предыдущий семинар 18 марта 2016 г. следующий семинар

Тема 21

Градуированные алгебры Ли

Особая простая алгебра Ли типа $\mathsf{G}_2$ была нами описана вместе с градуировкой по модулю 3. Обсудим подробнее (периодические) градуировки на алгебрах Ли.

Определение. Алгебра Ли $\mathfrak{g}$ градуирована по модулю $m$, если имеет место разложение $$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1\oplus\dots\oplus\mathfrak{g}_{m-1}$$ (индексы интерпретируются как вычеты по модулю $m$), причём $$ (1)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad [\mathfrak{g}_k,\mathfrak{g}_l]\subseteq\mathfrak{g}_{k+l} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ (сложение индексов происходит по модулю $m$).

Из свойства (1) немедленно вытекает, что $\mathfrak{g}_0$ — подалгебра Ли, а подпространства $\mathfrak{g}_k$ инвариантны относительно ограничения присоединённого представления на подалгебру $\mathfrak{g}_0$. Таким образом, возникают линейные представления $$ \rho_k:\mathfrak{g}_0\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{g}_k),\qquad \rho_k(\xi)\eta=[\xi,\eta]\qquad (\xi\in\mathfrak{g}_0,\ \eta\in\mathfrak{g}_k). $$ Если $\mathfrak{g}$ — касательная алгебра Ли группы Ли $G$, а $\mathfrak{g}_0$ — касательная алгебра Ли её подгруппы Ли $G_0$, то $\rho_k=dR_k$, где $R_k:G_0\to GL(\mathfrak{g}_k)$ — линейное представление, получаемое ограничением на подгруппу $G_0$ и подпространство $\mathfrak{g}_k$ присоединённого представления группы $G$.

Операция коммутирования в алгебре $\mathfrak{g}$ определяет билинейные отображения $$ \varphi_{k,l}:\mathfrak{g}_k\times\mathfrak{g}_l\to\mathfrak{g}_{k+l},\qquad \varphi_{k,l}(\xi,\eta)=[\xi,\eta]\qquad (\xi\in\mathfrak{g}_k,\ \eta\in\mathfrak{g}_l), $$ обладающие следующими свойствами: $$ (2)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \varphi_{k,l}(\xi,\eta)=-\varphi_{l,k}(\eta,\xi)\qquad(\xi\in\mathfrak{g}_k,\ \eta\in\mathfrak{g}_l) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ (в частности, отображения $\varphi_{k,k}$ кососимметричны), $$ (3)\quad \varphi_{i+j,k}\bigl(\varphi_{i,j}(\xi,\eta),\zeta\bigr)+ \varphi_{j+k,i}\bigl(\varphi_{j,k}(\eta,\zeta),\xi\bigr)+ \varphi_{k+i,j}\bigl(\varphi_{k,i}(\zeta,\xi),\eta\bigr)=0 \qquad(\xi\in\mathfrak{g}_i,\ \eta\in\mathfrak{g}_j,\ \zeta\in\mathfrak{g}_k). \quad $$ Отображение $\varphi_{0,0}$ — это операция коммутирования в алгебре $\mathfrak{g}_0$, а $\varphi_{0,k}$ определяется линейным представлением $\rho_k$: $$ (4)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \varphi_{0,k}(\xi,\eta)=\rho_k(\xi)\eta\qquad(\xi\in\mathfrak{g}_0,\ \eta\in\mathfrak{g}_k). \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ Структура алгебры Ли на $\mathfrak{g}$ однозначно определяется структурой алгебры Ли на $\mathfrak{g}_0$, представлениями $\rho_k$ ($k\ne0$) и отображениями $\varphi_{k,l}$ ($k,l\ne0$).

Обратно, предположим, что нам задана алгебра Ли $\mathfrak{g}_0$ (например, касательная алгебра группы Ли $G_0$) и её линейные представления $\rho_k$ в пространствах $\mathfrak{g}_k$, $k=1,\dots,m-1$ (например, дифференциалы линейных представлений $R_k$ группы $G_0$). Как определить на пространстве $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1\oplus\dots\oplus\mathfrak{g}_{m-1}$ структуру алгебры Ли, градуированной по модулю $m$, для которой $\mathfrak{g}_k$ ($k=0,\dots,m-1$) будут компонентами градуировки, и коммутирование $\mathfrak{g}_0$ с $\mathfrak{g}_k$ будет задаваться представлением $\rho_k$?

Для этого необходимо и достаточно задать билинейные отображения $\varphi_{k,l}:\mathfrak{g}_k\times\mathfrak{g}_l\to\mathfrak{g}_{k+l}$, удовлетворяющие условиям (2) и (3). При этом, если хотя бы один из индексов $k,l$ равен $0$, то отображение $\varphi_{k,l}$ определяется с помощью формулы (4) (где $\rho_0$ — присоединённое представление алгебры $\mathfrak{g}_0$) и свойства (2), т.е. достаточно задать $m(m-1)/2$ отображений $\varphi_{k,l}$ при $k,l\ne0$. Проверку свойства (3) можно упростить (задача 21.2).

Мы можем заменить представления $\rho_k$ на изоморфные им представления $\rho'_k:\mathfrak{g}_0\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{g}'_k)$ и перенести отображения $\varphi_{k,l}$ на пространства $\mathfrak{g}'_1,\dots,\mathfrak{g}'_{m-1}$ посредством изоморфизмов $\mathcal{C}_k:\mathfrak{g}_k\overset\sim\longrightarrow\mathfrak{g}'_k$: $$ \varphi'_{k,l}(\xi',\eta')=\mathcal{C}_{k+l}\varphi_{k,l}(\mathcal{C}_k^{-1}\xi',\mathcal{C}_l^{-1}\eta')\qquad (\xi'\in\mathfrak{g}'_k,\ \eta'\in\mathfrak{g}'_l) $$ (считая $\mathcal{C}_0=\mathcal{E}$). При этом на пространстве $\mathfrak{g}'=\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}'_1\oplus\dots\oplus\mathfrak{g}'_{m-1}$ мы получим структуру градуированной алгебры Ли, изоморфной алгебре $\mathfrak{g}$.

В частности, мы можем применить это рассуждение к случаю, когда $\rho_k=\rho'_k$ и $\mathcal{C}_k$ — автоморфизмы представлений. Если, например, $\mathfrak{g}_0$ — комплексная алгебра Ли, и $\rho_k$ — её неприводимые комплексные представления, то по лемме Шура $\mathcal{C}_k=\lambda_k\mathcal{E}$ ($\lambda_k\in\mathbb{C}^{\times}$), и отображения $\varphi_{k,l}$ меняются так: $$\varphi_{k,l}'=\lambda_{k+l}\lambda_k^{-1}\lambda_l^{-1}\varphi_{k,l}.$$ На это можно смотреть как на изменение записи операции коммутирования при замене координат в алгебре Ли $\mathfrak{g}$.


Задачи

Задача 21.1. Если градуированная по модулю $m$ алгебра Ли $\mathfrak{g}$ редуктивна, то её подалгебра Ли $\mathfrak{g}_0$ также редуктивна, $\mathfrak{g}_k\perp\mathfrak{g}_l$ при $k+l\ne0$, а подпространства $\mathfrak{g}_k$ и $\mathfrak{g}_{-k}$ двойственны друг другу посредством канонического скалярного умножения, причём $\rho_{-k}\simeq\rho_k^*$.

Задача 21.2. Пусть $\mathfrak{g}_0$ — алгебра Ли, $\rho_k:\mathfrak{g}_0\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{g}_k)$ ($k=1,\dots,m-1$) — её линейные представления и $\varphi_{k,l}:\mathfrak{g}_k\times\mathfrak{g}_l\to\mathfrak{g}_{k+l}$ — билинейные отображения, удовлетворяющие условию (2), причём $\varphi_{0,0}$ — это операция коммутирования в $\mathfrak{g}_0$, а $\varphi_{k,0},\varphi_{0,k}$ определяются формулами (2) и (4).

а) Условие (3) выполнено автоматически, если хотя бы два из трёх индексов $i,j,k$ равны $0$.

б) Пусть $\mathfrak{g}_0$ — касательная алгебра Ли группы Ли $G_0$, и $\rho_k=dR_k$ для линейных представлений $R_k:G_0\to GL(\mathfrak{g}_k)$. Для выполнения условия (3) в случаях, когда один из индексов $i,j,k$ равен $0$, достаточно, а если группа $G_0$ связна, то и необходимо, чтобы отображения $\varphi_{k,l}$ были $G_0$-эквивариантными (т.е. перестановочными с действием группы $G_0$).