Пусть $W,W',W''$ — три 3-мерных комплексных векторных пространства. Положим \begin{align} \mathfrak{g}_0 &= \mathfrak{sl}(W) \oplus \mathfrak{sl}(W') \oplus \mathfrak{sl}(W''), \\ \mathfrak{g}_1 &= W \otimes W' \otimes W'', \\ \mathfrak{g}_{-1} &= W^* \otimes (W')^* \otimes (W'')^*. \end{align} Алгебру Ли $\mathfrak{g}_0$ можно рассматривать как подалгебру в $\mathfrak{sl}(W\oplus W'\oplus W'')$, состоящую из "блочно-диагональных" операторов. Представления алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ в пространствах $\mathfrak{g}_1$ и $\mathfrak{g}_{-1}$ являются дифференциалами естественных представлений группы Ли $G_0=SL(W)\times SL(W')\times SL(W'')$.

Для того, чтобы определить на пространстве $$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_{-1}\oplus\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1$$ структуру алгебры Ли, градуированной по модулю 3, нужно задать $G_0$-эквивариантные билинейные отображения \begin{align} \varphi_{1,1} &:\mathfrak{g}_1\times\mathfrak{g}_1\to\mathfrak{g}_{-1}, \\ \varphi_{-1,-1}&:\mathfrak{g}_{-1}\times\mathfrak{g}_{-1}\to\mathfrak{g}_1,\\ \varphi_{1,-1} &:\mathfrak{g}_1\times\mathfrak{g}_{-1}\to\mathfrak{g}_0, \end{align} удовлетворяющие условиям (2) (т.е. $\varphi_{1,1}$ и $\varphi_{-1,-1}$ кососимметричны) и (3).

Рассмотрим следующие отображения (их достаточно определить на разложимых тензорах): \begin{align} \varphi_{1,1}(x\otimes x'\otimes x'',y\otimes y'\otimes y'') &=\alpha\cdot(x\times y)\otimes(x'\times y')\otimes(x''\times y''), \\ \varphi_{-1,-1}(a\otimes a'\otimes a'',b\otimes b'\otimes b'')&= \beta\cdot(a\times b)\otimes(a'\times b')\otimes(a''\times b''), \\ \varphi_{1,-1}(x\otimes x'\otimes x'',a\otimes a'\otimes a'') &=\gamma\cdot\left(x\otimes a-\tfrac{\langle x,a\rangle}3\mathcal{E}\right) \cdot\langle x',a'\rangle\cdot\langle x'',a''\rangle+{} \\ &+\gamma'\cdot\langle x,a\rangle\cdot \left(x'\otimes a'-\tfrac{\langle x',a'\rangle}3\mathcal{E'}\right) \cdot\langle x'',a''\rangle+{} \\ &+\gamma''\cdot\langle x,a\rangle\cdot\langle x',a'\rangle\cdot \left(x''\otimes a''-\tfrac{\langle x'',a''\rangle}3\mathcal{E''}\right) \end{align} (здесь $\alpha,\beta,\gamma,\gamma',\gamma''$ — некоторые константы, $x,y,x',y',x'',y''$ — векторы из пространств $W,W',W''$, $a,b,a',b',a'',b''$ — ковекторы из пространств $W^*,(W')^*,(W'')^*$, $\mathcal{E},\mathcal{E}',\mathcal{E}''$ — единичные операторы на пространствах $W,W',W''$ соответственно, и тензорное произведение вектора на ковектор рассматривается как линейный оператор). На самом деле это общий вид $G_0$-эквивариантных билинейных отображений на указанных пространствах (задача 22.2). Кососимметричность отображений $\varphi_{1,1}$ и $\varphi_{-1,-1}$ очевидна, осталось проверить условие (3).

Для тройки индексов $i=j=k=1$ левая часть тождества (3) лежит в $\mathfrak{g}_0$ и распадается в сумму проекций на $\mathfrak{sl}(W)$, $\mathfrak{sl}(W')$ и $\mathfrak{sl}(W'')$, которые содержат константы в виде общих множителей $\alpha\gamma$, $\alpha\gamma'$ и $\alpha\gamma''$ соответственно. Поэтому выполнение условия (3) не зависит от констант $\alpha,\gamma,\gamma',\gamma''$, если считать их ненулевыми (для нулевых констант условие выполняется тривиальным образом). Можно проверить, что условие (3) действительно выполняется (задача 22.3).

Аналогично рассматривается случай $i=j=k=-1$: пространства $W,W',W''$ и $W^*,(W')^*,(W'')^*$ играют друг относитетельно друга одинаковую роль.

Рассмотрим случай $i=j=1$, $k=-1$. Левая часть тождества (3) (на разложимых тензорах) имеет вид: \begin{multline} \varphi_{-1,-1}(\varphi_{1,1}(x\otimes x'\otimes x'',y\otimes y'\otimes y''),a\otimes a'\otimes a'')+\\+ \varphi_{0,1}(\varphi_{1,-1}((y\otimes y'\otimes y'',a\otimes a'\otimes a''),x\otimes x'\otimes x'')+\\+ \varphi_{0,1}(\varphi_{-1,1}((a\otimes a'\otimes a'',x\otimes x'\otimes x''),y\otimes y'\otimes y''). \end{multline} Первое слагаемое равно \begin{multline} \alpha\beta\cdot((x\times y)\times a)\otimes((x'\times y')\times a')\otimes((x''\times y'')\times a'')=\\= \alpha\beta\cdot\bigl(\langle x,a\rangle y-\langle y,a\rangle x\bigr) \otimes\bigl(\langle x',a'\rangle y'-\langle y',a'\rangle x'\bigr) \otimes\bigl(\langle x'',a''\rangle y''-\langle y'',a''\rangle x''\bigr) \end{multline} с учётом тождества Лагранжа (задача 22.4). Второе слагаемое равно \begin{multline} \gamma\cdot\left(\langle x,a\rangle y-\tfrac{\langle y,a\rangle}3x\right)\otimes\langle y',a'\rangle x'\otimes\langle y'',a''\rangle x''+\\+ \gamma'\cdot\langle y,a\rangle x\otimes\left(\langle x',a'\rangle y'-\tfrac{\langle y',a'\rangle}3x'\right)\otimes\langle y'',a''\rangle x''+\\+ \gamma''\cdot\langle y,a\rangle x\otimes\langle y',a'\rangle x'\otimes\left(\langle x'',a''\rangle y''-\tfrac{\langle y'',a''\rangle}3x''\right). \end{multline} Третье слагаемое равно \begin{multline} -\gamma\cdot\left(\langle y,a\rangle x-\tfrac{\langle x,a\rangle}3y\right)\otimes\langle x',a'\rangle y'\otimes\langle x'',a''\rangle y''-\\- \gamma'\cdot\langle x,a\rangle y\otimes\left(\langle y',a'\rangle x'-\tfrac{\langle x',a'\rangle}3y'\right)\otimes\langle x'',a''\rangle y''-\\- \gamma''\cdot\langle x,a\rangle y\otimes\langle x',a'\rangle y'\otimes\left(\langle y'',a''\rangle x''-\tfrac{\langle x'',a''\rangle}3y''\right). \end{multline} Приведя подобные члены, получаем \begin{align} &(\alpha\beta+\gamma)\cdot\langle x,a\rangle\langle y',a'\rangle\langle y'',a''\rangle(y\otimes x'\otimes x'')+\\+& (\alpha\beta+\gamma')\cdot\langle y,a\rangle\langle x',a'\rangle\langle y'',a''\rangle(x\otimes y'\otimes x'')+\\+& (\alpha\beta+\gamma'')\cdot\langle y,a\rangle\langle y',a'\rangle\langle x'',a''\rangle(x\otimes x'\otimes y'')-\\-& (\alpha\beta+\gamma)\cdot\langle y,a\rangle\langle x',a'\rangle\langle x'',a''\rangle(x\otimes y'\otimes y'')-\\-& (\alpha\beta+\gamma')\cdot\langle x,a\rangle\langle y',a'\rangle\langle x'',a''\rangle(y\otimes x'\otimes y'')-\\-& (\alpha\beta+\gamma'')\cdot\langle x,a\rangle\langle x',a'\rangle\langle y'',a''\rangle(y\otimes y'\otimes x'')+\\+& \left(\alpha\beta+\tfrac{\gamma+\gamma'+\gamma''}3\right)\cdot\langle x,a\rangle\langle x',a'\rangle\langle x'',a''\rangle(y\otimes y'\otimes y'')-\\-& \left(\alpha\beta+\tfrac{\gamma+\gamma'+\gamma''}3\right)\cdot\langle y,a\rangle\langle y',a'\rangle\langle y'',a''\rangle(x\otimes x'\otimes x''). \end{align} Для выполнения условия (3) необходимо и достаточно, чтобы имели место равенства $$\gamma=\gamma'=\gamma''=-\alpha\beta.$$

Аналогично рассматривается случай $i=j=-1$, $k=1$, условия на константы $\alpha,\beta,\gamma,\gamma',\gamma''$ получаются те же.

Если среди чисел $\alpha,\beta,\gamma,\gamma',\gamma''$ есть $0$, то алгебра Ли $\mathfrak{g}$ не проста. Например, если $\alpha=0$, то $\gamma=\gamma'=\gamma''=0$, и тогда $\mathfrak{g}_1$ — коммутативный идеал в $\mathfrak{g}$.

Далее будем считать, что $\alpha,\beta,\gamma,\gamma',\gamma''\ne0$.

Действуя на пространствах $\mathfrak{g}_1$ и $\mathfrak{g}_{-1}$ скалярными операторами $\lambda\mathcal{E}$ и $\mu\mathcal{E}$ соответственно, мы можем изменять отображения $\varphi_{k,l}$, умножая $\alpha$ на $\mu/\lambda^2$, $\beta$ на $\lambda/\mu^2$, а $\gamma,\gamma',\gamma''$ — на $1/\lambda\mu$. Таким образом мы сможем придать константам $\alpha$ и $\beta$ любые два ненулевых значения, например, $$\alpha=-1,\qquad\beta=1,\qquad\gamma=\gamma'=\gamma''=1.$$

Теорема. Алгебра Ли $\mathfrak{g}$ проста.

Это комплексная простая алгебра Ли типа $\mathsf{E}_6$. Её размерность равна $27+24+27=78$.

Доказательство теоремы основано на свойствах корневого разложения алгебры $\mathfrak{g}$ относительно максимальной торической подалгебры $\mathfrak{t}\subset\mathfrak{g}_0$, состоящей из диагональных операторов. Из его описания (задача 22.5) вытекает, что $\mathfrak{t}$ является максимальной торической подалгеброй в $\mathfrak{g}$, все корневые подпространства одномерны, и каждое из них содержится в одной из компонент $\mathfrak{g}_k$ градуировки.

Любой идеал $\mathfrak{a}\lhd\mathfrak{g}$ разлагается в сумму своих весовых подпространств относительно присоединённого действия торической подалгебры $\mathfrak{t}$, т.е. в сумму подалгебры $\mathfrak{t}\cap\mathfrak{a}$ и некоторых корневых подпространств $\mathfrak{g}_{\alpha}$. В частности, отсюда следует, что идеал $\mathfrak{a}$ является градуированным: $$\mathfrak{a}=\mathfrak{a}_{-1}\oplus\mathfrak{a}_0\oplus\mathfrak{a}_1,$$ где $\mathfrak{a}_k=\mathfrak{a}\cap\mathfrak{g}_k$. При этом $\mathfrak{a}_0$ является идеалом в $\mathfrak{g}_0$, а $\mathfrak{a}_{\pm1}$ — инвариантными подпространствами в $\mathfrak{g}_{\pm1}$ относительно $\mathfrak{g}_0$.

Если $\mathfrak{a}_0\ne0$, то, поскольку представления алгебры $\mathfrak{g}_0$ в пространствах $\mathfrak{g}_{\pm1}$ точны (задача 22.1 а), $\mathfrak{a}_{\pm1}\supseteq[\mathfrak{a}_0,\mathfrak{g}_{\pm1}]\ne0$. С другой стороны, если одно из подпространств $\mathfrak{a}_{\pm1}$ ненулевое, то, поскольку представления алгебры $\mathfrak{g}_0$ в пространствах $\mathfrak{g}_{\pm1}$ неприводимы (задача 22.1 б), $\mathfrak{g}_1\subseteq\mathfrak{a}$ или $\mathfrak{g}_{-1}\subseteq\mathfrak{a}$. В свою очередь, из этого следует, что $\mathfrak{g}_0=[\mathfrak{g}_1,\mathfrak{g}_{-1}]\subseteq\mathfrak{a}$.

Таким образом, алгебра $\mathfrak{g}$ не содержит нетривиальных идеалов, и теорема доказана.

предыдущий семинар	25 марта 2016 г.	следующий семинар
Тема 22 Алгебра Ли $\mathsf{E}_6$ Пусть $W,W',W''$ — три 3-мерных комплексных векторных пространства. Положим \begin{align} \mathfrak{g}_0 &= \mathfrak{sl}(W) \oplus \mathfrak{sl}(W') \oplus \mathfrak{sl}(W''), \\ \mathfrak{g}_1 &= W \otimes W' \otimes W'', \\ \mathfrak{g}_{-1} &= W^* \otimes (W')^* \otimes (W'')^. \end{align} Алгебру Ли $\mathfrak{g}_0$ можно рассматривать как подалгебру в $\mathfrak{sl}(W\oplus W'\oplus W'')$, состоящую из "блочно-диагональных" операторов. Представления алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ в пространствах $\mathfrak{g}_1$ и $\mathfrak{g}_{-1}$ являются дифференциалами естественных представлений группы Ли $G_0=SL(W)\times SL(W')\times SL(W'')$. Для того, чтобы определить на пространстве $$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_{-1}\oplus\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1$$ структуру алгебры Ли, градуированной по модулю 3, нужно задать $G_0$-эквивариантные билинейные отображения \begin{align} \varphi_{1,1} &:\mathfrak{g}_1\times\mathfrak{g}_1\to\mathfrak{g}_{-1}, \\ \varphi_{-1,-1}&:\mathfrak{g}_{-1}\times\mathfrak{g}_{-1}\to\mathfrak{g}_1,\\ \varphi_{1,-1} &:\mathfrak{g}_1\times\mathfrak{g}_{-1}\to\mathfrak{g}_0, \end{align} удовлетворяющие условиям (2) (т.е. $\varphi_{1,1}$ и $\varphi_{-1,-1}$ кососимметричны) и (3). Рассмотрим следующие отображения (их достаточно определить на разложимых тензорах): \begin{align} \varphi_{1,1}(x\otimes x'\otimes x'',y\otimes y'\otimes y'') &=\alpha\cdot(x\times y)\otimes(x'\times y')\otimes(x''\times y''), \\ \varphi_{-1,-1}(a\otimes a'\otimes a'',b\otimes b'\otimes b'')&= \beta\cdot(a\times b)\otimes(a'\times b')\otimes(a''\times b''), \\ \varphi_{1,-1}(x\otimes x'\otimes x'',a\otimes a'\otimes a'') &=\gamma\cdot\left(x\otimes a-\tfrac{\langle x,a\rangle}3\mathcal{E}\right) \cdot\langle x',a'\rangle\cdot\langle x'',a''\rangle+{} \\ &+\gamma'\cdot\langle x,a\rangle\cdot \left(x'\otimes a'-\tfrac{\langle x',a'\rangle}3\mathcal{E'}\right) \cdot\langle x'',a''\rangle+{} \\ &+\gamma''\cdot\langle x,a\rangle\cdot\langle x',a'\rangle\cdot \left(x''\otimes a''-\tfrac{\langle x'',a''\rangle}3\mathcal{E''}\right) \end{align} (здесь $\alpha,\beta,\gamma,\gamma',\gamma''$ — некоторые константы, $x,y,x',y',x'',y''$ — векторы из пространств $W,W',W''$, $a,b,a',b',a'',b''$ — ковекторы из пространств $W^,(W')^,(W'')^$, $\mathcal{E},\mathcal{E}',\mathcal{E}''$ — единичные операторы на пространствах $W,W',W''$ соответственно, и тензорное произведение вектора на ковектор рассматривается как линейный оператор). На самом деле это общий вид $G_0$-эквивариантных билинейных отображений на указанных пространствах (задача 22.2). Кососимметричность отображений $\varphi_{1,1}$ и $\varphi_{-1,-1}$ очевидна, осталось проверить условие (3). Для тройки индексов $i=j=k=1$ левая часть тождества (3) лежит в $\mathfrak{g}_0$ и распадается в сумму проекций на $\mathfrak{sl}(W)$, $\mathfrak{sl}(W')$ и $\mathfrak{sl}(W'')$, которые содержат константы в виде общих множителей $\alpha\gamma$, $\alpha\gamma'$ и $\alpha\gamma''$ соответственно. Поэтому выполнение условия (3) не зависит от констант $\alpha,\gamma,\gamma',\gamma''$, если считать их ненулевыми (для нулевых констант условие выполняется тривиальным образом). Можно проверить, что условие (3) действительно выполняется (задача 22.3). Аналогично рассматривается случай $i=j=k=-1$: пространства $W,W',W''$ и $W^,(W')^,(W'')^$ играют друг относитетельно друга одинаковую роль. Рассмотрим случай $i=j=1$, $k=-1$. Левая часть тождества (3) (на разложимых тензорах) имеет вид: \begin{multline} \varphi_{-1,-1}(\varphi_{1,1}(x\otimes x'\otimes x'',y\otimes y'\otimes y''),a\otimes a'\otimes a'')+\\+ \varphi_{0,1}(\varphi_{1,-1}((y\otimes y'\otimes y'',a\otimes a'\otimes a''),x\otimes x'\otimes x'')+\\+ \varphi_{0,1}(\varphi_{-1,1}((a\otimes a'\otimes a'',x\otimes x'\otimes x''),y\otimes y'\otimes y''). \end{multline} Первое слагаемое равно \begin{multline} \alpha\beta\cdot((x\times y)\times a)\otimes((x'\times y')\times a')\otimes((x''\times y'')\times a'')=\\= \alpha\beta\cdot\bigl(\langle x,a\rangle y-\langle y,a\rangle x\bigr) \otimes\bigl(\langle x',a'\rangle y'-\langle y',a'\rangle x'\bigr) \otimes\bigl(\langle x'',a''\rangle y''-\langle y'',a''\rangle x''\bigr) \end{multline} с учётом тождества Лагранжа (задача 22.4). Второе слагаемое равно \begin{multline} \gamma\cdot\left(\langle x,a\rangle y-\tfrac{\langle y,a\rangle}3x\right)\otimes\langle y',a'\rangle x'\otimes\langle y'',a''\rangle x''+\\+ \gamma'\cdot\langle y,a\rangle x\otimes\left(\langle x',a'\rangle y'-\tfrac{\langle y',a'\rangle}3x'\right)\otimes\langle y'',a''\rangle x''+\\+ \gamma''\cdot\langle y,a\rangle x\otimes\langle y',a'\rangle x'\otimes\left(\langle x'',a''\rangle y''-\tfrac{\langle y'',a''\rangle}3x''\right). \end{multline} Третье слагаемое равно \begin{multline} -\gamma\cdot\left(\langle y,a\rangle x-\tfrac{\langle x,a\rangle}3y\right)\otimes\langle x',a'\rangle y'\otimes\langle x'',a''\rangle y''-\\- \gamma'\cdot\langle x,a\rangle y\otimes\left(\langle y',a'\rangle x'-\tfrac{\langle x',a'\rangle}3y'\right)\otimes\langle x'',a''\rangle y''-\\- \gamma''\cdot\langle x,a\rangle y\otimes\langle x',a'\rangle y'\otimes\left(\langle y'',a''\rangle x''-\tfrac{\langle x'',a''\rangle}3y''\right). \end{multline} Приведя подобные члены, получаем \begin{align} &(\alpha\beta+\gamma)\cdot\langle x,a\rangle\langle y',a'\rangle\langle y'',a''\rangle(y\otimes x'\otimes x'')+\\+& (\alpha\beta+\gamma')\cdot\langle y,a\rangle\langle x',a'\rangle\langle y'',a''\rangle(x\otimes y'\otimes x'')+\\+& (\alpha\beta+\gamma'')\cdot\langle y,a\rangle\langle y',a'\rangle\langle x'',a''\rangle(x\otimes x'\otimes y'')-\\-& (\alpha\beta+\gamma)\cdot\langle y,a\rangle\langle x',a'\rangle\langle x'',a''\rangle(x\otimes y'\otimes y'')-\\-& (\alpha\beta+\gamma')\cdot\langle x,a\rangle\langle y',a'\rangle\langle x'',a''\rangle(y\otimes x'\otimes y'')-\\-& (\alpha\beta+\gamma'')\cdot\langle x,a\rangle\langle x',a'\rangle\langle y'',a''\rangle(y\otimes y'\otimes x'')+\\+& \left(\alpha\beta+\tfrac{\gamma+\gamma'+\gamma''}3\right)\cdot\langle x,a\rangle\langle x',a'\rangle\langle x'',a''\rangle(y\otimes y'\otimes y'')-\\-& \left(\alpha\beta+\tfrac{\gamma+\gamma'+\gamma''}3\right)\cdot\langle y,a\rangle\langle y',a'\rangle\langle y'',a''\rangle(x\otimes x'\otimes x''). \end{align} Для выполнения условия (3) необходимо и достаточно, чтобы имели место равенства $$\gamma=\gamma'=\gamma''=-\alpha\beta.$$ Аналогично рассматривается случай $i=j=-1$, $k=1$, условия на константы $\alpha,\beta,\gamma,\gamma',\gamma''$ получаются те же. Если среди чисел $\alpha,\beta,\gamma,\gamma',\gamma''$ есть $0$, то алгебра Ли $\mathfrak{g}$ не проста. Например, если $\alpha=0$, то $\gamma=\gamma'=\gamma''=0$, и тогда $\mathfrak{g}_1$ — коммутативный идеал в $\mathfrak{g}$. Далее будем считать, что $\alpha,\beta,\gamma,\gamma',\gamma''\ne0$. Действуя на пространствах $\mathfrak{g}_1$ и $\mathfrak{g}_{-1}$ скалярными операторами $\lambda\mathcal{E}$ и $\mu\mathcal{E}$ соответственно, мы можем изменять отображения $\varphi_{k,l}$, умножая $\alpha$ на $\mu/\lambda^2$, $\beta$ на $\lambda/\mu^2$, а $\gamma,\gamma',\gamma''$ — на $1/\lambda\mu$. Таким образом мы сможем придать константам $\alpha$ и $\beta$ любые два ненулевых значения, например, $$\alpha=-1,\qquad\beta=1,\qquad\gamma=\gamma'=\gamma''=1.$$ Теорема. Алгебра Ли $\mathfrak{g}$ проста. Это комплексная простая алгебра Ли типа $\mathsf{E}_6$. Её размерность равна $27+24+27=78$. Доказательство теоремы основано на свойствах корневого разложения алгебры $\mathfrak{g}$ относительно максимальной торической подалгебры $\mathfrak{t}\subset\mathfrak{g}_0$, состоящей из диагональных операторов. Из его описания (задача 22.5) вытекает, что $\mathfrak{t}$ является максимальной торической подалгеброй в $\mathfrak{g}$, все корневые подпространства одномерны, и каждое из них содержится в одной из компонент $\mathfrak{g}_k$ градуировки. Любой идеал $\mathfrak{a}\lhd\mathfrak{g}$ разлагается в сумму своих весовых подпространств относительно присоединённого действия торической подалгебры $\mathfrak{t}$, т.е. в сумму подалгебры $\mathfrak{t}\cap\mathfrak{a}$ и некоторых корневых подпространств $\mathfrak{g}_{\alpha}$. В частности, отсюда следует, что идеал $\mathfrak{a}$ является градуированным: $$\mathfrak{a}=\mathfrak{a}_{-1}\oplus\mathfrak{a}_0\oplus\mathfrak{a}_1,$$ где $\mathfrak{a}_k=\mathfrak{a}\cap\mathfrak{g}_k$. При этом $\mathfrak{a}_0$ является идеалом в $\mathfrak{g}_0$, а $\mathfrak{a}_{\pm1}$ — инвариантными подпространствами в $\mathfrak{g}_{\pm1}$ относительно $\mathfrak{g}_0$. Если $\mathfrak{a}_0\ne0$, то, поскольку представления алгебры $\mathfrak{g}_0$ в пространствах $\mathfrak{g}_{\pm1}$ точны (задача 22.1 а), $\mathfrak{a}_{\pm1}\supseteq[\mathfrak{a}_0,\mathfrak{g}_{\pm1}]\ne0$. С другой стороны, если одно из подпространств $\mathfrak{a}_{\pm1}$ ненулевое, то, поскольку представления алгебры $\mathfrak{g}_0$ в пространствах $\mathfrak{g}_{\pm1}$ неприводимы (задача 22.1 б), $\mathfrak{g}_1\subseteq\mathfrak{a}$ или $\mathfrak{g}_{-1}\subseteq\mathfrak{a}$. В свою очередь, из этого следует, что $\mathfrak{g}_0=[\mathfrak{g}_1,\mathfrak{g}_{-1}]\subseteq\mathfrak{a}$. Таким образом, алгебра $\mathfrak{g}$ не содержит нетривиальных идеалов, и теорема доказана. Задачи Задача 22.1. Линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ в пространствах $\mathfrak{g}_{\pm1}$ а) точны, б) неприводимы. Задача 22.2. Любые $G_0$-эквивариантные билинейные отображения $\mathfrak{g}_1\times\mathfrak{g}_1\to\mathfrak{g}_{-1}$, $\mathfrak{g}_{-1}\times\mathfrak{g}_{-1}\to\mathfrak{g}_1$, $\mathfrak{g}_1\times\mathfrak{g}_{-1}\to\mathfrak{g}_0$ имеют вышеуказанный вид. Задача 22.3. Проверить условие (3) для $i=j=k=1$. Задача 22.4. Доказать тождество Лагранжа* для векторного произведения: $$(x\times y)\times a=\langle x,a\rangle y-\langle y,a\rangle x,\qquad\forall x,y\in W,\ a\in W^*.$$ Задача 22.5. Пусть $T\subset G_0$ — максимальный тор, состоящий из диагональных операторов (в некотором фиксированном базисе пространства $W\oplus W'\oplus W''$, составленном из базисов прямых слагаемых). а) Описать весовое разложение алгебры Ли $\mathfrak{g}$ относительно тора $T$. б) Доказать, что касательная алгебра Ли $\mathfrak{t}$ тора $T$ является максимальной торической подалгеброй в $\mathfrak{g}$.