Пусть $G\subseteq GL(V)$ — алгебраическая комплексная линейная группа. Выберем максимальный алгебраический тор $T\subseteq G$.

Замечание. Все максимальные торы в $G$ сопряжены — но мы не будем этим пользоваться.

Рассмотрим весовое разложение алгебры Ли $\mathfrak{g}$ относительно присоединённого представления максимального тора $T$: $$ (*)\qquad\qquad\qquad\qquad \mathfrak{g}=\bigoplus_{\alpha\in\mathfrak{X}(T)}\mathfrak{g}_{\alpha}, \qquad\mathfrak{g}_{\alpha}=\{\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\mid\operatorname{Ad}(t)\mathcal{X}=\alpha(t)\mathcal{X},\ \forall t\in T\},\qquad\qquad\qquad\qquad $$ где $\mathfrak{X}(T)$ — группа характеров (т.е. гомоморфизмов в $\mathbb{C}^{\times}$) тора $T$. Групповой операцией в $\mathfrak{X}(T)$ является умножение характеров, однако её принято записывать аддитивно, т.е. $$(\lambda+\mu)(t)=\lambda(t)\mu(t),\qquad\forall\lambda,\mu\in\mathfrak{X}(T),\ t\in T.$$ Отметим, что $$ \mathfrak{g}_{\alpha}=\{\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\mid[\tau,\mathcal{X}]=d\alpha(\tau)\mathcal{X},\ \forall\tau\in\mathfrak{t}\}. $$ Вместо $d\alpha(\tau)$ будем писать $\alpha(\tau)$. Разложение (*) называется корневым разложением алгебры Ли $\mathfrak{g}$ (относительно тора $T$). Ненулевые веса $\alpha$ называются корнями, а соответствующие подпространства $\mathfrak{g}_{\alpha}\ne0$ — корневыми подпространствами.

Очевидно, что $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{t})\supseteq\mathfrak{t}$. По задаче 9.3 $\mathfrak{g}_0$ — алгебраическая подалгебра Ли в $\mathfrak{g}$.

Теорема 1. $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{t}\oplus\operatorname{rad}_n\mathfrak{g}_0$, а если алгебра $\mathfrak{g}$ редуктивна, то $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{t}$.

Доказательство. Всякий полупростой элемент $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}_0$ содержится в $\mathfrak{t}$ (иначе подалгебра $\mathfrak{t}\oplus\mathbb{C}\mathcal{X}$ содержалась бы в торической подалгебре $(\mathfrak{t}\oplus\mathbb{C}\mathcal{X})^a$, большей, чем $\mathfrak{t}$).`

Всякий нильпотентный элемент $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}_0$ ортогонален $\mathfrak{t}$ (так как для любого $\mathcal{Y}\in\mathfrak{t}$ оператор $\mathcal{X}\mathcal{Y}$ нильпотентен и, значит, имеет нулевой след).

Пусть $\mathfrak{r}$ — ортогональное дополнение к $\mathfrak{t}$ в $\mathfrak{g}_0$. Тогда, поскольку скалярное умножение на $\mathfrak{t}$ невырожденно, $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{t}\oplus\mathfrak{r}$.

В силу сказанного выше, для любого $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}_0$ имеем $\mathcal{X}_s\in\mathfrak{t}$, $\mathcal{X}_n\in\mathfrak{r}$. Поэтому $\mathfrak{r}$ состоит из нильпотентных элементов, т.е. $\mathfrak{r}$ — множество всех нильпотентных элементов, а $\mathfrak{t}$ — множество всех полупростых элементов в $\mathfrak{g}_0$, и разложение Жордана в $\mathfrak{g}_0$ задаётся вышеуказанным разложением пространства $\mathfrak{g}_0$ в прямую сумму.

Следовательно, $\operatorname{Ad}(G_0)\mathfrak{r}\subseteq\mathfrak{r}$, откуда следует, что $\mathfrak{r}$ — идеал алгебры $\mathfrak{g}_0$. Поскольку в $\mathfrak{t}$ нет нильпотентных идеалов, $\mathfrak{r}=\operatorname{rad}_n\mathfrak{g}_0$.

В силу задачи 12.2 $\mathfrak{r}\perp\mathfrak{g}_{\alpha}$, $\forall\alpha\ne0$, а по свойству нильрадикала $\mathfrak{r}\perp\mathfrak{g}_0$. Значит, $\mathfrak{r}\perp\mathfrak{g}$. Поэтому, если $\mathfrak{g}$ редуктивна, то $\mathfrak{r}=0$.

Корневое разложение редуктивной алгебры Ли обладает рядом дополнительных свойств:

корневые подпространства $\mathfrak{g}_{\alpha}$ одномерны: $\mathfrak{g}_{\alpha}=\mathbb{C}e_{\alpha}$;
если вес $\alpha$ является корнем, то $-\alpha$ — тоже корень и $(e_{\alpha},e_{-\alpha})\ne0$ (ср. с задачей 12.2);
если $\alpha,\beta$ и $\alpha+\beta$ — корни, то $[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}]=\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}$ (ср. с задачей 12.1);
можно так выбрать $e_{\alpha}$ и $e_{-\alpha}=:f_{\alpha}$, что $h_{\alpha}:=[e_{\alpha},f_{\alpha}]\ne0$ и $\alpha(h_{\alpha})=2$ (тогда элементы $e_{\alpha},f_{\alpha},h_{\alpha}$ образуют $\mathfrak{sl}_2$-тройку);
если алгебра $\mathfrak{g}$ полупроста, то элементы $h_{\alpha}$ порождают $\mathfrak{t}$ как векторное пространство.

Теорема 2. Полупростая алгебра Ли однозначно, с точностью до изоморфизма, определяется своей системой корней.

Пример. Рассмотрим группу $G=GL_n$. Подгруппа $T$ всех (невырожденных) диагональных матриц является её максимальным тором. Её касательная алгебра Ли $\mathfrak{t}$ состоит из всех диагональных матриц. Корневое разложение имеет вид $$\mathfrak{gl}_n=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{i\ne j}\mathbb{C}E_{ij},$$ где $E_{ij}$ — матричные единицы. Корни имеют вид $\alpha_{ij}=\varepsilon_i-\varepsilon_j$, где $\varepsilon_i$ — $i$-й диагональный элемент диагональной матрицы.

Аналогично устроено корневое разложение для группы $SL_n$.

Рассмотрим другие классические группы — ортогональную группу $O_n$ (или $SO_n$) и симплектическую группу $Sp_n$ (при чётном $n$). Для описания корневых разложений их касательных алгебр Ли $\mathfrak{so}_n$, $\mathfrak{sp}_n$ удобно выбрать базис, в котором все диагональные матрицы, содержащиеся в данной группе (алгебре) Ли, образуют максимальный тор (максимальную торическую подалгебру). Таким будет базис, в котором матрица билинейной формы, которую сохраняет данная группа, имеет вид $$ \begin{pmatrix} & & & & 1 \\ & \mathrm{O} & & 1 & \\ & & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & & \\ & 1 & & \mathrm{O} & \\ 1 & & & & \\ \end{pmatrix} \quad\text{и}\quad \begin{pmatrix} & & & & 1 \\ & \mathrm{O} & & 1 & \\ & & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & & \\ & -1 & & \mathrm{O} & \\ -1 & & & & \\ \end{pmatrix}, $$ соответственно (задача 12.4).

предыдущий семинар	27 ноября 2015 г.	следующий семинар
Тема 12 Корневое разложение алгебраической алгебры Ли Пусть $G\subseteq GL(V)$ — алгебраическая комплексная линейная группа. Выберем максимальный алгебраический тор $T\subseteq G$. Замечание. Все максимальные торы в $G$ сопряжены — но мы не будем этим пользоваться. Рассмотрим весовое разложение алгебры Ли $\mathfrak{g}$ относительно присоединённого представления максимального тора $T$: $$ ()\qquad\qquad\qquad\qquad \mathfrak{g}=\bigoplus_{\alpha\in\mathfrak{X}(T)}\mathfrak{g}_{\alpha}, \qquad\mathfrak{g}_{\alpha}=\{\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\mid\operatorname{Ad}(t)\mathcal{X}=\alpha(t)\mathcal{X},\ \forall t\in T\},\qquad\qquad\qquad\qquad $$ где $\mathfrak{X}(T)$ — группа характеров* (т.е. гомоморфизмов в $\mathbb{C}^{\times}$) тора $T$. Групповой операцией в $\mathfrak{X}(T)$ является умножение характеров, однако её принято записывать аддитивно, т.е. $$(\lambda+\mu)(t)=\lambda(t)\mu(t),\qquad\forall\lambda,\mu\in\mathfrak{X}(T),\ t\in T.$$ Отметим, что $$ \mathfrak{g}_{\alpha}=\{\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\mid[\tau,\mathcal{X}]=d\alpha(\tau)\mathcal{X},\ \forall\tau\in\mathfrak{t}\}. $$ Вместо $d\alpha(\tau)$ будем писать $\alpha(\tau)$. Разложение () называется корневым разложением* алгебры Ли $\mathfrak{g}$ (относительно тора $T$). Ненулевые веса $\alpha$ называются корнями, а соответствующие подпространства $\mathfrak{g}_{\alpha}\ne0$ — корневыми подпространствами. Очевидно, что $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{t})\supseteq\mathfrak{t}$. По задаче 9.3 $\mathfrak{g}_0$ — алгебраическая подалгебра Ли в $\mathfrak{g}$. Теорема 1. $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{t}\oplus\operatorname{rad}_n\mathfrak{g}_0$, а если алгебра $\mathfrak{g}$ редуктивна, то $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{t}$. Доказательство. Всякий полупростой элемент $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}_0$ содержится в $\mathfrak{t}$ (иначе подалгебра $\mathfrak{t}\oplus\mathbb{C}\mathcal{X}$ содержалась бы в торической подалгебре $(\mathfrak{t}\oplus\mathbb{C}\mathcal{X})^a$, большей, чем $\mathfrak{t}$).` Всякий нильпотентный элемент $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}_0$ ортогонален $\mathfrak{t}$ (так как для любого $\mathcal{Y}\in\mathfrak{t}$ оператор $\mathcal{X}\mathcal{Y}$ нильпотентен и, значит, имеет нулевой след). Пусть $\mathfrak{r}$ — ортогональное дополнение к $\mathfrak{t}$ в $\mathfrak{g}_0$. Тогда, поскольку скалярное умножение на $\mathfrak{t}$ невырожденно, $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{t}\oplus\mathfrak{r}$. В силу сказанного выше, для любого $\mathcal{X}\in\mathfrak{g}_0$ имеем $\mathcal{X}_s\in\mathfrak{t}$, $\mathcal{X}_n\in\mathfrak{r}$. Поэтому $\mathfrak{r}$ состоит из нильпотентных элементов, т.е. $\mathfrak{r}$ — множество всех нильпотентных элементов, а $\mathfrak{t}$ — множество всех полупростых элементов в $\mathfrak{g}_0$, и разложение Жордана в $\mathfrak{g}_0$ задаётся вышеуказанным разложением пространства $\mathfrak{g}_0$ в прямую сумму. Следовательно, $\operatorname{Ad}(G_0)\mathfrak{r}\subseteq\mathfrak{r}$, откуда следует, что $\mathfrak{r}$ — идеал алгебры $\mathfrak{g}_0$. Поскольку в $\mathfrak{t}$ нет нильпотентных идеалов, $\mathfrak{r}=\operatorname{rad}_n\mathfrak{g}_0$. В силу задачи 12.2 $\mathfrak{r}\perp\mathfrak{g}_{\alpha}$, $\forall\alpha\ne0$, а по свойству нильрадикала $\mathfrak{r}\perp\mathfrak{g}_0$. Значит, $\mathfrak{r}\perp\mathfrak{g}$. Поэтому, если $\mathfrak{g}$ редуктивна, то $\mathfrak{r}=0$. Корневое разложение редуктивной алгебры Ли обладает рядом дополнительных свойств: корневые подпространства $\mathfrak{g}_{\alpha}$ одномерны: $\mathfrak{g}_{\alpha}=\mathbb{C}e_{\alpha}$; если вес $\alpha$ является корнем, то $-\alpha$ — тоже корень и $(e_{\alpha},e_{-\alpha})\ne0$ (ср. с задачей 12.2); если $\alpha,\beta$ и $\alpha+\beta$ — корни, то $[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}]=\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}$ (ср. с задачей 12.1); можно так выбрать $e_{\alpha}$ и $e_{-\alpha}=:f_{\alpha}$, что $h_{\alpha}:=[e_{\alpha},f_{\alpha}]\ne0$ и $\alpha(h_{\alpha})=2$ (тогда элементы $e_{\alpha},f_{\alpha},h_{\alpha}$ образуют $\mathfrak{sl}_2$-тройку); если алгебра $\mathfrak{g}$ полупроста, то элементы $h_{\alpha}$ порождают $\mathfrak{t}$ как векторное пространство. Теорема 2. Полупростая алгебра Ли однозначно, с точностью до изоморфизма, определяется своей системой корней. Пример. Рассмотрим группу $G=GL_n$. Подгруппа $T$ всех (невырожденных) диагональных матриц является её максимальным тором. Её касательная алгебра Ли $\mathfrak{t}$ состоит из всех диагональных матриц. Корневое разложение имеет вид $$\mathfrak{gl}_n=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{i\ne j}\mathbb{C}E_{ij},$$ где $E_{ij}$ — матричные единицы. Корни имеют вид $\alpha_{ij}=\varepsilon_i-\varepsilon_j$, где $\varepsilon_i$ — $i$-й диагональный элемент диагональной матрицы. Аналогично устроено корневое разложение для группы $SL_n$. Рассмотрим другие классические группы — ортогональную группу $O_n$ (или $SO_n$) и симплектическую группу $Sp_n$ (при чётном $n$). Для описания корневых разложений их касательных алгебр Ли $\mathfrak{so}_n$, $\mathfrak{sp}_n$ удобно выбрать базис, в котором все диагональные матрицы, содержащиеся в данной группе (алгебре) Ли, образуют максимальный тор (максимальную торическую подалгебру). Таким будет базис, в котором матрица билинейной формы, которую сохраняет данная группа, имеет вид $$ \begin{pmatrix} & & & & 1 \\ & \mathrm{O} & & 1 & \\ & & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & & \\ & 1 & & \mathrm{O} & \\ 1 & & & & \\ \end{pmatrix} \quad\text{и}\quad \begin{pmatrix} & & & & 1 \\ & \mathrm{O} & & 1 & \\ & & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & & \\ & -1 & & \mathrm{O} & \\ -1 & & & & \\ \end{pmatrix}, $$ соответственно (задача 12.4). Задачи Задача 12.1. $[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}]\subseteq\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}$. Задача 12.2. $(\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta})=0$ при $\alpha+\beta\ne0$. Задача 12.3. Пусть $\mathcal{R}:G\to GL(W)$ — линейное представление алгебраической группы $G$, и в пространстве $W$ заданы два подпространства $W_1\subseteq W_2\subseteq W$. Тогда $$H=\{g\in G\mid(\mathcal{R}(g)-\mathcal{E})W_2\subseteq W_1\}$$ есть алгебраическая подгруппа группы $G$, а её касательная алгебра Ли есть $$\mathfrak{h}=\{\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\mid d\mathcal{R}(\mathcal{X})W_2\subseteq W_1\}$$ (ср. с задачей 9.3). Задача 12.4. Доказать, что в базисе, в котором матрица билинейной формы, сохраняемой группой $G$, имеет антидиагональный вид, подгруппа диагональных матриц является максимальным тором в $G$, и найти корневое разложение алгебры Ли $\mathfrak{g}$ относительно этого тора а) для $G=SO_n$, б) для $G=Sp_n$.