предыдущий семинар 11 декабря 2015 г. следующий семинар

Тема 14

Индексы Кронекера пары кососимметрических билинейных форм

Для каждой пары кососимметрических билинейных форм $f,g$ в комплексном векторном пространстве $V$ существует базис, в котором матрицы форм $f$ и $g$ одноверменно приводятся к блочно-диагональному виду с блоками двух типов: жордановыми и кронекеровыми. Размеры жордановых блоков чётны, а кронекеровых — нечётны. Если размеры кронекеровых блоков суть $2m_1+1,\dots,2m_r+1$, то числа $m_1,\dots,m_r$ называются индексами Кронекера пары форм $(f,g)$. Опишем алгоритм их нахождения, основываясь на материалах семинара 11 (см. также материалы прошлогоднего семинара).

Будем рассматривать формы $f$ и $g$ как линейные отображения $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ (соответственно) из пространства $V$ в сопряжённое пространство $V^*$. Отображения $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ продолжаются до гомоморфизмов свободных $\mathbb{C}[t]$-модулей $V[t]\to V^*[t]$ и до линейных отображений векторных пространств $V(t)\to V^*(t)$ над полем $\mathbb{C}(t)$, где $$ W[t]=W\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[t]\quad\text{и}\quad W(t)=W\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}(t) $$ — пространства векторнозначных многочленов и рациональных функций, принимающих значения в векторном пространстве $W$.

Заметим, что $Z=\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})\subset V[t]$ — свободный подмодуль с базисом из многочленов $$f_0+tf_1+\dots+t^{m_i}f_{m_i},\qquad i=1,\dots,r,$$ где $f_0,f_1,\dots,f_{m_i}$ — "вторая половина" базисных векторов подпространства в $V$, отвечающего $i$-му кронекерову блоку. Степени этих многочленов равны индексам Кронекера пары $(f,g)$.

Это, однако, ещё не даёт способа нахождения индексов Кронекера, так как степени многочленов, составляющих базис модуля $Z$, зависят от выбора базиса. Поэтому надо научиться выбирать какие-то "правильные" базисы. Заметим, что совокупность всех коэффициентов многочленов из построенного выше базиса модуля $Z$ линейно независима (над $\mathbb{C}$).

Определение 1. Базис подмодуля $M\subset V[t]$ называется минимальным, если совокупность старших коэффициентов составляющих его многочленов линейно независима.

Задача 14.1 гарантирует существование минимальных базисов и независимость набора степеней базисных многочленов от выбора минимального базиса, а её решение даёт способ построения минимального базиса, исходя из произвольного базиса подмодуля $M$. Но как найти хотя бы один базис?

Определение 2. Подмодуль $M\subset V[t]$ называется примитивным, если из $f(t)v(t)\in M$ (где $v(t)\in V[t]$, $f(t)\in\mathbb{C}[t]$, $f(t)\ne0$) следует, что $v(t)\in M$.

Очевидно, что ядро гомоморфизма свободных $\mathbb{C}[t]$-модулей (в частности, $Z=\operatorname{Ker}(\mathcal{B}-t\mathcal{A})$) является примитивным подмодулем.

Решая соответствующую систему однородных линейных уравнений над полем $\mathbb{C}(t)$, мы можем найти базис ядра линейного отображения $\mathcal{B}-t\mathcal{A}:V(t)\to V^*(t)$. Умножив элементы этого базиса на общий знаменатель их координат, мы можем добиться, чтобы все они принадлежали $V[t]$. Условие, гарантирующее, что эти элементы составляют базис подмодуля $Z$, содержится в задаче 14.2. Его выполнения можно добиться, прибавляя к одним базисным элементам другие с полиномиальными коэффициентами и сокращая их координаты на общий делитель.


Задачи

Задача 14.1. а) Любой подмодуль $M\subset V[t]$ обладает минимальным базисом.
б) Степени многочленов, составляющих этот базис, определены однозначно.

Задача 14.2. Пусть $M\subset V[t]$ — примитивный подмодуль ранга $r$. Элементы $v_1(t),\dots,v_r(t)\in M$ составляют базис модуля $M$ тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель миноров порядка $r$ матрицы их координат в базисе пространства $V$ равен $1$.

Задача 14.3. Если старшие коэффициенты многочленов $v_1(t),\dots,v_r(t)\in V[t]$ линейно независимы над $\mathbb{C}$, то сами многочлены $v_1(t),\dots,v_r(t)$ линейно независимы над $\mathbb{C}[t]$ (или над $\mathbb{C}(t)$, что эквивалентно).