Поле $\mathbb{C}$ получается "удвоением" поля $\mathbb{R}$, тело кватернионов $\mathbb{H}$ — "удвоением" поля $\mathbb{C}$. Аналогично, алгебра октав (октонионов, чисел Кэли) $\mathbb{O}$ получается "удвоением" тела $\mathbb{H}$. А именно, умножение в этих алгебрах задаётся формулами \begin{align} \mathbb{C}&:&(a+b\boldsymbol{i})(c+d\boldsymbol{i})&=(ac-bd)+(ad+bc)\boldsymbol{i} &(a,b,c,d&\in\mathbb{R}),\\ \mathbb{H}&:&(a+b\boldsymbol{j})(c+d\boldsymbol{j})&=(ac-b\bar{d})+(ad+b\bar{c})\boldsymbol{j}&(a,b,c,d&\in\mathbb{C}),\\ \mathbb{O}&:&(a+b\boldsymbol{l})(c+d\boldsymbol{l})&=(ac-\bar{d}b)+(da+b\bar{c})\boldsymbol{l}&(a,b,c,d&\in\mathbb{H}) \end{align} (каждая из этих формул верна и в предыдущих случаях, но там она упрощается). Согласно построению $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\subset\mathbb{H}\subset\mathbb{O}$.

Изучим свойства алгебры октав.

В отличие от поля $\mathbb{C}$ и тела $\mathbb{H}$, алгебра $\mathbb{O}$ уже не является ассоциативной. Однако она обладает более слабым свойством, близким к ассоциативности.

Назовём ассоциатором трёх элементов $x,y,z$ произвольной алгебры выражение $$[x,y,z]=x(yz)-(xy)z.$$ Ясно, что алгебра ассоциативна тогда и только тогда, когда ассоциатор любых трёх её элементов равен нулю.

Определение. Алгебра называется альтернативной, если в ней выполнены тождества $[x,x,y]=[x,y,x]=[y,x,x]=0$ (т.е. закон ассоциативности выполнен для тройных произведений, в которых два из сомножителей совпадают).

Предложение 1. Алгебра $\mathbb{O}$ альтернативна.

Теорема Артина. Алгебра альтернативна тогда и только тогда, когда любые два её элемента порождают ассоциативную подалгебру.

Для алгебры октав мы последнее свойство проверим ниже.

Сопряжение $$z=x+y\boldsymbol{l}\mapsto\bar{z}=\bar{x}-y\boldsymbol{l}$$ есть (как и в случаях $\mathbb{C}$ и $\mathbb{H}$) инволютивный антиавтоморфизм алгебры $\mathbb{O}$. При этом \begin{align} \operatorname{Re}z&=\frac12(z+\bar{z})\in\mathbb{R},\\ N(z)&=z\bar{z}\in\mathbb{R} \end{align} для любого $z\in\mathbb{O}$. Более того, норма $N$ — положительно определённая квадратичная форма (как и в случаях $\mathbb{C}$ и $\mathbb{H}$): если $z=x+y\boldsymbol{l}\ne0$ ($x,y\in\mathbb{H}$), то $$N(z)=(x+y\boldsymbol{l})(\bar{x}-y\boldsymbol{l})=N(x)+N(y)>0.$$ Отсюда следует, что для любого $z\ne0$ существует обратный элемент $z^{-1}=\bar{z}/N(z)$.

Симметрическая билинейная форма $$(z,w)=\operatorname{Re}(z\bar{w})=\operatorname{Re}(\bar{w}z),$$ соответствующая квадратичной форме $N$, задаёт на $\mathbb{O}$ структуру 8-мерного евклидова пространства.

Для любого элемента $c\in\mathbb{O}$ определим оператор $L_c:\mathbb{O}\to\mathbb{O}$, $z\mapsto cz$ левого умножения на $c$.

Предложение 2. $L_{\bar{c}}={L_c}^*$ (где звёздочка обозначает сопряжённый оператор в евклидовом пространстве).

С помощью сопряжения отсюда легко получается аналогичное утверждение и для оператора $R_c$ правого умножения на $c$.

Следствие 1. Если $N(c)=1$, то $L_c$ — ортогональный оператор.

Доказательство использует тождество $[c,\bar{c},z]=0$, которое легко вывести из альтернативности алгебры $\mathbb{O}$.

Из следствия 1 легко вытекает

Следствие 2 (мультипликативность нормы). $N(zw)=N(z)N(w)$.

Конечномерные алгебры, в которых существует невырожденная квадратичная форма $N$ с этим свойством, называются композиционными.

Следствие 3. В алгебре $\mathbb{O}$ нет делителей нуля.

Следствие 4. $\mathbb{O}$ — алгебра с делением.

В самом деле, если $c\ne0$, то, в силу следствия 3, $\operatorname{Ker}L_c=0$, а, значит, $\operatorname{Im}L_c=\mathbb{O}$; аналогично для $R_c$.

Известна следующая "обобщённая теорема Фробениуса": всякая альтернативная конечномерная алгебра с делением над $\mathbb{R}$ изоморфна $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$ или $\mathbb{O}$.

Элементы $z\in\mathbb{O}$, для которых $\bar{z}=-z$, называются чисто мнимыми. Они образуют 7-мерное подпространство — ортогональное дополнение к $\mathbb{R}$. Во внутренних терминах алгебры $\mathbb{O}$ чисто мнимые элементы характеризуются условием $z^2\in\mathbb{R}$, причём $z^2\le0$. Чисто мнимый элемент c нормой $1$ будем называть мнимой единицей.

Следствие 5. Если $c$ — чисто мнимый элемент, то $L_c$ — кососимметрический оператор.

Следствие 6. Если $c$ — мнимая единица, то $L_c$ — ортогональный оператор, и $L_c^2=-\mathcal{E}$.

Иначе говоря, $L_c$ — оператор комплексной структуры, т.е. если определить умножение на $\boldsymbol{i}$ как оператор $L_c$, то $\mathbb{O}$ превратится в 4-мерное комплексное векторное пространство.

Если $\{1,\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$ — стандартный базис подалгебры $\mathbb{H}\subset\mathbb{O}$, то $\{1,\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k},\boldsymbol{l},\boldsymbol{i}\boldsymbol{l},\boldsymbol{j}\boldsymbol{l},\boldsymbol{k}\boldsymbol{l}\}$ — ортонормированный базис алгебры $\mathbb{O}$.

Следующие подпространства являются подалгебрами алгебры $\mathbb{O}$, изоморфными $\mathbb{H}$ (причём порождающие их векторы соответствуют стандартному базису алгебры $\mathbb{H}$): \begin{gather} \langle 1,\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\rangle,\\ \langle 1,\boldsymbol{i},\boldsymbol{l},\boldsymbol{i}\boldsymbol{l}\rangle,\\ \langle 1,\boldsymbol{j},\boldsymbol{l},\boldsymbol{j}\boldsymbol{l}\rangle,\\ \langle 1,\boldsymbol{k},\boldsymbol{l},\boldsymbol{k}\boldsymbol{l}\rangle,\\ \langle 1,-\boldsymbol{i},\boldsymbol{j}\boldsymbol{l},\boldsymbol{k}\boldsymbol{l}\rangle,\\ \langle 1,-\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\boldsymbol{l},\boldsymbol{i}\boldsymbol{l}\rangle,\\ \langle 1,-\boldsymbol{k},\boldsymbol{i}\boldsymbol{l},\boldsymbol{j}\boldsymbol{l}\rangle. \end{gather} Так как любые два мнимых базисных вектора лежат (ровно) в одной из этих подалгебр, то этот список полностью определяет таблицу умножения базисных векторов.

Любой другой ортонормированный базис с такой же таблицей умножения может быть построен следующим образом:

возьмём любую мнимую единицу $I$;
возьмём любую мнимую единицу $J$, ортогональную $I$;
возьмём любую мнимую единицу $L$, ортогональную $I$, $J$ и $K=IJ$.

Предложение 3. $\{1,I,J,K,L,IL,JL,KL\}$ — ортонормированный базис алгебры $\mathbb{O}$ с такой же таблицей умножения, как у базиса $\{1,\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k},\boldsymbol{l},\boldsymbol{i}\boldsymbol{l},\boldsymbol{j}\boldsymbol{l},\boldsymbol{k}\boldsymbol{l}\}$.

Следствие. Любые два элемента алгебры $\mathbb{O}$ порождают ассоциативную подалгебру, изоморфную $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ или $\mathbb{H}$.

Доказательство сводится к случаю ортогональных мнимых единиц.

Всякий автоморфизм алгебры $\mathbb{O}$ сохраняет подпространство чисто мнимых октав, а, значит, коммутирует с сопряжением и сохраняет скалярное произведение, т.е. является ортогональным оператором. Поэтому группа $\operatorname{Aut}\mathbb{O}$ является (замкнутой) подгруппой группы $O_7$ и, тем самым, компактной группой Ли. Из предложения 3 следует, что эта группа связна (и, значит, содержится в $SO_7$) и имеет размерность $6+5+3=14$.

Группа $\operatorname{Aut}\mathbb{O}$ — это так называемая особая простая компактная группа Ли типа $\mathsf{G}_2$.

предыдущий семинар	26 февраля 2016 г.	следующий семинар
Тема 18 Алгебра октав Поле $\mathbb{C}$ получается "удвоением" поля $\mathbb{R}$, тело кватернионов $\mathbb{H}$ — "удвоением" поля $\mathbb{C}$. Аналогично, алгебра октав (октонионов, чисел Кэли) $\mathbb{O}$ получается "удвоением" тела $\mathbb{H}$. А именно, умножение в этих алгебрах задаётся формулами \begin{align} \mathbb{C}&:&(a+b\boldsymbol{i})(c+d\boldsymbol{i})&=(ac-bd)+(ad+bc)\boldsymbol{i} &(a,b,c,d&\in\mathbb{R}),\\ \mathbb{H}&:&(a+b\boldsymbol{j})(c+d\boldsymbol{j})&=(ac-b\bar{d})+(ad+b\bar{c})\boldsymbol{j}&(a,b,c,d&\in\mathbb{C}),\\ \mathbb{O}&:&(a+b\boldsymbol{l})(c+d\boldsymbol{l})&=(ac-\bar{d}b)+(da+b\bar{c})\boldsymbol{l}&(a,b,c,d&\in\mathbb{H}) \end{align} (каждая из этих формул верна и в предыдущих случаях, но там она упрощается). Согласно построению $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\subset\mathbb{H}\subset\mathbb{O}$. Изучим свойства алгебры октав. В отличие от поля $\mathbb{C}$ и тела $\mathbb{H}$, алгебра $\mathbb{O}$ уже не является ассоциативной. Однако она обладает более слабым свойством, близким к ассоциативности. Назовём ассоциатором трёх элементов $x,y,z$ произвольной алгебры выражение $$[x,y,z]=x(yz)-(xy)z.$$ Ясно, что алгебра ассоциативна тогда и только тогда, когда ассоциатор любых трёх её элементов равен нулю. Определение. Алгебра называется альтернативной, если в ней выполнены тождества $[x,x,y]=[x,y,x]=[y,x,x]=0$ (т.е. закон ассоциативности выполнен для тройных произведений, в которых два из сомножителей совпадают). Предложение 1. Алгебра $\mathbb{O}$ альтернативна. Теорема Артина. Алгебра альтернативна тогда и только тогда, когда любые два её элемента порождают ассоциативную подалгебру. Для алгебры октав мы последнее свойство проверим ниже. Сопряжение $$z=x+y\boldsymbol{l}\mapsto\bar{z}=\bar{x}-y\boldsymbol{l}$$ есть (как и в случаях $\mathbb{C}$ и $\mathbb{H}$) инволютивный антиавтоморфизм алгебры $\mathbb{O}$. При этом \begin{align} \operatorname{Re}z&=\frac12(z+\bar{z})\in\mathbb{R},\\ N(z)&=z\bar{z}\in\mathbb{R} \end{align} для любого $z\in\mathbb{O}$. Более того, норма $N$ — положительно определённая квадратичная форма (как и в случаях $\mathbb{C}$ и $\mathbb{H}$): если $z=x+y\boldsymbol{l}\ne0$ ($x,y\in\mathbb{H}$), то $$N(z)=(x+y\boldsymbol{l})(\bar{x}-y\boldsymbol{l})=N(x)+N(y)>0.$$ Отсюда следует, что для любого $z\ne0$ существует обратный элемент $z^{-1}=\bar{z}/N(z)$. Симметрическая билинейная форма $$(z,w)=\operatorname{Re}(z\bar{w})=\operatorname{Re}(\bar{w}z),$$ соответствующая квадратичной форме $N$, задаёт на $\mathbb{O}$ структуру 8-мерного евклидова пространства. Для любого элемента $c\in\mathbb{O}$ определим оператор $L_c:\mathbb{O}\to\mathbb{O}$, $z\mapsto cz$ левого умножения на $c$. Предложение 2. $L_{\bar{c}}={L_c}^$ (где звёздочка обозначает сопряжённый оператор в евклидовом пространстве). С помощью сопряжения отсюда легко получается аналогичное утверждение и для оператора $R_c$ правого умножения на $c$. Следствие 1. Если $N(c)=1$, то $L_c$ — ортогональный оператор. Доказательство использует тождество $[c,\bar{c},z]=0$, которое легко вывести из альтернативности алгебры $\mathbb{O}$. Из следствия 1 легко вытекает Следствие 2 (мультипликативность нормы). $N(zw)=N(z)N(w)$. Конечномерные алгебры, в которых существует невырожденная квадратичная форма $N$ с этим свойством, называются композиционными. Следствие 3. В алгебре $\mathbb{O}$ нет делителей нуля. Следствие 4. $\mathbb{O}$ — алгебра с делением. В самом деле, если $c\ne0$, то, в силу следствия 3, $\operatorname{Ker}L_c=0$, а, значит, $\operatorname{Im}L_c=\mathbb{O}$; аналогично для $R_c$. Известна следующая "обобщённая теорема Фробениуса": всякая альтернативная конечномерная алгебра с делением над $\mathbb{R}$ изоморфна $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$ или $\mathbb{O}$. Элементы $z\in\mathbb{O}$, для которых $\bar{z}=-z$, называются чисто мнимыми. Они образуют 7-мерное подпространство — ортогональное дополнение к $\mathbb{R}$. Во внутренних терминах алгебры $\mathbb{O}$ чисто мнимые элементы характеризуются условием $z^2\in\mathbb{R}$, причём $z^2\le0$. Чисто мнимый элемент c нормой $1$ будем называть мнимой единицей. Следствие 5. Если $c$ — чисто мнимый элемент, то $L_c$ — кососимметрический оператор. Следствие 6. Если $c$ — мнимая единица, то $L_c$ — ортогональный оператор, и $L_c^2=-\mathcal{E}$. Иначе говоря, $L_c$ — оператор комплексной структуры, т.е. если определить умножение на $\boldsymbol{i}$ как оператор $L_c$, то $\mathbb{O}$ превратится в 4-мерное комплексное векторное пространство. Если $\{1,\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$ — стандартный базис подалгебры $\mathbb{H}\subset\mathbb{O}$, то $\{1,\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k},\boldsymbol{l},\boldsymbol{i}\boldsymbol{l},\boldsymbol{j}\boldsymbol{l},\boldsymbol{k}\boldsymbol{l}\}$ — ортонормированный базис алгебры $\mathbb{O}$. Следующие подпространства являются подалгебрами алгебры $\mathbb{O}$, изоморфными $\mathbb{H}$ (причём порождающие их векторы соответствуют стандартному базису алгебры $\mathbb{H}$): \begin{gather} \langle 1,\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\rangle,\\ \langle 1,\boldsymbol{i},\boldsymbol{l},\boldsymbol{i}\boldsymbol{l}\rangle,\\ \langle 1,\boldsymbol{j},\boldsymbol{l},\boldsymbol{j}\boldsymbol{l}\rangle,\\ \langle 1,\boldsymbol{k},\boldsymbol{l},\boldsymbol{k}\boldsymbol{l}\rangle,\\ \langle 1,-\boldsymbol{i},\boldsymbol{j}\boldsymbol{l},\boldsymbol{k}\boldsymbol{l}\rangle,\\ \langle 1,-\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\boldsymbol{l},\boldsymbol{i}\boldsymbol{l}\rangle,\\ \langle 1,-\boldsymbol{k},\boldsymbol{i}\boldsymbol{l},\boldsymbol{j}\boldsymbol{l}\rangle. \end{gather} Так как любые два мнимых базисных вектора лежат (ровно) в одной из этих подалгебр, то этот список полностью определяет таблицу умножения базисных векторов. Любой другой ортонормированный базис с такой же таблицей умножения может быть построен следующим образом: возьмём любую мнимую единицу $I$; возьмём любую мнимую единицу $J$, ортогональную $I$; возьмём любую мнимую единицу $L$, ортогональную $I$, $J$ и $K=IJ$. Предложение 3. $\{1,I,J,K,L,IL,JL,KL\}$ — ортонормированный базис алгебры $\mathbb{O}$ с такой же таблицей умножения, как у базиса $\{1,\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k},\boldsymbol{l},\boldsymbol{i}\boldsymbol{l},\boldsymbol{j}\boldsymbol{l},\boldsymbol{k}\boldsymbol{l}\}$. Следствие. Любые два элемента алгебры $\mathbb{O}$ порождают ассоциативную подалгебру, изоморфную $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ или $\mathbb{H}$. Доказательство сводится к случаю ортогональных мнимых единиц. Всякий автоморфизм алгебры $\mathbb{O}$ сохраняет подпространство чисто мнимых октав, а, значит, коммутирует с сопряжением и сохраняет скалярное произведение, т.е. является ортогональным оператором. Поэтому группа $\operatorname{Aut}\mathbb{O}$ является (замкнутой) подгруппой группы $O_7$ и, тем самым, компактной группой Ли. Из предложения 3 следует, что эта группа связна (и, значит, содержится в $SO_7$) и имеет размерность $6+5+3=14$. Группа $\operatorname{Aut}\mathbb{O}$ — это так называемая особая простая компактная группа Ли типа $\mathsf{G}_2$. Задачи Задача 18.1. В альтернативной алгебре ассоциатор $[x,y,z]$ любых трёх элементов кососимметричен по $x,y,z$. Задача 18.2. В альтернативной алгебре имеет место тождество Муфанг*: $x((yz)x)=(xy)(zx)$. Задача 18.3. Доказать предложение 1. Задача 18.4. Доказать предложение 2. Задача 18.5. Доказать предложение 3. Задача 18.6. Представление группы $\operatorname{Aut}\mathbb{O}$ в пространстве чисто мнимых октав неприводимо. Задача 18.7. Центр группы $\operatorname{Aut}\mathbb{O}$ тривиален. Задача 18.8. Группа $\operatorname{Aut}\mathbb{O}$ не изоморфна ни одной из классических простых компактных групп Ли $SO_n$, $SU_n$, $U_n(\mathbb{H})$.