным образом разлагается в прямую сумму простых подалгебр Ли (которые совпадают со всеми минимальными ненулевыми идеалами в $\mathfrak{g}$).

Задача 10.4. Связная алгебраическая группа $G$ проста тогда и только тогда, когда всякая нормальная подгруппа Ли $H\lhd G$ либо совпадает c $G$, либо содержится в её (конечном) центре $Z(G)$.

Задача 10.5. При каких $n$ алгебра Ли $\mathfrak{so}_n$ проста?

предыдущий семинар	13 ноября 2015 г.	следующий семинар
Тема 10 Полупростые алгебры Ли Определение 1. Связная редуктивная алгебраическая группа $G\subseteq GL(V)$ (и её касательная алгебра Ли $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$) называется полупростой, если $\mathfrak{z}(\mathfrak{g})=0$ (или, что эквивалентно, если $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\mathfrak{g}$). Определение 2. Алгебра Ли $\mathfrak{g}$ называется простой, если она не имеет нетривиальных идеалов. Если $\mathfrak{g}$ — простая алгебра Ли, то $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\mathfrak{g}$ или $0$. Во втором случае алгебра $\mathfrak{g}$ коммутативна и одномерна (так как всякое подпространство в коммутативной алгебре Ли является идеалом). В дальнейшем будем понимать под простой алгеброй Ли некоммутативную простую алгебру Ли. Имеет место Теорема. Всякая полупростая алгебра Ли $\mathfrak{g}$ разлагается в прямую сумму простых алгебр Ли (которые являются её идеалами). Замечания: Можно доказать, что всякая (некоммутативная) простая алгебра Ли является алгебраической. Разложение в теореме единственно (задача 10.3). Доказательство теоремы проведём индукцией по $\dim\mathfrak{g}$. Если алгебра $\mathfrak{g}$ проста, то доказывать нечего. В противном случае пусть $\mathfrak{a}\lhd\mathfrak{g}$ — минимальный ненулевой идеал. Тогда его ортогональное дополнение $\mathfrak{a}^{\perp}$ — тоже идеал и, значит, $\mathfrak{a}\cap\mathfrak{a}^{\perp}$ — идеал. В силу минимальности идеала $\mathfrak{a}$ либо $\mathfrak{a}\cap\mathfrak{a}^{\perp}=0$, либо $\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{a}^{\perp}$. В первом случае скалярное умножение на $\mathfrak{a}$ и на $\mathfrak{a}^{\perp}$ невырожденно и $\mathfrak{g}=\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{a}^{\perp}$. Легко видеть, что тогда $\mathfrak{a}=\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a}^{\perp})$ и $\mathfrak{a}^{\perp}=\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ и, значит, $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{a}^{\perp}$ — полупростые алгебры Ли (их алгебраичность следует из задачи 9.3). Остаётся применить к $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{a}^{\perp}$ предположение индукции. Во втором случае $\mathfrak{a}$ — коммутативный идеал, так как $$([\mathfrak{a},\mathfrak{a}],\mathfrak{g})=(\mathfrak{a},[\mathfrak{a},\mathfrak{g}])\subseteq(\mathfrak{a},\mathfrak{a})=0.$$ Рассмотрим его централизатор $\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$. Это идеал, содержащий $\mathfrak{a}$ и отличный от $\mathfrak{g}$. По задаче 9.3 он является алгебраической подалгеброй Ли, а из задачи 9.4 следует, что $\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ — редуктивная алгебра Ли. Тогда скалярное умножение на $\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ невырожденно и, как выше, получаем, что $$\mathfrak{g}=\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})\oplus\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^{\perp},$$ причём оба слагаемых — полупростые алгебры Ли. Это противоречит тому, что $\mathfrak{a}$ лежит в центре алгебры Ли $\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$. Полученное противоречие завершает доказательство. Алгебры Ли $\mathfrak{sl}_n$, $\mathfrak{so}_n$ (за некоторыми исключениями) и $\mathfrak{sp}_n$ являются простыми (задачи 4.3 и 10.5). Помимо этого, с точностью до изоморфизма, существует ровно 5 простых алгебр Ли размерностей $14$, $52$, $78$, $133$, $248$. Определение 3. Связная алгебраическая группа $G$ называется простой, если её касательная алгебра Ли $\mathfrak{g}$ (некоммутативна и) проста. Это свойство близко, но не идентично простоте группы $G$ как абстрактной группы (см. задачу 10.4). Задачи Задача 10.1. Пусть $G\subseteq GL(V)$ — неприводимая алгебраическая линейная группа (т.е. в пространстве $V$ нет нетривиальных инвариантных подпространств). Тогда: a) $G$ редуктивна; б) если $G$ связна и $\mathfrak{g}$ не содержит скалярных операторов, то $G$ полупроста. Задача 10.2. Алгебраические группы $SL_n$, $SO_n$ (при $n\ge3$) и $Sp_n$ (при чётном $n$) полупросты. Задача 10.3. Полупростая алгебра Ли $\mathfrak{g}$ единственным образом разлагается в прямую сумму простых подалгебр Ли (которые совпадают со всеми минимальными ненулевыми идеалами в $\mathfrak{g}$). Задача 10.4. Связная алгебраическая группа $G$ проста тогда и только тогда, когда всякая нормальная подгруппа Ли $H\lhd G$ либо совпадает c $G$, либо содержится в её (конечном) центре $Z(G)$. Задача 10.5. При каких $n$ алгебра Ли $\mathfrak{so}_n$ проста?