предыдущий семинар 1 апреля 2016 г. следующий семинар

Тема 23

Алгебра Ли $\mathsf{E}_7$

Пусть $V$ — 8-мерное комплексное векторное пространство. Положим \begin{align} \mathfrak{g}_0&=\mathfrak{sl}(V), \\ \mathfrak{g}_1&=\textstyle\bigwedge^4V. \end{align} Представление алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ в пространстве $\mathfrak{g}_1$ является дифференциалом естественного представления группы Ли $G_0=SL(V)$.

Для того, чтобы определить на пространстве $$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1$$ структуру алгебры Ли, градуированной по модулю 2, нужно задать $G_0$-эквивариантное билинейное кососимметрическое отображение $$\varphi_{1,1}:\mathfrak{g}_1\times\mathfrak{g}_1\to\mathfrak{g}_0,$$ удовлетворяющее условию (3). Определим такое отображение на разложимых тетравекторах следующей формулой: \begin{multline} \varphi_{1,1}(u_1\wedge u_2\wedge u_3\wedge u_4,v_1\wedge v_2\wedge v_3\wedge v_4)=\\= \left[x\mapsto\alpha\cdot\sum_{i=1}^4 \Bigl(\det(u_1,\dots, \!\!\!\!\!\!\underset{\smash[b]{\begin{array}{c}\uparrow\;\;\\\text{вместо $u_i$}\end{array}}}{x}\!\!\!\!\!\!, \dots,u_4,v_1,\dots,v_4)\cdot u_i-\det(u_1,\dots,u_4,v_1,\dots, \!\!\!\!\!\!\underset{\smash[b]{\begin{array}{c}\uparrow\;\;\\\text{вместо $v_i$}\end{array}}}{x}\!\!\!\!\!\!, \dots,v_4)\cdot v_i\Bigr)\right], \end{multline} где $\alpha$ — некоторая константа.

Корректность определения, билинейность, кососимметричность и эквивариантность этого отображения очевидны. Чтобы убедиться в том, что образ отображения $\varphi_{1,1}$ состоит из операторов с нулевым следом, по соображениям непрерывности достаточно проверить это на парах разложимых тетравекторов в общем положении (т.е. из плотного открытого подмножества в многообразии пар разложимых тетравекторов из $\mathfrak{g}_1$). Поэтому можно считать векторы $u_1,\dots,u_4,v_1,\dots,v_4$ линейно независимыми. Но тогда в этом базисе пространства $V$ оператор $\varphi_{1,1}(u_1\wedge\dots\wedge u_4,v_1\wedge\dots\wedge v_4)$ имеет матрицу $$ \det(u_1,\dots,u_4,v_1,\dots,v_4)\cdot \begin{pmatrix} 1 & & & & & & & \\ & 1 & & & & & \mathrm{O} & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & 1 & & & & \\ & & & &\!\!\!\!-1 & & & \\ & & & & &\!\!\!\!-1 & & \\ & \mathrm{O} & & & & &\!\!\!\!-1 & \\ & & & & & & &\!\!\!\!-1 \\ \end{pmatrix} $$ со следом $0$.

Можно показать, что любое $G_0$-эквивариантное билинейное отображение $\mathfrak{g}_1\times\mathfrak{g}_1\to\mathfrak{g}_0$ имеет вышеуказанный вид.

Остаётся проверить условие (3).

Если $\alpha=0$, то алгебра Ли $\mathfrak{g}$ не проста: $\mathfrak{g}_1$ — коммутативный идеал в $\mathfrak{g}$. Поэтому будем считать, что $\alpha\ne0$.

Действуя на пространстве $\mathfrak{g}_1$ скалярным автоморфизмом, мы можем изменить отображение $\varphi_{1,1}$, умножив $\alpha$ на любое ненулевое число, и, таким образом, придать константе $\alpha$ любое заданное ненулевое значение, например, $\alpha=1$, что мы и будем дальше предполагать.

Левая часть тождества (3) (на разложимых тетравекторах) имеет вид: \begin{multline} (*)\qquad\qquad\varphi_{0,1}(\varphi_{1,1}(u_1\wedge\dots\wedge u_4,v_1\wedge\dots\wedge v_4),w_1\wedge\dots\wedge w_4)+\\+ \varphi_{0,1}(\varphi_{1,1}(v_1\wedge\dots\wedge v_4,w_1\wedge\dots\wedge w_4),u_1\wedge\dots\wedge u_4)+\\+ \varphi_{0,1}(\varphi_{1,1}(w_1\wedge\dots\wedge w_4,u_1\wedge\dots\wedge u_4),v_1\wedge\dots\wedge v_4).\qquad\qquad\quad \end{multline} По соображениям непрерывности, обращение этого выражения в $0$ достаточно проверить на тройках разложимых тетравекторов в общем положении, например, таких, что 4-мерные подпространства $U=\langle u_1,\dots,u_4\rangle$, $U'=\langle v_1,\dots,v_4\rangle$ и $U''=\langle w_1,\dots,w_4\rangle$ имеют нулевые попарные пересечения. Тогда подпространство $U''$ изоморфно проектируется на каждое слагаемое прямой суммы $V=U\oplus U'$, и мы можем выбрать базисы в этих трёх подпространствах согласованным образом так, чтобы $u_i+v_i+w_i=0$ ($i=1,\dots,4$), — при этом исходные тетравекторы и выражение (*) умножатся на ненулевые числа.

При этих соглашениях первое слагаемое в выражении (*) переписывается следующим образом: \begin{multline} \det(u_1,\dots,u_4,v_1,\dots,v_4)\times\\ \times\bigl((-u_1+v_1)\wedge w_2\wedge w_3\wedge w_4+w_1\wedge(-u_2+v_2)\wedge w_3\wedge w_4+\\ \qquad\qquad+w_1\wedge w_2\wedge(-u_3+v_3)\wedge w_4+w_1\wedge w_2\wedge w_3\wedge(-u_4+v_4)\bigr)=\\= \det(u_1,\dots,u_4,v_1,\dots,v_4)\times\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ \times\bigl((u_1-v_1)\wedge(u_2+v_2)\wedge(u_3+v_3)\wedge(u_4+v_4)+\\ \qquad\qquad\qquad+(u_1+v_1)\wedge(u_2-v_2)\wedge(u_3+v_3)\wedge(u_4+v_4)+\\ \qquad\qquad\qquad+(u_1+v_1)\wedge(u_2+v_2)\wedge(u_3-v_3)\wedge(u_4+v_4)+\\+ (u_1+v_1)\wedge(u_2+v_2)\wedge(u_3+v_3)\wedge(u_4-v_4)\bigr). \end{multline} Аналогично, второе слагаемое равно \begin{multline} \det(v_1,\dots,v_4,w_1,\dots,w_4)\times\\ \times\bigl((-v_1+w_1)\wedge u_2\wedge u_3\wedge u_4+u_1\wedge(-v_2+w_2)\wedge u_3\wedge u_4+\\ \qquad\qquad+u_1\wedge u_2\wedge(-v_3+w_3)\wedge u_4+u_1\wedge u_2\wedge u_3\wedge(-v_4+w_4)\bigr)=\\= -\det(u_1,\dots,u_4,v_1,\dots,v_4)\times\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ \times\bigl((u_1+2v_1)\wedge u_2\wedge u_3\wedge u_4+u_1\wedge(u_2+2v_2)\wedge u_3\wedge u_4+\\ \qquad\qquad\qquad+u_1\wedge u_2\wedge(u_3+2v_3)\wedge u_4+u_1\wedge u_2\wedge u_3\wedge(u_4+2v_4)\bigr), \end{multline} а третье слагаемое равно \begin{multline} \det(w_1,\dots,w_4,u_1,\dots,u_4)\times\\ \times\bigl((-w_1+u_1)\wedge v_2\wedge v_3\wedge v_4+v_1\wedge(-w_2+u_2)\wedge v_3\wedge v_4+\\ \qquad\qquad+v_1\wedge v_2\wedge(-w_3+u_3)\wedge v_4+v_1\wedge v_2\wedge v_3\wedge(-w_4+u_4)\bigr)=\\= \det(u_1,\dots,u_4,v_1,\dots,v_4)\times\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ \times\bigl((2u_1+v_1)\wedge v_2\wedge v_3\wedge v_4+v_1\wedge(2u_2+v_2)\wedge v_3\wedge v_4+\\ \qquad\qquad\qquad+v_1\wedge v_2\wedge(2u_3+v_3)\wedge v_4+v_1\wedge v_2\wedge v_3\wedge(2u_4+v_4)\bigr). \end{multline} Легко видеть, что при раскрытии скобок все подобные члены сокращаются, т.е. условие (3) выполнено.

Рассмотрим максимальную торическую подалгебру $\mathfrak{t}\subset\mathfrak{g}_0$, состоящую из всех диагональных операторов со следом $0$ (в некотором фиксированном базисе $e_1,\dots,e_8$ пространства $V$). Опишем весовое разложение алгебры $\mathfrak{g}$ относительно присоединённого действия подалгебры $\mathfrak{t}$.

Обозначим через $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_8$ веса алгебры $\mathfrak{t}$ в пространстве $V$ (т.е. диагональные матричные элементы). Они порождают пространство $\mathfrak{t}^*$ и связаны единственной (с точностью до пропорциональности) линейной зависимостью: $\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_8=0$.

Веса алгебры $\mathfrak{t}$ в пространстве $\mathfrak{g}_0$ нам известны: это $0$ и $\varepsilon_i-\varepsilon_j$ ($i\ne j$), а весовые подпространства суть $\mathfrak{t}$ и $\mathbb{C}E_{ij}$. Веса алгебры $\mathfrak{t}$ в пространстве $\mathfrak{g}_1$ суть $\varepsilon_i+\varepsilon_j+\varepsilon_k+\varepsilon_l$, а весовые подпространства суть $\mathbb{C}(e_i\wedge e_j\wedge e_k\wedge e_l)$ ($i < j < k < l$).

Отсюда видно, что подалгебра $\mathfrak{t}$ совпадает со своим централизатором в $\mathfrak{g}$ и, значит, является максимальной торической подалгеброй в $\mathfrak{g}$, а описанное выше весовое разложение есть корневое разложение алгебры $\mathfrak{g}$, причём каждое корневое подпространство одномерно и содержится либо в $\mathfrak{g}_0$, либо в $\mathfrak{g}_1$.

Всякий идеал $\mathfrak{a}\lhd\mathfrak{g}$, будучи $\operatorname{ad}(\mathfrak{t})$-инвариантным, разлагается в сумму своего пересечения с $\mathfrak{t}$ и некоторых корневых подпространств и, следовательно, является градуированным: $\mathfrak{a}=\mathfrak{a}_0\oplus\mathfrak{a}_1$, где $\mathfrak{a}_0$ — идеал в $\mathfrak{g}_0$, а $\mathfrak{a}_1$ — $\operatorname{ad}(\mathfrak{g}_0)$-инвариантное подпространство в $\mathfrak{g}_1$. Поскольку алгебра $\mathfrak{g}_0$ проста (задача 4.3), а её представление в пространстве $\mathfrak{g}_1$ неприводимо (задача 23.1), то при $\mathfrak{a}\ne0$ либо $\mathfrak{a}_0=\mathfrak{g}_0$, либо $\mathfrak{a}_1=\mathfrak{g}_1$. Но каждое из этих равенств влечёт второе, так как $[\mathfrak{g}_0,\mathfrak{g}_1]\ne0$, $[\mathfrak{g}_1,\mathfrak{g}_1]\ne0$ и $[\mathfrak{a}_k,\mathfrak{g}_l]\subseteq\mathfrak{a}_{k+l}$. Поэтому в алгебре $\mathfrak{g}$ нет нетривиальных идеалов.

Нами доказана следующая

Теорема. Алгебра Ли $\mathfrak{g}$ проста.

Это комплексная простая алгебра Ли типа $\mathsf{E}_7$. Её размерность равна $63+70=133$.


Задачи

Задача 23.1. Линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ в пространстве $\mathfrak{g}_1$ неприводимо.

Задача 23.2. Пусть $V=U\oplus W$, где $\dim U=6$, $\dim W=2$. Рассмотрим в алгебре Ли $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sl}(V)$ подалгебру $\mathfrak{h}_0=\mathfrak{sl}(U)\oplus\mathfrak{sl}(W)$, а в пространстве $\mathfrak{g}_1=\bigwedge^4V$ — подпространство $$\mathfrak{h}_1=\textstyle\bigwedge^3U\wedge W\simeq\textstyle\bigwedge^3U\otimes W.$$
а) Доказать, что $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_0\oplus\mathfrak{h}_1$ — градуированная подалгебра Ли в алгебре Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1$ типа $\mathsf{E}_7$.

б) Если $\mathfrak{t}\subset\mathfrak{g}_0$ — максимальная торическая подалгебра, состоящая из диагональных операторов в базисе пространства $V$, составленном из базисов подпространств $U$ и $W$, то $\mathfrak{s}=\mathfrak{t}\cap\mathfrak{h}_0$ — максимальная торическая подалгебра в $\mathfrak{h}$. Найти систему корней и корневое разложение алгебры $\mathfrak{h}$ относительно подалгебры $\mathfrak{s}$.

в) Доказать, что $\mathfrak{h}$ — простая алгебра Ли типа $\mathsf{E}_6$. (Указание: использовать теорему 2 12-го семинара.)