Конструкция некоторых классических линейных групп Ли связана с телом кватернионов.

Алгебра кватернионов $\mathbb{H}$ — это 4-мерная алгебра над $\mathbb{R}$ с базисом $\{1,\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$ и таблицей умножения \begin{gather} \boldsymbol{i}^2=\boldsymbol{j}^2=\boldsymbol{k}^2=-1,\\ \boldsymbol{i}\boldsymbol{j}=-\boldsymbol{j}\boldsymbol{i}=\boldsymbol{k},\\ \boldsymbol{j}\boldsymbol{k}=-\boldsymbol{k}\boldsymbol{j}=\boldsymbol{i},\\ \boldsymbol{k}\boldsymbol{i}=-\boldsymbol{i}\boldsymbol{k}=\boldsymbol{j}.\\ \end{gather} Это ассоциативная алгебра с единицей.

Вещественная часть кватерниона определяется формулой $$\operatorname{Re}(a+b\boldsymbol{i}+c\boldsymbol{j}+d\boldsymbol{k})=a\qquad(a,b,c,d\in\mathbb{R}).$$ Алгебра $\mathbb{H}$ не коммутативна, но легко видеть, что $$\operatorname{Re}(pq)=\operatorname{Re}(qp),\qquad\forall p,q\in\mathbb{H}.$$

Кватернионное сопряжение $$q=a+b\boldsymbol{i}+c\boldsymbol{j}+d\boldsymbol{k}\mapsto\bar{q}=a-b\boldsymbol{i}-c\boldsymbol{j}-d\boldsymbol{k}$$ — инволютивный антиавтоморфизм, т.е. $\overline{pq}=\bar{q}\bar{p}$ (достаточно проверить это для базисных векторов).

Норма кватерниона $q=a+b\boldsymbol{i}+c\boldsymbol{j}+d\boldsymbol{k}$ определяется формулой $$N(q)=q\bar{q}=a^2+b^2+c^2+d^2.$$ Если $q\ne0$, то $N(q)>0$, и существует обратный кватернион $q^{-1}=\bar{q}/N(q)$. Таким образом, $\mathbb{H}$ — алгебра с делением (тело).

Теорема Фробениуса. Всякая конечномерная ассоциативная алгебра с делением над $\mathbb{R}$ изоморфна $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ или $\mathbb{H}$.

Легко видеть, что $$N(pq)=N(p)N(q),\qquad\forall p,q\in\mathbb{H}.$$

Норма кватерниона есть положительно определённая квадратичная форма. Приняв её за скалярный квадрат вектора, мы можем рассматривать $\mathbb{H}$ как 4-мерное евклидово пространство. Подпространство $$\mathbb{H}_0=\{q\in\mathbb{H}\mid\operatorname{Re}(q)=0\}=\langle\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\rangle$$ есть ортогональное дополнение к $\mathbb{R}=\mathbb{R}\cdot1$.

Кватернионы с нормой $1$ образуют группу по умножению, обозначаемую через $S\mathbb{H}$. Это сфера в 4-мерном евклидовом пространстве $\mathbb{H}$. Из задачи 16.1 следует, что $S\mathbb{H}\simeq SU_2$.

Для всякого $q\in S\mathbb{H}$ линейное преобразование $$\Phi(q):x\mapsto qxq^{-1}$$ пространства $\mathbb{H}_0$ является ортогональным. Отображение $$\Phi:S\mathbb{H}\to O(\mathbb{H}_0)\simeq O_3$$ является гомоморфизмом групп Ли. Так как группа Ли $S\mathbb{H}$ связна, $\operatorname{Im}\Phi\subseteq SO_3$. Поскольку $\operatorname{Ker}\Phi=\{\pm1\}$ (задача 16.2), гомоморфизм $\Phi$ является накрытием связных групп Ли одинаковой размерности $\dim S\mathbb{H}=\dim SO_3=3$ и поэтому сюръективен: $\operatorname{Im}\Phi=SO_3$. Таким образом, $$SO_3\simeq S\mathbb{H}/\{\pm1\}\simeq SU_2/\{\pm E\}.$$

Аналогичным образом можно рассмотреть отображение \begin{gather} \Psi: S\mathbb{H}\times S\mathbb{H}\to O(\mathbb{H})\simeq O_4, \\ \Psi(p,q): x\mapsto pxq^{-1}\quad(x\in\mathbb{H}). \end{gather} Из соображений связности $\operatorname{Im}\Psi\subseteq SO_4$, а поскольку $\operatorname{Ker}\Psi=\{(1,1),(-1,-1)\}$ (задача 16.3) и $\dim(S\mathbb{H}\times S\mathbb{H})=\dim SO_4=6$, то $\operatorname{Im}\Psi=SO_4$. Таким образом, $$SO_4\simeq(S\mathbb{H}\times S\mathbb{H})/\{(1,1),(-1,-1)\}\simeq(SU_2\times SU_2)/\{(E,E),(-E,-E)\}.$$

Векторные пространства над телом определяются так же, как и над полем, за исключением одного нюанса: следует различать правые и левые векторные пространства. В правом (левом) векторном пространстве скалярный множитель пишется справа (слева) от вектора, и выполняется аксиома ассоциативности $$x(\lambda\mu)=(x\lambda)\mu\qquad(\text{соответственно }(\lambda\mu)x=\lambda(\mu x)).$$ Будем рассматривать правые векторные пространства. Линейная зависимость и базис векторного пространства над телом определяются так же, как над полем. Так же доказывается, что все базисы конечномерного векторного пространства над телом состоят из одного и того же числа векторов, называемого размерностью пространства.

Матрица $A=(a_{ij})$ линейного оператора $\mathcal{A}$ в базисе $(e_1,\dots,e_n)$ определяется по обычной формуле: $$\mathcal{A}e_j=\sum_ie_ia_{ij}.$$ При переходе к другому базису $$e_j'=\sum_ie_ic_{ij}$$ она преобразуется по формуле $A'=C^{-1}AC$, где $C=(c_{ij})$ — матрица перехода от одного базиса к другому.

Всякое $n$-мерное векторное пространство над $\mathbb{H}$ можно рассматривать как $2n$-мерное векторное пространство над $\mathbb{C}$ или $4n$-мерное векторное пространство над $\mathbb{R}$.

Обратимые кватернионные матрицы порядка $n$ образуют группу, обозначаемую через $GL_n(\mathbb{H})$. Её можно рассматривать как подгруппу в $GL_{2n}(\mathbb{C})$ или в $GL_{4n}(\mathbb{R})$ (см. задачу 16.6).

Для групп $GL_n(K)$, где $K$ — поле, имеется гомоморфизм $$\det:GL_n(K)\to K^{\times},$$ ядро которого обозначается через $SL_n(K)$. Поскольку группа $K^{\times}$ коммутативна, $SL_n(K)\supseteq(GL_n(K),GL_n(K))$. На самом деле здесь имеет место равенство (за одним исключением). Для $K=\mathbb{R},\mathbb{C}$ это можно доказать, перейдя к алгебрам Ли (см. задачу 16.7).

Существует ли аналог определителя для кватернионной матрицы? Из описания коммутанта алгебры Ли $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{H})$ (задача 16.8) следует, что имеется гомоморфизм алгебр Ли $$\tau:\mathfrak{gl}_n(\mathbb{H})\to\mathbb{R},\quad A\mapsto\operatorname{Re}\operatorname{tr}A.$$ Можно доказать, что группа $GL_n(\mathbb{H})$ односвязна. Отсюда следует, что существует такой гомоморфизм $$\det:GL_n(\mathbb{H})\to\mathbb{R}^+,$$ что $d\,\det=\tau$. Ядро этого гомоморфизма обозначается через $SL_n(\mathbb{H})$. Это $(4n^2-1)$-мерная вещественная группа Ли.

Замечание. Если рассматривать $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{H})$ как подалгебру Ли в $\mathfrak{gl}_{4n}(\mathbb{R})$, а $GL_n(\mathbb{H})$ как подгруппу Ли в $GL_{4n}(\mathbb{R})$, то легко видеть, что $\tau(A)=\operatorname{tr}_{\mathbb{R}}A/4$, а $\det A=\root4\of{\operatorname{det}_{\mathbb{R}}A}$, где $\operatorname{tr}_{\mathbb{R}}A$ и $\operatorname{det}_{\mathbb{R}}A$ — след и определитель $A$ как вещественной матрицы.

Задача 16.1. Комплексные матрицы вида $$ \begin{pmatrix} a & b \\ -\bar{b} & \bar{a} \\ \end{pmatrix} $$ образуют алгебру над $\mathbb{R}$, изоморфную $\mathbb{H}$, причём кватернионному сопряжению при этом изоморфизме соответствует эрмитово сопряжение, а норме кватерниона — определитель матрицы (равный $|a|^2+|b|^2$).

Задача 16.2. $\operatorname{Ker}\Phi=\{\pm1\}$.

Задача 16.3. $\operatorname{Ker}\Psi=\{(1,1),(-1,-1)\}$.

Задача 16.4. $\operatorname{Aut}\mathbb{H}=\Phi(S\mathbb{H})$, т.е. все автоморфизмы алгебры $\mathbb{H}$ — внутренние.

Задача 16.5. Для всякого линейного оператора $\mathcal{A}$ в кватернионном векторном пространстве существует базис, в котором матрица оператора $\mathcal{A}$ имеет жорданову форму. При этом набор жордановых клеток определён однозначно с точностью до замены диагональных элементов на сопряжённые посредством автоморфизмов алгебры $\mathbb{H}$.

Задача 16.6. $GL_n(\mathbb{H})$ — подгруппа Ли в $GL_{4n}(\mathbb{R})$ размерности $4n^2$.

Задача 16.7. Пусть $K$ — поле.
а) $(GL_n(K),GL_n(K))=SL_n(K)$, кроме случая $|K|=n=2$.
б) $[\mathfrak{gl}_n(K),\mathfrak{gl}_n(K)]=\mathfrak{sl}_n(K)$.

Задача 16.8. $[\mathfrak{gl}_n(\mathbb{H}),\mathfrak{gl}_n(\mathbb{H})]=\{A\in\mathfrak{gl}_n(\mathbb{H})\mid\operatorname{Re}\operatorname{tr}A=0\}$.

предыдущий семинар	12 февраля 2016 г.	следующий семинар
Тема 16 Тело кватернионов Конструкция некоторых классических линейных групп Ли связана с телом кватернионов. Алгебра кватернионов $\mathbb{H}$ — это 4-мерная алгебра над $\mathbb{R}$ с базисом $\{1,\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$ и таблицей умножения \begin{gather} \boldsymbol{i}^2=\boldsymbol{j}^2=\boldsymbol{k}^2=-1,\\ \boldsymbol{i}\boldsymbol{j}=-\boldsymbol{j}\boldsymbol{i}=\boldsymbol{k},\\ \boldsymbol{j}\boldsymbol{k}=-\boldsymbol{k}\boldsymbol{j}=\boldsymbol{i},\\ \boldsymbol{k}\boldsymbol{i}=-\boldsymbol{i}\boldsymbol{k}=\boldsymbol{j}.\\ \end{gather} Это ассоциативная алгебра с единицей. Вещественная часть кватерниона определяется формулой $$\operatorname{Re}(a+b\boldsymbol{i}+c\boldsymbol{j}+d\boldsymbol{k})=a\qquad(a,b,c,d\in\mathbb{R}).$$ Алгебра $\mathbb{H}$ не коммутативна, но легко видеть, что $$\operatorname{Re}(pq)=\operatorname{Re}(qp),\qquad\forall p,q\in\mathbb{H}.$$ Кватернионное сопряжение $$q=a+b\boldsymbol{i}+c\boldsymbol{j}+d\boldsymbol{k}\mapsto\bar{q}=a-b\boldsymbol{i}-c\boldsymbol{j}-d\boldsymbol{k}$$ — инволютивный антиавтоморфизм, т.е. $\overline{pq}=\bar{q}\bar{p}$ (достаточно проверить это для базисных векторов). Норма кватерниона $q=a+b\boldsymbol{i}+c\boldsymbol{j}+d\boldsymbol{k}$ определяется формулой $$N(q)=q\bar{q}=a^2+b^2+c^2+d^2.$$ Если $q\ne0$, то $N(q)>0$, и существует обратный кватернион $q^{-1}=\bar{q}/N(q)$. Таким образом, $\mathbb{H}$ — алгебра с делением (тело). Теорема Фробениуса. Всякая конечномерная ассоциативная алгебра с делением над $\mathbb{R}$ изоморфна $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ или $\mathbb{H}$. Легко видеть, что $$N(pq)=N(p)N(q),\qquad\forall p,q\in\mathbb{H}.$$ Норма кватерниона есть положительно определённая квадратичная форма. Приняв её за скалярный квадрат вектора, мы можем рассматривать $\mathbb{H}$ как 4-мерное евклидово пространство. Подпространство $$\mathbb{H}_0=\{q\in\mathbb{H}\mid\operatorname{Re}(q)=0\}=\langle\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\rangle$$ есть ортогональное дополнение к $\mathbb{R}=\mathbb{R}\cdot1$. Кватернионы с нормой $1$ образуют группу по умножению, обозначаемую через $S\mathbb{H}$. Это сфера в 4-мерном евклидовом пространстве $\mathbb{H}$. Из задачи 16.1 следует, что $S\mathbb{H}\simeq SU_2$. Для всякого $q\in S\mathbb{H}$ линейное преобразование $$\Phi(q):x\mapsto qxq^{-1}$$ пространства $\mathbb{H}_0$ является ортогональным. Отображение $$\Phi:S\mathbb{H}\to O(\mathbb{H}_0)\simeq O_3$$ является гомоморфизмом групп Ли. Так как группа Ли $S\mathbb{H}$ связна, $\operatorname{Im}\Phi\subseteq SO_3$. Поскольку $\operatorname{Ker}\Phi=\{\pm1\}$ (задача 16.2), гомоморфизм $\Phi$ является накрытием связных групп Ли одинаковой размерности $\dim S\mathbb{H}=\dim SO_3=3$ и поэтому сюръективен: $\operatorname{Im}\Phi=SO_3$. Таким образом, $$SO_3\simeq S\mathbb{H}/\{\pm1\}\simeq SU_2/\{\pm E\}.$$ Аналогичным образом можно рассмотреть отображение \begin{gather} \Psi: S\mathbb{H}\times S\mathbb{H}\to O(\mathbb{H})\simeq O_4, \\ \Psi(p,q): x\mapsto pxq^{-1}\quad(x\in\mathbb{H}). \end{gather} Из соображений связности $\operatorname{Im}\Psi\subseteq SO_4$, а поскольку $\operatorname{Ker}\Psi=\{(1,1),(-1,-1)\}$ (задача 16.3) и $\dim(S\mathbb{H}\times S\mathbb{H})=\dim SO_4=6$, то $\operatorname{Im}\Psi=SO_4$. Таким образом, $$SO_4\simeq(S\mathbb{H}\times S\mathbb{H})/\{(1,1),(-1,-1)\}\simeq(SU_2\times SU_2)/\{(E,E),(-E,-E)\}.$$ Векторные пространства над телом определяются так же, как и над полем, за исключением одного нюанса: следует различать правые и левые векторные пространства. В правом (левом) векторном пространстве скалярный множитель пишется справа (слева) от вектора, и выполняется аксиома ассоциативности $$x(\lambda\mu)=(x\lambda)\mu\qquad(\text{соответственно }(\lambda\mu)x=\lambda(\mu x)).$$ Будем рассматривать правые векторные пространства. Линейная зависимость и базис векторного пространства над телом определяются так же, как над полем. Так же доказывается, что все базисы конечномерного векторного пространства над телом состоят из одного и того же числа векторов, называемого размерностью пространства. Матрица $A=(a_{ij})$ линейного оператора $\mathcal{A}$ в базисе $(e_1,\dots,e_n)$ определяется по обычной формуле: $$\mathcal{A}e_j=\sum_ie_ia_{ij}.$$ При переходе к другому базису $$e_j'=\sum_ie_ic_{ij}$$ она преобразуется по формуле $A'=C^{-1}AC$, где $C=(c_{ij})$ — матрица перехода от одного базиса к другому. Всякое $n$-мерное векторное пространство над $\mathbb{H}$ можно рассматривать как $2n$-мерное векторное пространство над $\mathbb{C}$ или $4n$-мерное векторное пространство над $\mathbb{R}$. Обратимые кватернионные матрицы порядка $n$ образуют группу, обозначаемую через $GL_n(\mathbb{H})$. Её можно рассматривать как подгруппу в $GL_{2n}(\mathbb{C})$ или в $GL_{4n}(\mathbb{R})$ (см. задачу 16.6). Для групп $GL_n(K)$, где $K$ — поле, имеется гомоморфизм $$\det:GL_n(K)\to K^{\times},$$ ядро которого обозначается через $SL_n(K)$. Поскольку группа $K^{\times}$ коммутативна, $SL_n(K)\supseteq(GL_n(K),GL_n(K))$. На самом деле здесь имеет место равенство (за одним исключением). Для $K=\mathbb{R},\mathbb{C}$ это можно доказать, перейдя к алгебрам Ли (см. задачу 16.7). Существует ли аналог определителя для кватернионной матрицы? Из описания коммутанта алгебры Ли $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{H})$ (задача 16.8) следует, что имеется гомоморфизм алгебр Ли $$\tau:\mathfrak{gl}_n(\mathbb{H})\to\mathbb{R},\quad A\mapsto\operatorname{Re}\operatorname{tr}A.$$ Можно доказать, что группа $GL_n(\mathbb{H})$ односвязна. Отсюда следует, что существует такой гомоморфизм $$\det:GL_n(\mathbb{H})\to\mathbb{R}^+,$$ что $d\,\det=\tau$. Ядро этого гомоморфизма обозначается через $SL_n(\mathbb{H})$. Это $(4n^2-1)$-мерная вещественная группа Ли. Замечание. Если рассматривать $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{H})$ как подалгебру Ли в $\mathfrak{gl}_{4n}(\mathbb{R})$, а $GL_n(\mathbb{H})$ как подгруппу Ли в $GL_{4n}(\mathbb{R})$, то легко видеть, что $\tau(A)=\operatorname{tr}_{\mathbb{R}}A/4$, а $\det A=\root4\of{\operatorname{det}_{\mathbb{R}}A}$, где $\operatorname{tr}_{\mathbb{R}}A$ и $\operatorname{det}_{\mathbb{R}}A$ — след и определитель $A$ как вещественной матрицы. Задачи Задача 16.1. Комплексные матрицы вида $$ \begin{pmatrix} a & b \\ -\bar{b} & \bar{a} \\ \end{pmatrix} $$ образуют алгебру над $\mathbb{R}$, изоморфную $\mathbb{H}$, причём кватернионному сопряжению при этом изоморфизме соответствует эрмитово сопряжение, а норме кватерниона — определитель матрицы (равный $\|a\|^2+\|b\|^2$). Задача 16.2. $\operatorname{Ker}\Phi=\{\pm1\}$. Задача 16.3. $\operatorname{Ker}\Psi=\{(1,1),(-1,-1)\}$. Задача 16.4. $\operatorname{Aut}\mathbb{H}=\Phi(S\mathbb{H})$, т.е. все автоморфизмы алгебры $\mathbb{H}$ — внутренние. Задача 16.5. Для всякого линейного оператора $\mathcal{A}$ в кватернионном векторном пространстве существует базис, в котором матрица оператора $\mathcal{A}$ имеет жорданову форму. При этом набор жордановых клеток определён однозначно с точностью до замены диагональных элементов на сопряжённые посредством автоморфизмов алгебры $\mathbb{H}$. Задача 16.6. $GL_n(\mathbb{H})$ — подгруппа Ли в $GL_{4n}(\mathbb{R})$ размерности $4n^2$. Задача 16.7. Пусть $K$ — поле. а) $(GL_n(K),GL_n(K))=SL_n(K)$, кроме случая $\|K\|=n=2$. б) $[\mathfrak{gl}_n(K),\mathfrak{gl}_n(K)]=\mathfrak{sl}_n(K)$. Задача 16.8. $[\mathfrak{gl}_n(\mathbb{H}),\mathfrak{gl}_n(\mathbb{H})]=\{A\in\mathfrak{gl}_n(\mathbb{H})\mid\operatorname{Re}\operatorname{tr}A=0\}$.