Над полями $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C}$, помимо полной и специальной линейных групп $GL_n(\mathbb{K})$, $SL_n(\mathbb{K})$, рассматриваются группы линейных преобразований (или соответствующих им матриц), сохраняющих невырожденную симметрическую или кососимметрическую билинейную форму (ортогональные, псевдоортогональные и симплектические группы): $$O_n=O_n(\mathbb{R}),\ O_{k,l},\ Sp_n(\mathbb{R})\subset GL_n(\mathbb{R}),\qquad O_n(\mathbb{C}),\ Sp_n(\mathbb{C})\subset GL_n(\mathbb{C}).$$ Над телом $\mathbb{H}$ не существует (ненулевых) билинейных форм, но есть полуторалинейные.

Пусть $V$ — векторное пространство над $\mathbb{H}$.

Определение. Функция $f:V\times V\to\mathbb{H}$ называется полуторалинейной формой, если \begin{align} f(x_1+x_2,y)&=f(x_1,y)+f(x_2,y),& f(x,y_1+y_2)&=f(x,y_1)+f(x,y_2);\\ f(x\lambda,y)&=\bar\lambda f(x,y),& f(x,y\lambda)&=f(x,y)\lambda. \end{align}

Полуторалинейная форма $f$ называется эрмитовой (косоэрмитовой), если $$f(y,x)=\overline{f(x,y)}\qquad(f(y,x)=-\overline{f(x,y)},\text{ соответственно}).$$

Полуторалинейные формы рассматриваются и на комплексных векторных пространствах, но в отличие от комплексного случая, где косоэрмитовы формы получаются из эрмитовых умножением на $\boldsymbol{i}$, в кватернионном случае подобного явления нет.

Найдем канонический вид эрмитовых и косоэрмитовых форм над $\mathbb{H}$.

Для ненулевой эрмитовой или косоэрмитовой формы $f$ можно найти вектор $x$, для которого $f(x,x)\ne0$ (задача 17.1). С помощью этого соображения можно, как обычно, доказать существование ортогонального (относительно $f$) базиса $(e_1,\dots,e_n)$. Далее, домножая базисные векторы на подходящие скаляры, в случае эрмитовой формы значения $f(e_i,e_i)$ (автоматически вещественные) можно сделать равными $\pm1,0$. Получается следующая

Теорема 1. Всякая эрмитова форма в конечномерном кватернионном векторном пространстве в подходящем базисе приводится к виду $$f(x,y)=\overline{x_1}y_1+\dots+\overline{x_k}y_k-\overline{x_{k+1}}y_{k+1}-\dots-\overline{x_{k+l}}y_{k+l}.$$

При этом числа $k$ и $l$ определены однозначно (закон инерции).

В случае косоэрмитовых форм значения $f(e_i,e_i)$ чисто мнимые. Домножая векторы $e_i$ на подходящие скаляры, их можно сделать равными $\boldsymbol{i},0$. Получается

Теорема 2. Всякая косоэрмитова форма в конечномерном кватернионном векторном пространстве в подходящем базисе приводится к виду $$f(x,y)=\overline{x_1}\boldsymbol{i}y_1+\dots+\overline{x_r}\boldsymbol{i}y_r.$$

Над полем $\mathbb{C}$ рассматриваются группы линейных преобразований (и соответствующих им матриц), сохраняющих невырожденную эрмитову (или косоэрмитову) полуторалинейную форму (унитарные и псевдоунитарные группы): $$U_n, U_{k,l}\subset GL_n(\mathbb{C}).$$ Над телом $\mathbb{H}$ аналогично определяются группы линейных преобразований (и соответствующих им матриц), сохраняющих невырожденную эрмитову или косоэрмитову полуторалинейную форму: \begin{align} Sp_n = U_n(\mathbb{H})&\text{ — унитарная кватернионная группа},\\ Sp_{k,l}=U_{k,l}(\mathbb{H})&\text{ — псевдоунитарная кватернионная группа},\\ U_n^*(\mathbb{H})&\text{ — косоунитарная кватернионная группа}. \end{align} В канонических базисах группы $U_n(\mathbb{H})$, $U_{k,l}(\mathbb{H})$ и $U_n^*(\mathbb{H})$ состоят из матриц $A\in GL_n(\mathbb{H})$, удовлетворяющих условиям $$A^*A=E, \qquad A^*E_{k,l}A=E_{k,l} \quad\text{и}\quad A^*(\boldsymbol{i}E)A=\boldsymbol{i}E,$$ соответственно, где $$A^*=\overline{A}^{\top} \quad\text{и}\quad E_{k,l}=\operatorname{diag}(\underbrace{1,\dots,1}_k,\underbrace{-1,\dots,-1}_l).$$ Это подгруппы Ли в $GL_n(\mathbb{H})$, их касательные алгебры Ли описываются аналогично алгебрам Ли классических линейных групп над полями $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$.

Задача 17.1. Если $f$ — такая эрмитова (косоэрмитова) форма в кватернионном векторном пространстве $V$, что $f(x,x)=0$, $\forall x\in V$, то $f=0$.

Задача 17.2. Доказать закон инерции для кватернионных эрмитовых форм.

Задача 17.3. Всякий унитарный кватернионный оператор в подходящем ортонормированном базисе записывается матрицей вида $\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$, где $\lambda_i\in\mathbb{C}$, $|\lambda_i|=1$, причём числа $\lambda_i$ определены однозначно с точностью до перестановки и комплексного сопряжения.