Пусть $\mathfrak{g}$ — редуктивная алгебра Ли. С каждым элементом $a\in\mathfrak{g}$ связана кососимметрическая билинейная форма $f=f_a$ на $\mathfrak{g}$, задаваемая формулой $$f(x,y)=(a,[x,y])=([a,x],y)=-(x,[a,y])\qquad(x,y\in\mathfrak{g}),$$ где $(\cdot,\cdot)$ — каноническое скалярное умножение на $\mathfrak{g}$ (последние два равенства следуют из инвариантности скалярного умножения). Из формулы видно, что, если отождествить пространства $\mathfrak{g}$ и $\mathfrak{g}^*$ с помощью скалярного умножения, то форме $f$ соответствует (кососимметрический) оператор $\mathcal{A}=-\operatorname{ad}(a)$. Ядро формы $f$ совпадает с ядром оператора $\operatorname{ad}(a)$, т.е. с централизатором $\mathfrak{z}(a)$ элемента $a$ в алгебре $\mathfrak{g}$.

Пусть теперь $a$ и $b$ — два элемента алгебры $\mathfrak{g}$, а $f$ и $g$ — соответствующие им кососимметрические билинейные формы. Индексы Кронекера пары $(f,g)$ назовём индексами Кронекера пары $(a,b)$.

Продолжим формы $f$ и $g$ до билинейных (над $\mathbb{C}[t]$) кососимметрических форм на $\mathbb{C}[t]$-алгебре Ли $\mathfrak{g}[t]=\mathfrak{g}\otimes\mathbb{C}[t]$ и рассмотрим кососимметрическую билинейную форму $g-tf$ на $\mathfrak{g}[t]$. По доказанному на предыдущем семинаре, индексы Кронекера пары $(f,g)$ — это степени многочленов минимального базиса $\mathbb{C}[t]$-модуля $\operatorname{Ker}(g-tf)\subset\mathfrak{g}[t]$. Согласно предыдущему, $\operatorname{Ker}(g-tf)=\mathfrak{z}(b-ta)$ (централизатор в $\mathfrak{g}[t]$).

Таким образом, индексы Кронекера пары $(a,b)$ — это степени многочленов минимального базиса централизатора $\mathfrak{z}(b-ta)$ элемента $b-ta$ в алгебре Ли $\mathfrak{g}[t]$.

Рассмотрим теперь случай, когда $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$.

Напомним, что матрица $X\in\mathfrak{gl}_n(K)$ ($K$ — любое поле) называется регулярной, если размерность её централизатора $\mathfrak{z}(X)$ минимальна, а именно, равна $n$, и в этом случае $$\mathfrak{z}(X)=\langle E,X,X^2,\dots,X^{n-1}\rangle.$$

Пусть матрицы $A,B\in\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$ таковы, что матрица $B-tA$ (рассматриваемая как матрица из $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C}(t))$) регулярна. Тогда матрицы $$ (*)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad E,B-tA,(B-tA)^2,\dots,(B-tA)^{n-1} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad $$ составляют базис централизатора матрицы $B-tA$ в алгебре $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C}(t))$ матриц над полем $\mathbb{C}(t)$. По задаче 15.1, матрица $B-t_0A$ регулярна для всех $t_0\in\mathbb{C}$, кроме конечного числа.

Предположим теперь, что $B-t_0A$ регулярна при всех $t_0\in\mathbb{C}$. Тогда матрицы (*) составляют базис $\mathbb{C}[t]$-подмодуля $\mathfrak{z}(B-tA)\subset\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C}[t])$ согласно задаче 14.2. В самом деле, их количество равно рангу этого подмодуля, а наибольший общий делитель миноров порядка $n$ матрицы их координат в базисе из матричных единиц равен $1$ (поскольку иначе это был бы многочлен положительной степени, имеющий корень $t_0\in\mathbb{C}$, и матрица $B-t_0A$ не была бы регулярной).

Если ещё и матрица $A$ регулярна, то старшие коэффициенты матричных многочленов (*) линейно независимы, и, значит, этот базис является минимальным. Тем самым доказана

Теорема. Если любая нетривиальная линейная комбинация матриц $A,B\in\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$ регулярна, то индексы Кронекера пары $(A,B)$ равны $0,1,2,\dots,n-1$.

Аналогичная теорема может быть доказана для любой редуктивной алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Известно, что алгебра $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G$ многочленов от координат на пространстве $\mathfrak{g}$, инвариантных относительно присоединённого представления соответствующей редуктивной алгебраической группы $G$, порождается алгебраически независимыми многочленами $f_1,\dots,f_r$, где $r$ — размерность максимальной торической подалгебры в $\mathfrak{g}$ (называемая рангом алгебры $\mathfrak{g}$). Для алгебры Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$ эти инварианты описаны в задаче 15.3. Индексами Кронекера пары элементов $a,b\in\mathfrak{g}$, любая нетривиальная линейная комбинация которых регулярна (т.е. её централизатор имеет наименьшую возможную размерность $r$), будут числа $m_i=\deg f_i-1$ (называемые экспонентами алгебры Ли $\mathfrak{g}$).

Отметим, что в условиях доказанной теоремы пара кососимметрических билинейных форм $f,g$, соответствующих матрицам $A,B$, является кронекеровой, т.е. в её разложении Жордана–Кронекера отсутствуют жордановы блоки (задача 11.4). "Подавляющее большинство" пар $(A,B)$ (точнее, плотное открытое подмножество в пространстве $\mathfrak{gl}_n\oplus\mathfrak{gl}_n$) удовлетворяет условиям теоремы. Конкретные примеры таких пар указаны в задаче 15.2. То же верно для любой редуктивной алгебры Ли $\mathfrak{g}$.

Проблема. Найти индексы Кронекера пары матриц $A,B\in\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$ в предположении, что матрица $B-t_0A$ регулярна при любом $t_0\in\mathbb{C}$ (но матрица $A$ не обязательно регулярна).

Аналогичная проблема может быть поставлена для любой редуктивной алгебры Ли.

Задача 15.1. Для пары матриц $A,B\in\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$ матрица $B-tA\in\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C}(t))$ регулярна тогда и только тогда, когда существует такое $t_0\in\mathbb{C}$, что матрица $B-t_0A\in\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$ регулярна. В этом случае матрица $B-t_0A$ регулярна для всех $t_0\in\mathbb{C}$, кроме конечного числа.

Задача 15.2. Пара матриц $(A,B)$, где $$ A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \mathrm{O} \\ & \!\!\smash\ddots & \!\!\smash\ddots & \\ & & \!\!\smash\ddots & 1 \\ \mathrm{O} & & & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad\text{а}\quad B= \begin{pmatrix} b_0\;\;\; & & & \mathrm{O} \\ b_1\;\;\; & \!\!\!\!\!\!\smash\ddots & & \\ \!\!\smash\ddots & \!\!\!\!\!\!\smash\ddots & \!\!\smash\ddots & \\ b_{n-1} & \!\!\!\!\!\!\smash\ddots & b_1 & b_0 \\ \end{pmatrix} $$ — матрица из $\mathfrak{z}(A^{\top})$, причём $b_1\ne0$, удовлетворяет условиям теоремы.

Задача 15.3. Алгебра $\mathbb{C}[\mathfrak{gl}_n]^{GL_n}$ инвариантов присоединённого представления группы $GL_n(\mathbb{C})$ порождается коэффициентами $f_1,\dots,f_n$ характеристического многочлена матрицы, которые удобно брать со знаком, так что $$\det(tE-X)=t^n-f_1(X)t^{n-1}+f_2(X)t^{n-2}-\dots+(-1)^nf_n(X)$$ (например, $f_1(x)=\operatorname{tr}(X)$, а $f_n(x)=\det(X)$). При этом многочлены $f_1,\dots,f_n$ алгебраически независимы.