Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство, $f$ и $g$ — две кососимметрические билинейные формы на $V$. Им соответствуют линейные отображения $\mathcal{A},\mathcal{B}:V\to V^*$ по правилу $$ (\mathcal{A}y)(x)=f(x,y),\qquad(\mathcal{B}y)(x)=g(x,y),\qquad\forall x,y\in V. $$ Матрицы линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}$ в сопряжённых друг другу базисах пространств $V$ и $V^*$ совпадают с матрицами билинейных форм $f,g$ в базисе пространства $V$. Группа $GL(V)$ естественным образом действует на билинейных формах на пространстве $V$ и на линейных отображениях $V\to V^*$.

Задача. Классифицировать пары кососимметрических билинейных форм $f,g$ на пространстве $V$ с точностью до действия группы $GL(V)$.

Эквивалентная формулировка: привести матрицы форм $f,g$ (или линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}$) к каноническому виду выбором базиса в пространстве $V$.

Решение задачи даёт следующая теорема, восходящая к Жордану и Кронекеру (см. также материалы прошлогоднего семинара).

жорданов $$ A_i= \begin{pmatrix} & & & -\lambda & -1 \hphantom-\mathrm{O} & \end{pmatrix}, \qquad B_i= \begin{pmatrix} & & & -1 & & \hphantom-\mathrm{O} & \end{pmatrix}; $$

жорданов $$ A_i= \begin{pmatrix} & & & -1 & & \hphantom-\mathrm{O} & \end{pmatrix}, \qquad B_i= \begin{pmatrix} & & & \hphantom-0 & -1 \hphantom-\mathrm{O} & \end{pmatrix}; $$
кронекеров блок: $$ A_i= \begin{pmatrix} & & -1 & \hphantom-0 \hphantom-\mathrm{O} & \end{pmatrix}, \qquad B_i= \begin{pmatrix} & & \hphantom-0 & -1 \hphantom-\mathrm{O} & \end{pmatrix}. $$
Этот вид bold;">Теорема. базисе пространства $V$ матрицы кососимметрических билинейных форм $f,g$ имеют блочно-диагональный вид $A_i,B_i$ имеют один из следующих видов: блок с собственным значением $\lambda\in\mathbb{C}$: & & & \lambda & \!\!1 & & \!\!\mathrm{O} \\ & \mathrm{O} & & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \!\!1 \\ & & & \mathrm{O} & & & \!\!\lambda \\ & & \!\!\mathrm{O} & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & & & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & & & & \mathrm{O} & \\ & \!\!\!-1 & \!\!\!\!-\lambda & & & & \\ & & & 1 & & & \!\!\mathrm{O} \\ & \mathrm{O} & & & & \!\!\smash\ddots & & \\ & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & \mathrm{O} & & & \!\!1 \\ & & \!\!\mathrm{O} & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & & & & & & \\ & \!\!\!\smash\ddots & & & & \mathrm{O} & \\ & & \!\!\!\!-1 & & & & \\ блок с собственным значением $\infty$: & & & 1 & & & \!\!\mathrm{O} \\ & \mathrm{O} & & & & \!\!\smash\ddots & & \\ & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & \mathrm{O} & & & \!\!1 \\ & & \!\!\mathrm{O} & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & & & & & & \\ & \!\!\!\smash\ddots & & & & \mathrm{O} & \\ & & \!\!\!\!-1 & & & & \\ & & & 0 & \!\!1 & & \!\!\mathrm{O} \\ & \mathrm{O} & & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \!\!1 \\ & & & \mathrm{O} & & & \!\!0 \\ & & \!\!\mathrm{O} & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & & & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & & & & \mathrm{O} & \\ & \!\!\!-1 & \!\!0 & & & & \\ & & 1 & 0 & & \!\!\mathrm{O} \\ & \!\!\mathrm{O} & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\smash\ddots & \\ & & \mathrm{O} & & \!\!1 & \!\!0 \\ & \!\!\hphantom-\mathrm{O} & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & \!\!-1 & & & \mathrm{O} & \\ & \!\!\hphantom-0 & & & & \\ & & 0 & 1 & & \!\!\mathrm{O} \\ & \!\!\mathrm{O} & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\smash\ddots & \\ & & \mathrm{O} & & \!\!0 & \!\!1 \\ & \!\!\!\!\hphantom-\mathrm{O} & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\!\hphantom-0 & & & \mathrm{O} & \\ & \!\!\!\!-1 & & & & \\ пары матриц $A,B$ форм $f,g$ определён однозначно, с точностью до перестановки блоков. Будем называть его разложением Жордана–Кронекера пары кососимметрических билинейных форм.

Существование разложения Жордана–Кронекера.

Рассмотрим вначале случай, когда форма $g$ невырожденна. Тогда линейное отображение $\mathcal{B}$ осуществляет изоморфизм векторных пространств $V$ и $V^*$, посредством которого мы можем эти пространства отождествить. Форме $f$ соответствует линейный оператор $\mathcal{P}=\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}$. Он симметричен относительно формы $g$ (задача 11.1).

Предложение 1. В некотором базисе пространства $V$ матрицы оператора $\mathcal{P}$ и формы $g$ имеют блочно-диагональный вид $$ P= \begin{pmatrix} P_1 & & \mathrm{O} \\ & \ddots & \\ \mathrm{O} & & P_s \\ \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} B_1 & & \mathrm{O} \\ & \ddots & \\ \mathrm{O} & & B_s \\ \end{pmatrix}, $$ где блоки $P_i,B_i$ имеют вид $$ P_i= \begin{pmatrix} \lambda & & & \!\!\mathrm{O} & & & & \\ 1 & \!\!\smash\ddots & & & & & \mathrm{O} & \\ & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & & & & & \\ \mathrm{O} & & \!\!\!1 & \!\!\!\!\lambda & & & & \\ & & & & \lambda & \!\!1 & & \!\!\mathrm{O} \\ & & & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & \\ & \mathrm{O} & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \!\!1 \\ & & & & \mathrm{O} & & & \!\!\lambda \\ \end{pmatrix}, \qquad B_i= \begin{pmatrix} & & & & 1 & & & \!\!\mathrm{O} \\ & \mathrm{O} & & & & \!\!\smash\ddots & & \\ & & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & & \mathrm{O} & & & \!\!1 \\ -1 & & & \!\!\mathrm{O} & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & & & & & & \\ & & \!\!\!\smash\ddots & & & & \mathrm{O} & \\ \hphantom-\mathrm{O} & & & \!\!\!\!-1 & & & & \\ \end{pmatrix}. $$

Доказательство. Пусть вначале $\mathcal{P}$ нильпотентен. Обозначим его степень нильпотентности через $m$, т.е. $\mathcal{P}^m=0$, $\mathcal{P}^{m-1}\ne0$.

Выберем вектор $e_1\in V$, для которого $\mathcal{P}^{m-1}e_1\ne0$, и построим жорданов цикл: $$e_1 \overset{\mathcal{P}}\mapsto e_2 \overset{\mathcal{P}}\mapsto \dots \overset{\mathcal{P}}\mapsto e_m.$$ Пользуясь симметричностью оператора $\mathcal{P}$, легко показать, что $\langle e_1,\dots,e_m\rangle$ — изотропное подпространство относительно формы $g$.

Теперь выберем вектор $f_m\in V$, для которого $g(e_i,f_m)=\delta_{im}$. Рассмотрим цепочку векторов $$f_m \overset{\mathcal{P}}\mapsto f_{m-1} \overset{\mathcal{P}}\mapsto \dots \overset{\mathcal{P}}\mapsto f_1.$$ Из симметричности оператора $\mathcal{P}$ легко вывести, что $g(e_i,f_j)=\delta_{ij}$, откуда вытекает, что векторы $f_1,\dots,f_m$ линейно независимы, т.е. тоже образуют жорданов цикл.

Как и выше, $\langle f_1,\dots,f_m\rangle$ — изотропное подпространство относительно формы $g$, а органичение формы $g$ на $$V_1=\langle e_1,\dots,e_m,f_1,\dots,f_m\rangle$$ невырожденно. Матрицы оператора $\mathcal{P}$ и формы $g$ в указанном базисе пространства $V_1$ выглядят как указанные в предложении блоки (с $\lambda=0$). Далее переходим к ортогональному дополнению подпространства $V_1$ относительно формы $g$ и завершаем рассуждение индукцией по размерности пространства.

В общем случае разложим пространство $V$ в прямую сумму корневых подпространств относительно оператора $\mathcal{P}$: $$V=\bigoplus_{\lambda}V^{\lambda}.$$ Корневые подпространства, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны относительно формы $g$ (задача 11.2). На каждом из корневых подпространств $V^{\lambda}$ оператор $\mathcal{P}-\lambda\mathcal{E}$ симметричен и нильпотентен, и к нему можно применить предыдущее рассуждение.

Из предложения 1 вытекает существование разложения Жордана–Кронекера в случае, когда форма $g$ невырожденна. В случае вырожденной формы $g$ существование разложения Жордана–Кронекера вытекает из следующего предложения.

Предложение 2. Если форма $g$ вырождена, то существует ортогональное относительно обеих форм $f,g$ разложение $V=V_1\oplus W$, для которого матрицы форм $f,g$ на подпространстве $V_1$ в подходящем базисе образуют жорданов блок с собственным значением $\infty$ или кронекеров блок.

Единственность разложения Жордана–Кронекера.

Начнём с жордановых блоков.

Предложение 3. Набор жордановых блоков определён однозначно, с точностью до перестановки.

Доказательство. Предположим вначале, что в разложении нет кронекеровых блоков.

Если форма $g$ невырожденна, то единственность набора жордановых блоков вытекает из единственности жордановой нормальной формы оператора $\mathcal{P}$.

В вырожденном случае мы можем заменить форму $g$ на $g-cf$, подобрав константу $c\in\mathbb{C}$ так, чтобы полученная форма стала невырожденной. Разложение Жордана–Кронекера пары форм $(f,g-cf)$ определяется по разложению пары $(f,g)$ (задача 11.3), и вопрос сводится к предыдущему случаю.

Теперь рассмотрим случай, когда есть кронекеровы блоки.

Пусть $U$ — сумма подпространств $\operatorname{Ker}(g-cf)$ по всем $c\in\mathbb{C}$, для которых ранг формы $g-cf$ максимален, а $U^{\perp}$ — его ортогональное дополнение относительно любой из этих форм. Легко видеть, что $U$ равно сумме своих пересечений с подпространствами $$ \langle e_1,\dots,e_m,f_0,\dots,f_m\rangle, $$ отвечающими кронекеровым блокам, и каждое такое пересечение равно $\langle f_0,\dots,f_m\rangle$, а $U^{\perp}$ есть сумма $U$ и подпространства, отвечающего всем жордановым блокам.

Поскольку формы $f$ и $g$ равны $0$ на $U$, они корректно определяют кососимметрические билинейные формы на факторпространстве $U^{\perp}/U$. Разложение Жордана–Кронекера этой пары форм уже не содержит кронекеровых блоков, а его жордановы блоки совпадают с таковыми для $f$ и $g$. По доказаннному выше, набор этих блоков определён однозначно.

Теперь перейдём к кронекеровым блокам.

Рассмотрим пространство $V[t]$ многочленов с векторными коэффициентами из пространства $V$ (или векторов с полиномиальными координатами в базисе пространства $V$). Это бесконечномерное комплексное векторное пространство и свободный модуль ранга $n=\dim V$ над кольцом $\mathbb{C}[t]$.

Рассмотрим $\mathbb{C}[t]$-линейное отображение $\mathcal{B}-t\mathcal{A}:V[t]\to V^*[t]$. Его ядро $Z\subset V[t]$ состоит из векторнозначных многочленов $v(t)=v_0+tv_1+\dots+t^mv_m$, у которых \begin{align} \mathcal{B}v_0&=0, \\ \mathcal{B}v_1&=\mathcal{A}v_0, \\ &\mathrel\vdots \\ \mathcal{B}v_m&=\mathcal{A}v_{m-1},\\ \mathcal{A}v_m&=0. \\ \end{align} Обозначим через $Z_{\le m}$ подпространство в $Z$, образованное многочленами степени $\le m$.

Предложение 4. $\dim Z_{\le m}=\sum_{m_i\le m}(m-m_i+1)$, где $2m_i+1$ — размеры кронекеровых блоков.

Эта формула легко следует из того, что многочлены $t^kf_0+t^{k+1}f_1+\dots+t^{k+m_i}f_{m_i}$ образуют базис пространства $Z$.

Из предложения 4 ясно, что количество и размеры кронекеровых блоков восстанавливаются по размерностям пространств $Z_{\le m}$ и, стало быть, определены однозначно.

Проблема. Пусть $\mathfrak{g}$ — простая алгебра Ли. С любым элементом $\mathcal{A}\in\mathfrak{g}$ можно связать кососимметрическую билинейную форму $$f_{\mathcal{A}}(\mathcal{X},\mathcal{Y})=(\mathcal{A},[\mathcal{X},\mathcal{Y}])$$ на $\mathfrak{g}$. Как устроено разложение Жордана–Кронекера пары форм $(f_{\mathcal{A}},f_{\mathcal{B}})$ для двух элементов $\mathcal{A},\mathcal{B}\in\mathfrak{g}$?

Известно, что для пары элементов $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ в общем положении (т.е. из некоторого плотного открытого подмножества в $\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}$) пара форм $(f_{\mathcal{A}},f_{\mathcal{B}})$ имеет только кронекеровы блоки, причём размеры блоков определяются алгеброй $\mathfrak{g}$ (например, для $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$ это $3,5,\dots,2n-1$). Однако уже если только $\mathcal{A}$ — элемент общего положения, а $\mathcal{B}$ произволен, то структура разложения Жордана–Кронекера в общем случае неизвестна.

предыдущий семинар	20 ноября 2015 г.	следующий семинар
Тема 11 Классификация пар кососимметрических билинейных форм Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство, $f$ и $g$ — две кососимметрические билинейные формы на $V$. Им соответствуют линейные отображения $\mathcal{A},\mathcal{B}:V\to V^$ по правилу $$ (\mathcal{A}y)(x)=f(x,y),\qquad(\mathcal{B}y)(x)=g(x,y),\qquad\forall x,y\in V. $$ Матрицы линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}$ в сопряжённых друг другу базисах пространств $V$ и $V^$ совпадают с матрицами билинейных форм $f,g$ в базисе пространства $V$. Группа $GL(V)$ естественным образом действует на билинейных формах на пространстве $V$ и на линейных отображениях $V\to V^$. Задача. Классифицировать пары кососимметрических билинейных форм $f,g$ на пространстве $V$ с точностью до действия группы $GL(V)$. Эквивалентная формулировка: привести матрицы форм $f,g$ (или линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}$) к каноническому виду выбором базиса в пространстве $V$. Решение задачи даёт следующая теорема, восходящая к Жордану и Кронекеру (см. также материалы прошлогоднего семинара). жорданов $$ A_i= \begin{pmatrix} & & & -\lambda & -1 \hphantom-\mathrm{O} & \end{pmatrix}, \qquad B_i= \begin{pmatrix} & & & -1 & & \hphantom-\mathrm{O} & \end{pmatrix}; $$* жорданов $$ A_i= \begin{pmatrix} & & & -1 & & \hphantom-\mathrm{O} & \end{pmatrix}, \qquad B_i= \begin{pmatrix} & & & \hphantom-0 & -1 \hphantom-\mathrm{O} & \end{pmatrix}; $$ кронекеров блок: $$ A_i= \begin{pmatrix} & & -1 & \hphantom-0 \hphantom-\mathrm{O} & \end{pmatrix}, \qquad B_i= \begin{pmatrix} & & \hphantom-0 & -1 \hphantom-\mathrm{O} & \end{pmatrix}. $$ Этот вид bold;">Теорема. базисе пространства $V$ матрицы кососимметрических билинейных форм $f,g$ имеют блочно-диагональный вид $A_i,B_i$ имеют один из следующих видов: блок с собственным значением $\lambda\in\mathbb{C}$: & & & \lambda & \!\!1 & & \!\!\mathrm{O} \\ & \mathrm{O} & & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \!\!1 \\ & & & \mathrm{O} & & & \!\!\lambda \\ & & \!\!\mathrm{O} & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & & & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & & & & \mathrm{O} & \\ & \!\!\!-1 & \!\!\!\!-\lambda & & & & \\ & & & 1 & & & \!\!\mathrm{O} \\ & \mathrm{O} & & & & \!\!\smash\ddots & & \\ & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & \mathrm{O} & & & \!\!1 \\ & & \!\!\mathrm{O} & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & & & & & & \\ & \!\!\!\smash\ddots & & & & \mathrm{O} & \\ & & \!\!\!\!-1 & & & & \\ блок с собственным значением $\infty$: & & & 1 & & & \!\!\mathrm{O} \\ & \mathrm{O} & & & & \!\!\smash\ddots & & \\ & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & \mathrm{O} & & & \!\!1 \\ & & \!\!\mathrm{O} & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & & & & & & \\ & \!\!\!\smash\ddots & & & & \mathrm{O} & \\ & & \!\!\!\!-1 & & & & \\ & & & 0 & \!\!1 & & \!\!\mathrm{O} \\ & \mathrm{O} & & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \!\!1 \\ & & & \mathrm{O} & & & \!\!0 \\ & & \!\!\mathrm{O} & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & & & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & & & & \mathrm{O} & \\ & \!\!\!-1 & \!\!0 & & & & \\ & & 1 & 0 & & \!\!\mathrm{O} \\ & \!\!\mathrm{O} & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\smash\ddots & \\ & & \mathrm{O} & & \!\!1 & \!\!0 \\ & \!\!\hphantom-\mathrm{O} & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & \!\!-1 & & & \mathrm{O} & \\ & \!\!\hphantom-0 & & & & \\ & & 0 & 1 & & \!\!\mathrm{O} \\ & \!\!\mathrm{O} & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\smash\ddots & \\ & & \mathrm{O} & & \!\!0 & \!\!1 \\ & \!\!\!\!\hphantom-\mathrm{O} & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\!\hphantom-0 & & & \mathrm{O} & \\ & \!\!\!\!-1 & & & & \\ пары матриц $A,B$ форм $f,g$ определён однозначно, с точностью до перестановки блоков. Будем называть его разложением Жордана–Кронекера пары кососимметрических билинейных форм. Существование разложения Жордана–Кронекера. Рассмотрим вначале случай, когда форма $g$ невырожденна. Тогда линейное отображение $\mathcal{B}$ осуществляет изоморфизм векторных пространств $V$ и $V^$, посредством которого мы можем эти пространства отождествить. Форме $f$ соответствует линейный оператор $\mathcal{P}=\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}$. Он симметричен относительно формы $g$ (задача 11.1). Предложение 1. В некотором базисе пространства $V$ матрицы оператора $\mathcal{P}$ и формы $g$ имеют блочно-диагональный вид $$ P= \begin{pmatrix} P_1 & & \mathrm{O} \\ & \ddots & \\ \mathrm{O} & & P_s \\ \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} B_1 & & \mathrm{O} \\ & \ddots & \\ \mathrm{O} & & B_s \\ \end{pmatrix}, $$ где блоки $P_i,B_i$ имеют вид $$ P_i= \begin{pmatrix} \lambda & & & \!\!\mathrm{O} & & & & \\ 1 & \!\!\smash\ddots & & & & & \mathrm{O} & \\ & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & & & & & \\ \mathrm{O} & & \!\!\!1 & \!\!\!\!\lambda & & & & \\ & & & & \lambda & \!\!1 & & \!\!\mathrm{O} \\ & & & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & \\ & \mathrm{O} & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \!\!1 \\ & & & & \mathrm{O} & & & \!\!\lambda \\ \end{pmatrix}, \qquad B_i= \begin{pmatrix} & & & & 1 & & & \!\!\mathrm{O} \\ & \mathrm{O} & & & & \!\!\smash\ddots & & \\ & & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & & \mathrm{O} & & & \!\!1 \\ -1 & & & \!\!\mathrm{O} & & & & \\ & \!\!\smash\ddots & & & & & & \\ & & \!\!\!\smash\ddots & & & & \mathrm{O} & \\ \hphantom-\mathrm{O} & & & \!\!\!\!-1 & & & & \\ \end{pmatrix}. $$ Доказательство. Пусть вначале $\mathcal{P}$ нильпотентен. Обозначим его степень нильпотентности через $m$, т.е. $\mathcal{P}^m=0$, $\mathcal{P}^{m-1}\ne0$. Выберем вектор $e_1\in V$, для которого $\mathcal{P}^{m-1}e_1\ne0$, и построим жорданов цикл: $$e_1 \overset{\mathcal{P}}\mapsto e_2 \overset{\mathcal{P}}\mapsto \dots \overset{\mathcal{P}}\mapsto e_m.$$ Пользуясь симметричностью оператора $\mathcal{P}$, легко показать, что $\langle e_1,\dots,e_m\rangle$ — изотропное подпространство относительно формы $g$. Теперь выберем вектор $f_m\in V$, для которого $g(e_i,f_m)=\delta_{im}$. Рассмотрим цепочку векторов $$f_m \overset{\mathcal{P}}\mapsto f_{m-1} \overset{\mathcal{P}}\mapsto \dots \overset{\mathcal{P}}\mapsto f_1.$$ Из симметричности оператора $\mathcal{P}$ легко вывести, что $g(e_i,f_j)=\delta_{ij}$, откуда вытекает, что векторы $f_1,\dots,f_m$ линейно независимы, т.е. тоже образуют жорданов цикл. Как и выше, $\langle f_1,\dots,f_m\rangle$ — изотропное подпространство относительно формы $g$, а органичение формы $g$ на $$V_1=\langle e_1,\dots,e_m,f_1,\dots,f_m\rangle$$ невырожденно. Матрицы оператора $\mathcal{P}$ и формы $g$ в указанном базисе пространства $V_1$ выглядят как указанные в предложении блоки (с $\lambda=0$). Далее переходим к ортогональному дополнению подпространства $V_1$ относительно формы $g$ и завершаем рассуждение индукцией по размерности пространства. В общем случае разложим пространство $V$ в прямую сумму корневых подпространств относительно оператора $\mathcal{P}$: $$V=\bigoplus_{\lambda}V^{\lambda}.$$ Корневые подпространства, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны относительно формы $g$ (задача 11.2). На каждом из корневых подпространств $V^{\lambda}$ оператор $\mathcal{P}-\lambda\mathcal{E}$ симметричен и нильпотентен, и к нему можно применить предыдущее рассуждение. Из предложения 1 вытекает существование разложения Жордана–Кронекера в случае, когда форма $g$ невырожденна. В случае вырожденной формы $g$ существование разложения Жордана–Кронекера вытекает из следующего предложения. Предложение 2. Если форма $g$ вырождена, то существует ортогональное относительно обеих форм $f,g$ разложение $V=V_1\oplus W$, для которого матрицы форм $f,g$ на подпространстве $V_1$ в подходящем базисе образуют жорданов блок с собственным значением $\infty$ или кронекеров блок. Единственность разложения Жордана–Кронекера. Начнём с жордановых блоков. Предложение 3. Набор жордановых блоков определён однозначно, с точностью до перестановки. Доказательство. Предположим вначале, что в разложении нет кронекеровых блоков. Если форма $g$ невырожденна, то единственность набора жордановых блоков вытекает из единственности жордановой нормальной формы оператора $\mathcal{P}$. В вырожденном случае мы можем заменить форму $g$ на $g-cf$, подобрав константу $c\in\mathbb{C}$ так, чтобы полученная форма стала невырожденной. Разложение Жордана–Кронекера пары форм $(f,g-cf)$ определяется по разложению пары $(f,g)$ (задача 11.3), и вопрос сводится к предыдущему случаю. Теперь рассмотрим случай, когда есть кронекеровы блоки. Пусть $U$ — сумма подпространств $\operatorname{Ker}(g-cf)$ по всем $c\in\mathbb{C}$, для которых ранг формы $g-cf$ максимален, а $U^{\perp}$ — его ортогональное дополнение относительно любой из этих форм. Легко видеть, что $U$ равно сумме своих пересечений с подпространствами $$ \langle e_1,\dots,e_m,f_0,\dots,f_m\rangle, $$ отвечающими кронекеровым блокам, и каждое такое пересечение равно $\langle f_0,\dots,f_m\rangle$, а $U^{\perp}$ есть сумма $U$ и подпространства, отвечающего всем жордановым блокам. Поскольку формы $f$ и $g$ равны $0$ на $U$, они корректно определяют кососимметрические билинейные формы на факторпространстве $U^{\perp}/U$. Разложение Жордана–Кронекера этой пары форм уже не содержит кронекеровых блоков, а его жордановы блоки совпадают с таковыми для $f$ и $g$. По доказаннному выше, набор этих блоков определён однозначно. Теперь перейдём к кронекеровым блокам. Рассмотрим пространство $V[t]$ многочленов с векторными коэффициентами из пространства $V$ (или векторов с полиномиальными координатами в базисе пространства $V$). Это бесконечномерное комплексное векторное пространство и свободный модуль ранга $n=\dim V$ над кольцом $\mathbb{C}[t]$. Рассмотрим $\mathbb{C}[t]$-линейное отображение $\mathcal{B}-t\mathcal{A}:V[t]\to V^[t]$. Его ядро $Z\subset V[t]$ состоит из векторнозначных многочленов $v(t)=v_0+tv_1+\dots+t^mv_m$, у которых \begin{align} \mathcal{B}v_0&=0, \\ \mathcal{B}v_1&=\mathcal{A}v_0, \\ &\mathrel\vdots \\ \mathcal{B}v_m&=\mathcal{A}v_{m-1},\\ \mathcal{A}v_m&=0. \\ \end{align} Обозначим через $Z_{\le m}$ подпространство в $Z$, образованное многочленами степени $\le m$. Предложение 4. $\dim Z_{\le m}=\sum_{m_i\le m}(m-m_i+1)$, где $2m_i+1$ — размеры кронекеровых блоков. Эта формула легко следует из того, что многочлены $t^kf_0+t^{k+1}f_1+\dots+t^{k+m_i}f_{m_i}$ образуют базис пространства $Z$. Из предложения 4 ясно, что количество и размеры кронекеровых блоков восстанавливаются по размерностям пространств $Z_{\le m}$ и, стало быть, определены однозначно. Проблема. Пусть $\mathfrak{g}$ — простая алгебра Ли. С любым элементом $\mathcal{A}\in\mathfrak{g}$ можно связать кососимметрическую билинейную форму $$f_{\mathcal{A}}(\mathcal{X},\mathcal{Y})=(\mathcal{A},[\mathcal{X},\mathcal{Y}])$$ на $\mathfrak{g}$. Как устроено разложение Жордана–Кронекера пары форм $(f_{\mathcal{A}},f_{\mathcal{B}})$ для двух элементов $\mathcal{A},\mathcal{B}\in\mathfrak{g}$? Известно, что для пары элементов $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ в общем положении (т.е. из некоторого плотного открытого подмножества в $\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}$) пара форм $(f_{\mathcal{A}},f_{\mathcal{B}})$ имеет только кронекеровы блоки, причём размеры блоков определяются алгеброй $\mathfrak{g}$ (например, для $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$ это $3,5,\dots,2n-1$). Однако уже если только $\mathcal{A}$ — элемент общего положения, а $\mathcal{B}$ произволен, то структура разложения Жордана–Кронекера в общем случае неизвестна. Задачи Задача 11.1. Если форма $g$ невырожденна, то оператор $\mathcal{P}=\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}$ симметричен относительно обеих форм $f$ и $g$. Задача 11.2. Корневые подпространства симметрического (относительно билинейной формы) оператора ортогональны друг другу. Задача 11.3. Пусть $$ \begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \\ \end{vmatrix}\ne0. $$ Тогда у пары форм $(\alpha{f}+\beta{g},\gamma{f}+\delta{g})$ имеется разложение Жордана–Кронекера с такими же кронекеровыми блоками, как у пары $(f,g)$, а жордановы блоки имеют те же размеры, что и для $(f,g)$, но с собственными значениями $$ \frac{\alpha\lambda+\beta}{\gamma\lambda+\delta}, $$ где $\lambda$ — собственное значение соответствующего жорданова блока для пары $(f,g)$. Задача 11.4. $\operatorname{rk}(\alpha{f}+\beta{g})=\text{const}$ по всем $\alpha,\beta\in\mathbb{C}$, не равным $0$ одновременно, тогда и только тогда, когда в разложении Жордана–Кронекера пары форм $(f,g)$ есть только кронекеровы блоки.