Строение алгебраических объектов, определённых над полем $\mathbb{R}$, часто можно лучше понять, рассматривая их комплексификации. Например, если $A$ — алгебра над $\mathbb{R}$, то её комплексификация $A(\mathbb{C})=\mathbb{C}\otimes A$ есть алгебра над $\mathbb{C}$. В базисе, составленном из вещественных векторов, алгебра $A(\mathbb{C})$ имеет такую же таблицу умножения, что и алгебра $A$, но в другом базисе её таблица умножения может выглядеть проще.

Каждый элемент алгебры $A(\mathbb{C})$ однозначно представляется в виде $c=a+\boldsymbol{i}b$, где $a,b\in A$. Элемент $\bar{c}=a-\boldsymbol{i}b$ назовём комплексно сопряжённым к $c$. Операция комплексного сопряжения является антилинейным автоморфизмом алгебры $A(\mathbb{C})$, множеством неподвижных точек которого является исходная алгебра $A$.

Очевидно, что $\mathbb{C}\otimes\mathbb{R}=\mathbb{C}$. Выясним, как устроена алгебра $\mathbb{C}\otimes\mathbb{C}$. Условимся обозначать мнимую единицу "внешнего" поля $\mathbb{C}$, т.е. расширенного поля скаляров (первого множителя), как обычно, через $\boldsymbol{i}$, а мнимую единицу исходного поля $\mathbb{C}$ как алгебры над $\mathbb{R}$ (второго множителя) через $I$. Имеем $(\boldsymbol{i}I)^2=\boldsymbol{i}^2I^2=1$, и в базисе $$e_1=\frac{1+\boldsymbol{i}I}2,\qquad e_2=\frac{1-\boldsymbol{i}I}2$$ таблица умножения алгебры $\mathbb{C}\otimes\mathbb{C}$ имеет вид: $$e_1^2=e_1,\qquad e_2^2=e_2,\qquad e_1e_2=e_2e_1=0.$$ Это означает, что $$\mathbb{C}\otimes\mathbb{C}\simeq\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$$ — прямая сумма двух копий поля $\mathbb{C}$.

Комплексное сопряжение в этой алгебре при указанном изоморфизме приобретает вид $$(z_1,z_2)\mapsto(\bar{z}_2,\bar{z}_1).$$

Всякий автоморфизм (антиавтоморфизм) вещественной алгебры $A$ однозначно продолжается до автоморфизма (антиавтоморфизма) алгебры $A(\mathbb{C})$.

В частности, комплексное сопряжение поля $\mathbb{C}$ продолжается до автоморфизма алгебры $\mathbb{C}\otimes\mathbb{C}\simeq\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$, переставляющего слагаемые разложения: $$(z_1,z_2)\mapsto(z_2,z_1).$$ Норма $N(z)=z\bar{z}$ комплексных чисел продолжается до квадратичной формы $N(z_1,z_2)=z_1z_2$ в алгебре $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$.

Аналогичные утверждения про кватернионы содержатся в задачах 19.1—19.2.

Выясним строение алгебры $\mathbb{O}(\mathbb{C})$ комплексных октав. Чтобы избежать путаницы, будем обозначать мнимые единицы алгебры $\mathbb{O}$ прописными буквами $I,J,K,L,\dots$

Рассмотрим группу $H$ автоморфизмов алгебры $\mathbb{O}$, оставляющих на месте мнимую единицу $I$. Это $8(=5+3)$-мерная связная компактная группа Ли. Её действие в 6-мерном пространстве $V=\langle1,I\rangle^{\perp}$ перестановочно с оператором $L_I$ левого умножения на $I$. Так как $L_I^2=-\mathcal{E}$, то оператор $L_I$ задаёт комплексную структуру в пространстве $V$. Так как оператор $L_I$ ортогонален, то скалярное умножение в $V$ является вещественной частью положительно определённой эрмитовой формы (задача 19.3). Таким образом, группа $H$ содержится в унитарной группе $U(V)=U_3$. Из соображений размерности следует, что $$ H=SU(V)=SU_3 $$ (поскольку ортогональное дополнение к касательной алгебре Ли $\mathfrak{h}$ в $\mathfrak{u}_3$ относительно отрицательно определённого канонического скалярного умножения одномерно и $\operatorname{ad}(\mathfrak{h})$-инвариантно, а значит, $\operatorname{ad}(\mathfrak{u}_3)$-инвариантно и совпадает с пространством $\mathfrak{su}_3^{\perp}$ скалярных косоэрмитовых матриц).

В частности, группа $H$ содержит автоморфизм $\theta$ порядка $3$, действующий в пространстве $V$ как умножение на кубический корень из единицы $$\omega=-\frac12+\boldsymbol{i}\frac{\sqrt3}2.$$ Этот автоморфизм будет играть ключевую роль в дальнейшем.

В комплексификации $V(\mathbb{C})$ пространства $V$ оператор $L_I$ приводится к диагональному виду с собственными значениями $\pm\boldsymbol{i}$. А именно, векторы $$K+\boldsymbol{i}J,\quad IL+\boldsymbol{i}L,\quad-KL+\boldsymbol{i}JL$$ образуют базис собственного подпространства $V(\mathbb{C})_+$ для собственного значения $\boldsymbol{i}$, а комплексно сопряжённые им векторы — базис собственного подпространства $V(\mathbb{C})_-$ для собственного значения $-\boldsymbol{i}$.

Алгебра $A=\mathbb{O}(\mathbb{C})$ разлагается в прямую сумму собственных подпространств оператора $\theta$, отвечающих собственным значениям $\omega^{-1},1,\omega$: $$ (1)\qquad\qquad\qquad\qquad\quad A=V(\mathbb{C})_-\oplus(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C})\oplus V(\mathbb{C})_+=A_{-1}\oplus A_0\oplus A_1 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ (слагаемое $A_0=\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$ — это комплексификация подалгебры $\mathbb{C}\subset\mathbb{O}$). Это разложение является градуировкой по модулю 3 в том смысле, что $$A_k\cdot A_l\subseteq A_{k+l},$$ где индексы рассматриваются по модулю 3.

Подпространство $A_0$ ортогонально $A_{\pm1}$ относительно квадратичной формы, получаемой продолжением октавной нормы, а подпространства $A_{\pm1}$ изотропны, и указанная квадратичная форма задаёт невырожденное спаривание между ними. Таким образом, пространства $A_1$ и $A_{-1}$ двойственны друг другу, и эта двойственность согласована с действием группы $H$ (а также её комплексификации), сохраняющим квадратичную форму.

Введя новые обозначения, будем считать, что $$A_1=W,\qquad A_{-1}=W^*,\qquad\dim W=3,$$ причём группа $SL(W)=SL_3(\mathbb{C})$ (комплексификация группы $H$) действует на $W$ тавтологически, а на $W^*$ — как в сопряжённом пространстве. Градуировка (1) переписывается в виде $$ (2)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \mathbb{O}(\mathbb{C})=W^*\oplus(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C})\oplus W. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$

Подалгебра $\mathbb{H}\subset\mathbb{O}$ содержит $\mathbb{C}$ и инвариантна относительно автоморфизма $\theta$. Следовательно, $$ \mathbb{H}(\mathbb{C})=(\mathbb{H}(\mathbb{C})\cap W^*)\oplus(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C})\oplus(\mathbb{H}(\mathbb{C})\cap W). $$ При отождествлении алгебры $\mathbb{H}(\mathbb{C})$ с $L_2(\mathbb{C})$ слагаемому $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$ отвечают диагональные матрицы, а слагаемым $\mathbb{H}(\mathbb{C})\cap W$ и $\mathbb{H}(\mathbb{C})\cap W^*$ соответствуют верхние и нижние нильтреугольные матрицы. Автоморфизм $\theta$ действует на $L_2(\mathbb{C})$ сопряжением при помощи матрицы $\operatorname{diag}(\omega^{-1},\omega)$.

Попытаемся продолжить эту матричную интерпретацию комплексных кватернионов до матричной интерпретации комплексных октав, заменив внедиагональные элементы на векторы пространств $W$ и $W^*$ соответственно.

Умножение вектора пространства $W$ или $W^*$ на диагональную матрицу (с любой стороны) есть линейный оператор, перестановочный с действием группы $SL(W)$ и, cледовательно, скалярный. Для определения этих скаляров достаточно рассмотреть действие на векторы из $W\cap\mathbb{H}(\mathbb{C})$ (соответственно $W^*\cap\mathbb{H}(\mathbb{C})$). В результате получаем, что умножение на диагональную матрицу происходит по обычным правилам: при умножении на $\operatorname{diag}(\lambda,\mu)$ векторы из $W$ умножаются на $\lambda$, а векторы из $W^*$ — на $\mu$, а при умножении справа — наоборот.

Определим теперь следующие билинейные отображения, задаваемые умножением комплексных октав: \begin{align} (3)\hphantom{{}'}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad&&W\times W^*&\to\mathbb{C}\oplus\mathbb{C},\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ (3') \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad&&W^*\times W&\to\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \end{align} Эти отображения должны быть $SL(W)$-эквивариантны, а их ограничения на пересечения пространств $W$ и $W^*$ с $\mathbb{H}(\mathbb{C})$ нам известны. Оказывается, что этого достаточно для их определения (задача 19.4).

Всё это хорошо согласуется с обычным правилом умножения матриц. Однако остаются ещё задаваемые умножением комплексных октав билинейные отображения \begin{align} (4)\hphantom{{}'}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad&&W\times W\hphantom{{}^*} &\to W^*,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ (4') \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad&&W^*\times W^* &\to W. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \end{align} Если они окажутся ненулевыми, то они нарушат это правило. На самом деле это правило должно быть нарушено, так как иначе алгебра $\mathbb{O}(\mathbb{C})$ оказалась бы ассоциативной.

Отображения (4) и (4') также должны быть $SL(W)$-эквивариантными. Имеется очевидный способ построения таких отображений. Фиксируем в пространстве $W$ кососимметрическую трилинейную форму $\det$ (определённую с точностью до скалярного множителя) и определим векторное произведение $x\times y\in W^*$ векторов $x,y\in W$ так, чтобы $$\langle x\times y,z\rangle=\det(x,y,z),\qquad\forall z\in W.$$ Оказывается, так устроены все $SL(W)$-эквивариантные билинейные отображения $W\times W\to W^*$ (задача 19.5). То же самое, разумеется, можно сказать про отображения $W^*\times W^*\to W$.

Кососимметрические трилинейные формы $\det$ и $\det^*$ в пространствах $W$ и $W^*$ можно выбрать согласованным образом — так, чтобы выполнялось равенство $$ \det(x,y,z)\cdot\det\nolimits^*(x^*,y^*,z^*)= \begin{vmatrix} \langle x,x^*\rangle & \langle x,y^*\rangle & \langle x,z^*\rangle \\ \langle y,x^*\rangle & \langle y,y^*\rangle & \langle y,z^*\rangle \\ \langle z,x^*\rangle & \langle z,y^*\rangle & \langle z,z^*\rangle \end{vmatrix} $$ (другими словами, $\det$ — определитель матрицы координат тройки векторов в некотором базисе пространства $W$, а $\det^*$ — определитель матрицы координат тройки ковекторов в двойственном базисе пространства $W^*$).

Можно считать, что форма $\det$ выбрана так, что отображение (4) является векторным умножением относительно $\det$. Тогда отображение (4') будет пропорционально векторному умножению относительно $\det^*$. Остаётся определить коэффициент пропорциональности. Можно показать, что он равен $-1$.

Итак, умножение в алгебре $\mathbb{O}(\mathbb{C})$ в матричной форме выглядит следующим образом: $$ \begin{pmatrix} \alpha_1 & x \\ x^* & \alpha_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \beta_1 & y \\ y^* & \beta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1\beta_1+\langle x,y^*\rangle & \alpha_1y+\beta_2x-x^*\times y^* \\ \alpha_2y^*+\beta_1x^*+x\times y & \alpha_2\beta_2+\langle x^*,y\rangle \end{pmatrix}. $$

предыдущий семинар	4 марта 2016 г.	следующий семинар
Тема 19 Комплексные октавы Строение алгебраических объектов, определённых над полем $\mathbb{R}$, часто можно лучше понять, рассматривая их комплексификации. Например, если $A$ — алгебра над $\mathbb{R}$, то её комплексификация $A(\mathbb{C})=\mathbb{C}\otimes A$ есть алгебра над $\mathbb{C}$. В базисе, составленном из вещественных векторов, алгебра $A(\mathbb{C})$ имеет такую же таблицу умножения, что и алгебра $A$, но в другом базисе её таблица умножения может выглядеть проще. Каждый элемент алгебры $A(\mathbb{C})$ однозначно представляется в виде $c=a+\boldsymbol{i}b$, где $a,b\in A$. Элемент $\bar{c}=a-\boldsymbol{i}b$ назовём комплексно сопряжённым к $c$. Операция комплексного сопряжения является антилинейным автоморфизмом алгебры $A(\mathbb{C})$, множеством неподвижных точек которого является исходная алгебра $A$. Очевидно, что $\mathbb{C}\otimes\mathbb{R}=\mathbb{C}$. Выясним, как устроена алгебра $\mathbb{C}\otimes\mathbb{C}$. Условимся обозначать мнимую единицу "внешнего" поля $\mathbb{C}$, т.е. расширенного поля скаляров (первого множителя), как обычно, через $\boldsymbol{i}$, а мнимую единицу исходного поля $\mathbb{C}$ как алгебры над $\mathbb{R}$ (второго множителя) через $I$. Имеем $(\boldsymbol{i}I)^2=\boldsymbol{i}^2I^2=1$, и в базисе $$e_1=\frac{1+\boldsymbol{i}I}2,\qquad e_2=\frac{1-\boldsymbol{i}I}2$$ таблица умножения алгебры $\mathbb{C}\otimes\mathbb{C}$ имеет вид: $$e_1^2=e_1,\qquad e_2^2=e_2,\qquad e_1e_2=e_2e_1=0.$$ Это означает, что $$\mathbb{C}\otimes\mathbb{C}\simeq\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$$ — прямая сумма двух копий поля $\mathbb{C}$. Комплексное сопряжение в этой алгебре при указанном изоморфизме приобретает вид $$(z_1,z_2)\mapsto(\bar{z}_2,\bar{z}_1).$$ Всякий автоморфизм (антиавтоморфизм) вещественной алгебры $A$ однозначно продолжается до автоморфизма (антиавтоморфизма) алгебры $A(\mathbb{C})$. В частности, комплексное сопряжение поля $\mathbb{C}$ продолжается до автоморфизма алгебры $\mathbb{C}\otimes\mathbb{C}\simeq\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$, переставляющего слагаемые разложения: $$(z_1,z_2)\mapsto(z_2,z_1).$$ Норма $N(z)=z\bar{z}$ комплексных чисел продолжается до квадратичной формы $N(z_1,z_2)=z_1z_2$ в алгебре $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$. Аналогичные утверждения про кватернионы содержатся в задачах 19.1—19.2. Выясним строение алгебры $\mathbb{O}(\mathbb{C})$ комплексных октав. Чтобы избежать путаницы, будем обозначать мнимые единицы алгебры $\mathbb{O}$ прописными буквами $I,J,K,L,\dots$ Рассмотрим группу $H$ автоморфизмов алгебры $\mathbb{O}$, оставляющих на месте мнимую единицу $I$. Это $8(=5+3)$-мерная связная компактная группа Ли. Её действие в 6-мерном пространстве $V=\langle1,I\rangle^{\perp}$ перестановочно с оператором $L_I$ левого умножения на $I$. Так как $L_I^2=-\mathcal{E}$, то оператор $L_I$ задаёт комплексную структуру в пространстве $V$. Так как оператор $L_I$ ортогонален, то скалярное умножение в $V$ является вещественной частью положительно определённой эрмитовой формы (задача 19.3). Таким образом, группа $H$ содержится в унитарной группе $U(V)=U_3$. Из соображений размерности следует, что $$ H=SU(V)=SU_3 $$ (поскольку ортогональное дополнение к касательной алгебре Ли $\mathfrak{h}$ в $\mathfrak{u}_3$ относительно отрицательно определённого канонического скалярного умножения одномерно и $\operatorname{ad}(\mathfrak{h})$-инвариантно, а значит, $\operatorname{ad}(\mathfrak{u}_3)$-инвариантно и совпадает с пространством $\mathfrak{su}_3^{\perp}$ скалярных косоэрмитовых матриц). В частности, группа $H$ содержит автоморфизм $\theta$ порядка $3$, действующий в пространстве $V$ как умножение на кубический корень из единицы $$\omega=-\frac12+\boldsymbol{i}\frac{\sqrt3}2.$$ Этот автоморфизм будет играть ключевую роль в дальнейшем. В комплексификации $V(\mathbb{C})$ пространства $V$ оператор $L_I$ приводится к диагональному виду с собственными значениями $\pm\boldsymbol{i}$. А именно, векторы $$K+\boldsymbol{i}J,\quad IL+\boldsymbol{i}L,\quad-KL+\boldsymbol{i}JL$$ образуют базис собственного подпространства $V(\mathbb{C})_+$ для собственного значения $\boldsymbol{i}$, а комплексно сопряжённые им векторы — базис собственного подпространства $V(\mathbb{C})_-$ для собственного значения $-\boldsymbol{i}$. Алгебра $A=\mathbb{O}(\mathbb{C})$ разлагается в прямую сумму собственных подпространств оператора $\theta$, отвечающих собственным значениям $\omega^{-1},1,\omega$: $$ (1)\qquad\qquad\qquad\qquad\quad A=V(\mathbb{C})_-\oplus(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C})\oplus V(\mathbb{C})_+=A_{-1}\oplus A_0\oplus A_1 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ (слагаемое $A_0=\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$ — это комплексификация подалгебры $\mathbb{C}\subset\mathbb{O}$). Это разложение является градуировкой по модулю 3 в том смысле, что $$A_k\cdot A_l\subseteq A_{k+l},$$ где индексы рассматриваются по модулю 3. Подпространство $A_0$ ортогонально $A_{\pm1}$ относительно квадратичной формы, получаемой продолжением октавной нормы, а подпространства $A_{\pm1}$ изотропны, и указанная квадратичная форма задаёт невырожденное спаривание между ними. Таким образом, пространства $A_1$ и $A_{-1}$ двойственны друг другу, и эта двойственность согласована с действием группы $H$ (а также её комплексификации), сохраняющим квадратичную форму. Введя новые обозначения, будем считать, что $$A_1=W,\qquad A_{-1}=W^,\qquad\dim W=3,$$ причём группа $SL(W)=SL_3(\mathbb{C})$ (комплексификация группы $H$) действует на $W$ тавтологически, а на $W^$ — как в сопряжённом пространстве. Градуировка (1) переписывается в виде $$ (2)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \mathbb{O}(\mathbb{C})=W^\oplus(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C})\oplus W. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ Подалгебра $\mathbb{H}\subset\mathbb{O}$ содержит $\mathbb{C}$ и инвариантна относительно автоморфизма $\theta$. Следовательно, $$ \mathbb{H}(\mathbb{C})=(\mathbb{H}(\mathbb{C})\cap W^)\oplus(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C})\oplus(\mathbb{H}(\mathbb{C})\cap W). $$ При отождествлении алгебры $\mathbb{H}(\mathbb{C})$ с $L_2(\mathbb{C})$ слагаемому $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$ отвечают диагональные матрицы, а слагаемым $\mathbb{H}(\mathbb{C})\cap W$ и $\mathbb{H}(\mathbb{C})\cap W^$ соответствуют верхние и нижние нильтреугольные матрицы. Автоморфизм $\theta$ действует на $L_2(\mathbb{C})$ сопряжением при помощи матрицы $\operatorname{diag}(\omega^{-1},\omega)$. Попытаемся продолжить эту матричную интерпретацию комплексных кватернионов до матричной интерпретации комплексных октав, заменив внедиагональные элементы на векторы пространств $W$ и $W^$ соответственно. Умножение вектора пространства $W$ или $W^$ на диагональную матрицу (с любой стороны) есть линейный оператор, перестановочный с действием группы $SL(W)$ и, cледовательно, скалярный. Для определения этих скаляров достаточно рассмотреть действие на векторы из $W\cap\mathbb{H}(\mathbb{C})$ (соответственно $W^\cap\mathbb{H}(\mathbb{C})$). В результате получаем, что умножение на диагональную матрицу происходит по обычным правилам: при умножении на $\operatorname{diag}(\lambda,\mu)$ векторы из $W$ умножаются на $\lambda$, а векторы из $W^$ — на $\mu$, а при умножении справа — наоборот. Определим теперь следующие билинейные отображения, задаваемые умножением комплексных октав: \begin{align} (3)\hphantom{{}'}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad&&W\times W^&\to\mathbb{C}\oplus\mathbb{C},\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ (3') \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad&&W^\times W&\to\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \end{align} Эти отображения должны быть $SL(W)$-эквивариантны, а их ограничения на пересечения пространств $W$ и $W^$ с $\mathbb{H}(\mathbb{C})$ нам известны. Оказывается, что этого достаточно для их определения (задача 19.4). Всё это хорошо согласуется с обычным правилом умножения матриц. Однако остаются ещё задаваемые умножением комплексных октав билинейные отображения \begin{align} (4)\hphantom{{}'}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad&&W\times W\hphantom{{}^} &\to W^,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ (4') \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad&&W^\times W^ &\to W. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \end{align} Если они окажутся ненулевыми, то они нарушат это правило. На самом деле это правило должно быть нарушено, так как иначе алгебра $\mathbb{O}(\mathbb{C})$ оказалась бы ассоциативной. Отображения (4) и (4') также должны быть $SL(W)$-эквивариантными. Имеется очевидный способ построения таких отображений. Фиксируем в пространстве $W$ кососимметрическую трилинейную форму $\det$ (определённую с точностью до скалярного множителя) и определим векторное произведение $x\times y\in W^$ векторов $x,y\in W$ так, чтобы $$\langle x\times y,z\rangle=\det(x,y,z),\qquad\forall z\in W.$$ Оказывается, так устроены все $SL(W)$-эквивариантные билинейные отображения $W\times W\to W^$ (задача 19.5). То же самое, разумеется, можно сказать про отображения $W^\times W^\to W$. Кососимметрические трилинейные формы $\det$ и $\det^$ в пространствах $W$ и $W^$ можно выбрать согласованным образом — так, чтобы выполнялось равенство $$ \det(x,y,z)\cdot\det\nolimits^(x^,y^,z^)= \begin{vmatrix} \langle x,x^\rangle & \langle x,y^\rangle & \langle x,z^\rangle \\ \langle y,x^\rangle & \langle y,y^\rangle & \langle y,z^\rangle \\ \langle z,x^\rangle & \langle z,y^\rangle & \langle z,z^\rangle \end{vmatrix} $$ (другими словами, $\det$ — определитель матрицы координат тройки векторов в некотором базисе пространства $W$, а $\det^$ — определитель матрицы координат тройки ковекторов в двойственном базисе пространства $W^$). Можно считать, что форма $\det$ выбрана так, что отображение (4) является векторным умножением относительно $\det$. Тогда отображение (4') будет пропорционально векторному умножению относительно $\det^$. Остаётся определить коэффициент пропорциональности. Можно показать, что он равен $-1$. Итак, умножение в алгебре $\mathbb{O}(\mathbb{C})$ в матричной форме выглядит следующим образом: $$ \begin{pmatrix} \alpha_1 & x \\ x^* & \alpha_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \beta_1 & y \\ y^* & \beta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1\beta_1+\langle x,y^\rangle & \alpha_1y+\beta_2x-x^\times y^* \\ \alpha_2y^+\beta_1x^+x\times y & \alpha_2\beta_2+\langle x^,y\rangle \end{pmatrix}. $$ Задачи Задача 19.1. $\mathbb{H}(\mathbb{C})\simeq L_2(\mathbb{C})$, причём комплексификации поля $\mathbb{C}\subset\mathbb{H}$, соответствует подалгебра диагональных матриц, а операция комплексного сопряжения имеет вид $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \hphantom{-}\bar{d} & -\bar{c} \\ -\bar{b} & \hphantom{-}\bar{a} \end{pmatrix}. $$ Задача 19.2. Кватернионное сопряжение продолжается до следующего антиавтоморфизма алгебры $\mathbb{H}(\mathbb{C})\simeq L_2(\mathbb{C})$: $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \hphantom{-}d & -b \\ -c & \hphantom{-}a \end{pmatrix}, $$ а норма кватерниона продолжается до квадратичной формы в $L_2(\mathbb{C})$, равной определителю матрицы. Задача 19.3. Вещественная симметрическая билинейная форма $f$ в комплексном векторном пространстве $V$ является вещественной частью некоторой эрмитовой формы $h$ тогда и только тогда, когда $$f(\boldsymbol{i}x,\boldsymbol{i}y)=f(x,y),\qquad\forall x,y\in V.$$ При этом форма $h$ определяется по $f$ однозначно. Задача 19.4. Отображение (3) переводит пару $(x,x^)$ в пару $(\langle x,x^\rangle,0)$, а отображение (3') переводит пару $(x^,x)$ в пару $(0,\langle x,x^\rangle)$ (где $\langle\cdot,\cdot\rangle$ обозначает спаривание векторов и ковекторов). Задача 19.5. Всякое $SL(W)$-эквивариантное билинейное отображение $W\times W\to W^$ есть векторное умножение при подходящем выборе формы $\det$.