предыдущий семинар 4 декабря 2015 г. следующий семинар

Тема 13

Теорема Морозова–Джекобсона

Напомним структуру алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$. При любом линейном представлении алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ её базисные элементы $E_+$ и $E_-$ представляются нильпотентными операторами, а элемент $H$ — полупростым оператором с целыми собственными значениями.

Определение. Тройка $e,f,h$ элементов алгебры Ли $\mathfrak{g}$ называется $\mathfrak{sl}_2$-тройкой, если она является образом тройки $E_+,E_-,H$ при ненулевом гомоморфизме $\mathfrak{sl}_2\to\mathfrak{g}$, т.е. если $$[h,e]=2e,\qquad[h,f]=-2f,\qquad[e,f]=h,$$ и не все элементы $e,f,h$ равны $0$.

Теорема Морозова–Джекобсона. Всякий нильпотентный элемент $e$ редуктивной линейной алгебры Ли $\mathfrak{g}\subseteq\mathfrak{gl}(V)$ может быть включён в $\mathfrak{sl}_2$-тройку.

Для $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}(V)$ эта теорема рассматривалась раньше (задача 5.4 а).

Доказательство. Во-первых, элемент $e$ ортогонален своему централизатору $\mathfrak{z}(e)$ (поскольку для любого $\mathcal{X}\in\mathfrak{z}(e)$ оператор $\mathcal{X}e$ нильпотентен и, значит, имеет нулевой след). Так как $\mathfrak{z}(e)^{\perp}=[\mathfrak{g},e]$ (задача 8.9 а), то существует такой элемент $h\in\mathfrak{g}$, что $[h,e]=2e$.

Покажем, что этот элемент $h$ может быть выбран лежащим в $[\mathfrak{g},e]$ (т.е. ортогональным $\mathfrak{z}(e)$).

Пусть $G\subseteq GL(V)$ — алгебраическая линейная группа с касательной алгеброй Ли $\mathfrak{g}$. Рассмотрим в ней алгебраические подгруппы \begin{align} Z(e)&=\{\mathcal{A}\in G\mid\operatorname{Ad}(\mathcal{A})e=e\}, \\ N(e)&=\{\mathcal{A}\in G\mid\operatorname{Ad}(\mathcal{A})e\in\mathbb{C}e\}.\\ \end{align} Очевидно, что $Z(e)\lhd N(e)$, и касательные алгебры Ли этих подгрупп суть $\mathfrak{z}(e)$ и $$ \mathfrak{n}(e)=\{\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\mid[\mathcal{X},e]\in\mathbb{C}e\}=\mathbb{C}h\oplus\mathfrak{z}(e), $$ соответственно. Отсюда следует, что $\mathfrak{z}(e)\supseteq[\mathfrak{n}(e),\mathfrak{n}(e)]$.

Пусть $T$ — максимальный тор в $N(e)$, с касательной алгеброй Ли $\mathfrak{t}\subset\mathfrak{n}(e)$. Рассмотрим корневое разложение алгебры Ли $\mathfrak{n}(e)$ относительно тора $T$: $$ \mathfrak{n}(e)=\mathfrak{n}(e)_0\oplus\bigoplus_{\alpha\ne0}\mathfrak{n}(e)_{\alpha}. $$ Для любого $\alpha\ne0$ имеем $$ \mathfrak{n}(e)_{\alpha}=[\mathfrak{t},\mathfrak{n}(e)_{\alpha}]\subseteq[\mathfrak{n}(e),\mathfrak{n}(e)]\subseteq\mathfrak{z}(e). $$ Согласно доказанному ранее, $\mathfrak{n}(e)_0=\mathfrak{t}\oplus\mathfrak{r}$, где $\mathfrak{r}=\operatorname{rad}_n\mathfrak{n}(e)_0$. Так как $\mathfrak{r}$ состоит из нильпотентных операторов, $\operatorname{ad}(\mathfrak{r})$ тоже состоит из нильпотентных операторов (задача 7.4 б), и поэтому $\mathfrak{r}\subseteq\mathfrak{z}(e)$. Следовательно, $$ \mathfrak{z}(e)=\mathfrak{t}_0\oplus\mathfrak{r}\oplus\bigoplus_{\alpha\ne0}\mathfrak{n}(e)_{\alpha}, $$ где $\mathfrak{t}_0=\mathfrak{t}\cap\mathfrak{z}(e)$ — касательная алгебра Ли квазитора $T\cap Z(e)$.

Выберем ненулевой элемент $h\in\mathfrak{t}$, ортогональный $\mathfrak{t}_0$. Так как скалярное умножение на $\mathfrak{t}_0$ невырожденно (задача 8.4), то $h\notin\mathfrak{t}_0$. Кроме того, $h$ ортогонален $\mathfrak{r}$ и всем $\mathfrak{n}(e)_{\alpha}$, $\forall\alpha\ne0$ (задача 12.2). Поэтому $h\in\mathfrak{n}(e)\setminus\mathfrak{z}(e)$ и $h\perp\mathfrak{z}(e)$. Домножив $h$ на скаляр, можно добиться $[h,e]=2e$. При указанном выборе элемента $h$ получаем, что существует такой элемент $f\in\mathfrak{g}$, что $h=[e,f]$.

Так как $h$ полупрост, оператор $\operatorname{ad}(h)$ тоже полупрост (задача 7.4 б). Разложим $\mathfrak{g}$ в прямую сумму собственных подпространств относительно $\operatorname{ad}(h)$: $$ \mathfrak{g}=\bigoplus_{\lambda}\mathfrak{g}_{\lambda},\qquad \mathfrak{g}_{\lambda}=\{\mathcal{X}\in\mathfrak{g}\mid[h,\mathcal{X}]=\lambda\mathcal{X}\}. $$ При этом $[\mathfrak{g}_{\lambda},\mathfrak{g}_{\mu}]\subseteq\mathfrak{g}_{\lambda+\mu}$ (ср. с задачей 12.1), $h\in\mathfrak{g}_0$, $e\in\mathfrak{g}_2$.

Пусть $f=\sum_{\lambda}f_{\lambda}$, где $f_{\lambda}\in\mathfrak{g}_{\lambda}$. Тогда из $$h=[e,f]=\sum_{\lambda}[e,f_{\lambda}]$$ следует, что $[e,f_{-2}]=h$ и $[e,f_{\lambda}]=0$ при $\lambda\ne-2$. Заменив $f$ на $f_{-2}$, можно добиться равенства $[h,f]=-2f$, не нарушив соотношения $[e,f]=h$.


Задачи

Задача 13.1. Всякая $\mathfrak{sl}_2$-тройка линейно независима.

Задача 13.2. Элемент $f$ в $\mathfrak{sl}_2$-тройке однозначно определяется по $e$ и $h$.

Задача 13.3. Элемент $h$ в $\mathfrak{sl}_2$-тройке однозначно определяется по $e$, с точностью до действия группы $\operatorname{Ad}Z(e)$.