предыдущий семинар 11 марта 2016 г. следующий семинар

Тема 20

Алгебра Ли $\mathsf{G}_2$

Градуировка по модулю 3 алгебры $A=\mathbb{O}(\mathbb{C})$ определяет градуировку по модулю 3 алгебры Ли её дифференцирований: $$ (1)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \operatorname{Der}\mathbb{O}(\mathbb{C})=\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_{-1}\oplus\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ где $$\mathfrak{g}_k=\{\partial\in\mathfrak{g}\mid\partial{A_l}\subseteq A_{l+k},\ \forall l\}.$$

По задаче 20.2 $\dim\mathfrak{g}=\dim\operatorname{Aut}\mathbb{O}=14$. Мы уже знаем, что $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sl}_3(\mathbb{C})$.

Рассмотрим теперь дифференцирование $\partial\in\mathfrak{g}_1$. Пусть $e_1,e_2$ — единицы двух копий поля $\mathbb{C}$, составляющих $A_0$. Так как $e_1+e_2=1$ и $\partial1=0$, то $$\partial{e_1}=-\partial{e_2}=w\in W=A_1.$$ Далее, для всякого $x^*\in W^*=A_{-1}$ имеем $\partial{x^*}=\lambda e_1+\mu e_2$ ($\lambda,\mu\in\mathbb{C}$). Дифференцируя равенства $e_1x^*=x^*e_2=0$, получаем $\lambda=-\langle w,x^*\rangle$, $\mu=\langle w,x^*\rangle$. Следовательно, $$\partial{x^*}=\langle w,x^*\rangle(e_2-e_1).$$ Наконец, дифференцируя равенство $xe_1=0$ при $x\in W$, получаем $$\partial{x}=w\times x.$$ Определённое таким образом дифференцирование обозначим через $\partial_w$.

Аналогично, всякое дифференцирование $\partial\in\mathfrak{g}_{-1}$ действует по формулам \begin{align} \partial{e_1}&=-\partial{e_2}=-w^*,\\ \partial{x} &=\langle w^*,x\rangle(e_1-e_2),\\ \partial{x^*}&=-w^*\times x^* \end{align} при некотором $w^*\in W^*$. Такое дифференцирование обозначим через $\partial_{w^*}$.

Замечание. Из соображений размерности следует что для любых $w\in W$, $w^*\in W^*$ отображения $\partial_w,\partial_{w^*}$ являются дифференцированиями (что, конечно, нетрудно проверить и непосредственно).

Итак, после очевидных отождествлений градуировка (1) может быть переписана в виде $$ (2)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \operatorname{Der}\mathbb{O}(\mathbb{C})=W^*\oplus\mathfrak{sl}(W)\oplus W. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ Задача 20.3 описывает операцию коммутирования в терминах этой градуировки.

Найдём теперь корневое разложение алгебры Ли $\mathfrak{g}=\operatorname{Der}\mathbb{O}(\mathbb{C})$.

Пусть $T$ — максимальный тор группы Ли $SL(W)$, состоящий из всех (унимодулярных) диагональных операторов (в некотором фиксированном базисе пространства $W$), и $\mathfrak{t}$ — его касательная алгебра Ли. Обозначим через $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ линейные функции на $\mathfrak{t}$, равные соответствующим диагональным элементам матрицы. Как мы видели раньше, корневое разложение алгебры Ли $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sl}(W)$ имеет вид $$\mathfrak{g}_0=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{i\ne j}\mathbb{C}E_{ij},$$ причём корневое подпространство $\mathbb{C}E_{ij}$ отвечает корню $\alpha_{ij}=\varepsilon_i-\varepsilon_j$.

В пространстве $W$ алгебра $\mathfrak{t}$ действует с весами $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ (по определению), а в пространстве $W^*$ — с весами $-\varepsilon_1,-\varepsilon_2,-\varepsilon_3$. Отсюда следует, что $\mathfrak{t}$ — максимальная коммутативная подалгебра во всей алгебре Ли $\mathfrak{g}$ и, значит, $T$ — максимальный тор во всей группе Ли $G=\operatorname{Aut}\mathbb{O}(\mathbb{C})$. Система корней алгебры $\mathfrak{g}$ относительно $\mathfrak{t}$ состоит из корней $\pm\varepsilon_i$ ($i=1,2,3$) и $\varepsilon_i-\varepsilon_j$ ($i\ne j$).

Алгебра $\mathfrak{g}=\operatorname{Der}\mathbb{O}(\mathbb{C})$ — это комплексная простая алгебра Ли типа $\mathsf{G}_2$.


Задачи

Задача 20.1. Доказать, что $\operatorname{Der}\mathbb{O}(\mathbb{C})=\mathfrak{g}_{-1}\oplus\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1$ и что это градуировка по модулю 3, т.е. $[\mathfrak{g}_k,\mathfrak{g}_l]\subseteq\mathfrak{g}_{k+l}$ (сложение индексов происходит по модулю 3).

Задача 20.2. $\dim\operatorname{Der}\mathbb{O}(\mathbb{C})=\dim\operatorname{Der}\mathbb{O}$.

Задача 20.3. Операция коммутирования в алгебре $\operatorname{Der}\mathbb{O}(\mathbb{C})$ в терминах градуировки (2) устроена следующим образом: \begin{align} [\mathcal{A},\mathcal{B}]&=\mathcal{A}\mathcal{B}-\mathcal{B}\mathcal{A} && (\mathcal{A},\mathcal{B}\in\mathfrak{sl}(W)); \\ [\mathcal{A},x] &=\mathcal{A}x && (\mathcal{A}\in\mathfrak{sl}(W),\ x\in W); \\ [\mathcal{A},x^*] &=-\mathcal{A}^*x^* && (\mathcal{A}\in\mathfrak{sl}(W),\ x^*\in W^*);\\ [x,y] &=-2x\times y && (x,y\in W); \\ [x^*,y^*] &=2x^*\times y^* && (x^*,y^*\in W^*); \\ [x,y^*] &=3x\otimes y^*-\langle x,y^*\rangle\mathcal{E} && (x\in W,y^*\in W^*) \\ \end{align} (здесь тензор $x\otimes y^*$ рассматривается как линейный оператор $w\mapsto\langle w,y^*\rangle{x}$ в пространстве $W$).

Задача 20.4. Алгебра Ли $\operatorname{Der}\mathbb{O}(\mathbb{C})$ (а, значит, и $\operatorname{Der}\mathbb{O}$) проста.