Пусть $V$ — 9-мерное комплексное векторное пространство. Положим \begin{align} \mathfrak{g}_0 &=\mathfrak{sl}(V), \\ \mathfrak{g}_1 &=\textstyle\bigwedge^3V, \\ \mathfrak{g}_{-1}&=\textstyle\bigwedge^3V^*. \end{align} Представления алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ в пространствах $\mathfrak{g}_{\pm1}$ являются дифференциалами естественных представлений группы Ли $G_0=SL(V)$. Они двойственны друг другу: инвариантное спаривание между этими двумя пространствами однозначно, с точностью до множителя, задаётся на разложимых тривекторах и триформах формулой $$ \langle v_1\wedge v_2\wedge v_3,a_1\wedge a_2\wedge a_3\rangle= \begin{vmatrix} \langle v_1,a_1\rangle & \langle v_1,a_2\rangle & \langle v_1,a_3\rangle \\ \langle v_2,a_1\rangle & \langle v_2,a_2\rangle & \langle v_2,a_3\rangle \\ \langle v_3,a_1\rangle & \langle v_3,a_2\rangle & \langle v_3,a_3\rangle \\ \end{vmatrix} \qquad(v_i\in V,\ a_j\in V^*). $$

Для того, чтобы определить на пространстве $$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_{-1}\oplus\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1$$ структуру алгебры Ли, градуированной по модулю 3, нужно задать $G_0$-эквивариантные билинейные отображения \begin{align} \varphi_{1,1} &:\mathfrak{g}_1\times\mathfrak{g}_1\to\mathfrak{g}_{-1}, \\ \varphi_{-1,-1}&:\mathfrak{g}_{-1}\times\mathfrak{g}_{-1}\to\mathfrak{g}_1,\\ \varphi_{1,-1} &:\mathfrak{g}_1\times\mathfrak{g}_{-1}\to\mathfrak{g}_0, \end{align} удовлетворяющие условиям (2) (т.е. $\varphi_{1,1}$ и $\varphi_{-1,-1}$ кососимметричны) и (3). Определим такие отображения на разложимых тривекторах и триформах формулами: \begin{align} \varphi_{1,1}(u_1\wedge u_2\wedge u_3,v_1\wedge v_2\wedge v_3)&= \bigl[w_1\wedge w_2\wedge w_3\mapsto\alpha\cdot\det(u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3,w_1,w_2,w_3)\bigr],\\ \varphi_{-1,-1}(a_1\wedge a_2\wedge a_3,b_1\wedge b_2\wedge b_3)&= \bigl[c_1\wedge c_2\wedge c_3\mapsto\beta\cdot\det\nolimits^*(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3)\bigr],\\ \varphi_{1,-1}(v_1\wedge v_2\wedge v_3,a_1\wedge a_2\wedge a_3)&= \gamma\cdot\smash[b]{\sum_{\begin{subarray}{c}i_1,i_2,i_3\\j_1,j_2,j_3\end{subarray}}}\operatorname{sgn}(i_1,i_2,i_3)\cdot\operatorname{sgn}(j_1,j_2,j_3)\times{}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\times\langle v_{i_1},a_{j_1}\rangle\cdot\langle v_{i_2},a_{j_2}\rangle\cdot \left(v_{i_3}\otimes a_{j_3}-\tfrac{\langle v_{i_3},a_{j_3}\rangle}9\mathcal{E}\right)=\\ &=\gamma\cdot\smash[b]{\left[\sum_{\begin{subarray}{c}i_1,i_2,i_3\\j_1,j_2,j_3\end{subarray}} \operatorname{sgn}(i_1,i_2,i_3)\cdot\operatorname{sgn}(j_1,j_2,j_3)\times{}\right.}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\times\langle v_{i_1},a_{j_1}\rangle\cdot\langle v_{i_2},a_{j_2}\rangle\cdot(v_{i_3}\otimes a_{j_3})-{}\\ &\smash[t]{\left.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \phantom{\sum_{\begin{subarray}{c}i_1,i_2,i_3\\j_1,j_2,j_3\end{subarray}}}-\tfrac23\det({\langle v_i,a_j\rangle})_{i,j=1}^3\mathcal{E}\right],} \end{align} где $\alpha,\beta,\gamma$ — некоторые константы. Здесь триформы (тривекторы) задаются как линейные функции на тривекторах (триформах) посредством инвариантного спаривания, а $\det$ и $\det^*$ — двойственные друг другу кососимметрические полилинейные формы старшей степени на пространствах $V$ и $V^*$. Можно показать, что любые $G_0$-эквивариантные билинейные отображения между указанными пространствами имеют такой вид.

Кососимметричность отображений $\varphi_{1,1}$ и $\varphi_{-1,-1}$ очевидна. Остаётся проверить условие (3).

Для тройки индексов $i=j=k=1$ левая часть тождества (3) содержит общий множитель $\alpha\gamma$, а второй множитель не зависит от констант. То же самое верно в случае $i=j=k=-1$ (общий множитель $\beta\gamma$). Поэтому выполнение условия (3) не зависит от констант $\alpha,\beta,\gamma$ (если считать их ненулевыми). Можно проверить, что условие (3) действительно выполняется (задача 24.2).

Пусть теперь $i=j=1$, $k=-1$. Левая часть тождества (3) (на разложимых тривекторах и триформах) имеет вид: \begin{multline} (*)\qquad\qquad\varphi_{-1,-1}(\varphi_{1,1}(u_1\wedge u_2\wedge u_3,v_1\wedge v_2\wedge v_3),a_1\wedge a_2\wedge a_3)+\\+ \varphi_{0,1}(\varphi_{1,-1}(v_1\wedge v_2\wedge v_3,a_1\wedge a_2\wedge a_3),u_1\wedge u_2\wedge u_3)+\\+ \varphi_{0,1}(\varphi_{-1,1}(a_1\wedge a_2\wedge a_3,u_1\wedge u_2\wedge u_3),v_1\wedge v_2\wedge v_3).\qquad\qquad\quad \end{multline} По соображениям непрерывности, обращение этого выражения в $0$ достаточно проверить на разложимых тривекторах и триформах в общем положении друг относительно друга, например, таких, что 3-мерные подпространства $U=\langle u_1,u_2,u_3\rangle$ и $U'=\langle v_1,v_2,v_3\rangle$ трансверсальны друг другу, а ограничения линейных форм $a_1,a_2,a_3$ на каждое из них линейно независимы. Без ограничения общности мы можем считать, что ограничения форм $a_i$ на $U$ являются координатными функциями в базисе $(u_1,u_2,u_3)$, а их ограничения на $U'$ — координатными функциями в базисе $(-v_1,-v_2,-v_3)$. Мы можем выбрать векторы $w_1,w_2,w_3$ в пересечении ядер форм $a_i$ так, чтобы $$\det(u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3,w_1,w_2,w_3)=1,$$ и тогда $$a_i=u_i^*-v_i^*,$$ где звездочками помечены элементы двойственного базиса к базису $(u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3,w_1,w_2,w_3)$ пространства $V$.

При этих соглашениях первое слагаемое в выражении (*) равно \begin{multline} \varphi_{-1,-1}\bigl(\alpha\cdot w_1^*\wedge w_2^*\wedge w_3^*,(u_1^*-v_1^*)\wedge(u_2^*-v_2^*)\wedge(u_3^*-v_3^*)\bigr)=\\= \alpha\beta\cdot(u_1+v_1)\wedge(u_2+v_2)\wedge(u_3+v_3). \end{multline} Второе слагаемое равно \begin{multline} \varphi_{0,-1}\left(\gamma\cdot\left(2v_1\otimes(u_1^*-v_1^*)+2v_2\otimes(u_2^*-v_2^*)+2v_3\otimes(u_3^*-v_3^*)+\tfrac23\mathcal{E}\right), u_1\wedge u_2\wedge u_3\right)=\\= 2\gamma\cdot(v_1\wedge u_2\wedge u_3+u_1\wedge v_2\wedge u_3+u_1\wedge u_2\wedge v_3+u_1\wedge u_2\wedge u_3). \end{multline} Третье слагаемое равно \begin{multline} \varphi_{0,-1}\left(-\gamma\cdot\left(2u_1\otimes(u_1^*-v_1^*)+2u_2\otimes(u_2^*-v_2^*)+2u_3\otimes(u_3^*-v_3^*)-\tfrac23\mathcal{E}\right), v_1\wedge v_2\wedge v_3\right)=\\= 2\gamma\cdot(u_1\wedge v_2\wedge v_3+v_1\wedge u_2\wedge v_3+v_1\wedge v_2\wedge u_3+v_1\wedge v_2\wedge v_3). \end{multline} В сумме получаем $$ (\alpha\beta+2\gamma)\cdot(u_1+v_1)\wedge(u_2+v_2)\wedge(u_3+v_3). $$ Таким образом, для выполнения условия (3) необходимо и достаточно, чтобы $$\alpha\beta=-2\gamma.$$

Аналогично рассматривается случай $i=j=-1$, $k=1$, условия на константы $\alpha,\beta,\gamma$ получаются те же.

Если среди чисел $\alpha,\beta,\gamma$ есть $0$, то алгебра Ли $\mathfrak{g}$ не проста. В самом деле, если $\gamma=0$, то $\alpha=0$ или $\beta=0$, и обратно, откуда, в свою очередь, следует, что $\mathfrak{g}_1$ или $\mathfrak{g}_{-1}$ — коммутативный идеал в $\mathfrak{g}$, соответственно.

Далее будем считать, что $\alpha,\beta,\gamma\ne0$.

Действуя на пространствах $\mathfrak{g}_{\pm1}$ скалярными автоморфизмами, мы можем придать константам $\alpha,\beta$ любые заданные ненулевые значения, например, $$\alpha=-1,\qquad\beta=1,\qquad\gamma=\frac12.$$

Пусть $\mathfrak{t}\subset\mathfrak{g}_0$ — максимальная торическая подалгебра, состоящая из всех диагональных операторов со следом $0$ (в фиксированном базисе $e_1,\dots,e_9$ пространства $V$). Опишем весовое разложение алгебры $\mathfrak{g}$ относительно присоединённого действия подалгебры $\mathfrak{t}$.

Веса алгебры $\mathfrak{t}$ в пространстве $\mathfrak{g}_0$ суть $0$ и $\varepsilon_i-\varepsilon_j$ ($i\ne j$), где $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_9$ — веса алгебры $\mathfrak{t}$ в пространстве $V$ (связанные единственной линейной зависимостью $\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_9=0$). Весовые подпространства суть $\mathfrak{t}$ и $\mathbb{C}E_{ij}$. Веса алгебры $\mathfrak{t}$ в пространстве $\mathfrak{g}_1$ суть $\varepsilon_i+\varepsilon_j+\varepsilon_k$, а весовые подпространства суть $\mathbb{C}(e_i\wedge e_j\wedge e_k)$ ($i < j < k$). Веса алгебры $\mathfrak{t}$ в пространстве $\mathfrak{g}_{-1}$ суть $-\varepsilon_i-\varepsilon_j-\varepsilon_k$, а весовые подпространства суть $\mathbb{C}(e_i^*\wedge e_j^*\wedge e_k^*)$ (где $e_i^*$ — ковекторы двойственного базиса пространства $V^*$).

Отсюда видно, что подалгебра $\mathfrak{t}$ совпадает со своим централизатором в $\mathfrak{g}$ и, значит, является максимальной торической подалгеброй в $\mathfrak{g}$, а описанное выше весовое разложение есть корневое разложение алгебры $\mathfrak{g}$, причём каждое корневое подпространство одномерно и содержится в одном из подпространств $\mathfrak{g}_k$. С использованием этих свойств, простоты алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ и неприводимости её представлений в пространствах $\mathfrak{g}_{\pm1}$ (задача 24.1), так же как для алгебр Ли $\mathsf{E}_6$ и $\mathsf{E}_7$, доказывается следующая

Теорема. Алгебра Ли $\mathfrak{g}$ проста.

Это комплексная простая алгебра Ли типа $\mathsf{E}_8$. Её размерность равна $84+80+84=248$.

Алгебра Ли $\mathsf{E}_8$ — самая большая особая простая комплексная алгебра Ли. Все остальные особые алгебры Ли вложены в неё. Цепочку вложений $$\mathsf{E}_8\supset\mathsf{E}_7\supset\mathsf{E}_6\supset\mathsf{F}_4\supset\mathsf{G}_2$$ (алгебра $\mathsf{F}_4$ нами пока ещё не построена) тоже можно описать в терминах градуировок по модулю 3.

Разложим пространство $V$ в прямую сумму трёх 3-мерных подпространств: $$V=W\oplus W'\oplus W'',$$ и рассмотрим в алгебре Ли $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sl}(V)$ подалгебру $$\mathfrak{h}_0=\mathfrak{sl}(W)\oplus\mathfrak{sl}(W')\oplus\mathfrak{sl}(W''),$$ а в пространствах $\mathfrak{g}_1=\bigwedge^3V$ и $\mathfrak{g}_{-1}=\bigwedge^3V^*$ — подпространства \begin{align} \mathfrak{h}_1 &=W\wedge W'\wedge W''\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\simeq W\otimes W'\otimes W'', \\ \mathfrak{h}_{-1}&=W^*\wedge(W')^*\wedge(W'')^*\simeq W^*\otimes(W')^*\otimes(W'')^*. \end{align} Здесь $W^*$ вложено в $V^*$ как аннулятор подпространства $W'\oplus W''$; аналогично с $(W')^*$ и $(W'')^*$. Легко видеть (задача 24.3), что $$\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{-1}\oplus\mathfrak{h}_0\oplus\mathfrak{h}_1$$ — подалгебра Ли типа $\mathsf{E}_6$ в алгебре Ли $\mathfrak{g}$ типа $\mathsf{E}_8$.

Аналогично можно построить вложение $\mathsf{E}_7\subset\mathsf{E}_8$ (задача 24.4).

Простая алгебра Ли типа $\mathsf{F}_4$ строится так. Фиксируем изоморфизм векторных пространств $W\simeq W'$ и рассмотрим в алгебре Ли $$\mathfrak{h}_0=\mathfrak{sl}(W)\oplus\mathfrak{sl}(W)\oplus\mathfrak{sl}(W'')$$ подалгебру $$\mathfrak{h}'_0=\mathfrak{sl}(W)\oplus\mathfrak{sl}(W''),$$ где $\mathfrak{sl}(W)$ вложена в $\mathfrak{sl}(W)\oplus\mathfrak{sl}(W)$ диагональным образом. В пространствах \begin{align} \mathfrak{h}_1 &=W^{\otimes2}\otimes W'', \\ \mathfrak{h}_{-1}&=(W^*)^{\otimes2}\otimes(W'')^* \end{align} рассмотрим подпространства \begin{align} \mathfrak{h}'_1 &=S^2W\otimes W'', \\ \mathfrak{h}'_{-1}&=S^2W^*\otimes(W'')^* \end{align} тензоров, симметрических по первым двум сомножителям. Тогда $\mathfrak{h}'=\mathfrak{h}'_{-1}\oplus\mathfrak{h}'_0\oplus\mathfrak{h}'_1$ — простая подалгебра Ли в алгебре Ли $\mathfrak{h}$ типа $\mathsf{E}_6$ (задача 24.5). Её размерность равна $18+16+18=52$. Это и есть алгебра Ли $\mathsf{F}_4$.

Также можно построить вложение $\mathsf{G}_2\subset\mathsf{F}_4$ (задача 24.6).

предыдущий семинар	8 апреля 2016 г.	следующий семинар
Тема 24 Алгебры Ли $\mathsf{E}_8$ и $\mathsf{F}_4$. Вложения особых алгебр Ли. Пусть $V$ — 9-мерное комплексное векторное пространство. Положим \begin{align} \mathfrak{g}_0 &=\mathfrak{sl}(V), \\ \mathfrak{g}_1 &=\textstyle\bigwedge^3V, \\ \mathfrak{g}_{-1}&=\textstyle\bigwedge^3V^. \end{align} Представления алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ в пространствах $\mathfrak{g}_{\pm1}$ являются дифференциалами естественных представлений группы Ли $G_0=SL(V)$. Они двойственны друг другу: инвариантное спаривание между этими двумя пространствами однозначно, с точностью до множителя, задаётся на разложимых тривекторах и триформах формулой $$ \langle v_1\wedge v_2\wedge v_3,a_1\wedge a_2\wedge a_3\rangle= \begin{vmatrix} \langle v_1,a_1\rangle & \langle v_1,a_2\rangle & \langle v_1,a_3\rangle \\ \langle v_2,a_1\rangle & \langle v_2,a_2\rangle & \langle v_2,a_3\rangle \\ \langle v_3,a_1\rangle & \langle v_3,a_2\rangle & \langle v_3,a_3\rangle \\ \end{vmatrix} \qquad(v_i\in V,\ a_j\in V^). $$ Для того, чтобы определить на пространстве $$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_{-1}\oplus\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1$$ структуру алгебры Ли, градуированной по модулю 3, нужно задать $G_0$-эквивариантные билинейные отображения \begin{align} \varphi_{1,1} &:\mathfrak{g}_1\times\mathfrak{g}_1\to\mathfrak{g}_{-1}, \\ \varphi_{-1,-1}&:\mathfrak{g}_{-1}\times\mathfrak{g}_{-1}\to\mathfrak{g}_1,\\ \varphi_{1,-1} &:\mathfrak{g}_1\times\mathfrak{g}_{-1}\to\mathfrak{g}_0, \end{align} удовлетворяющие условиям (2) (т.е. $\varphi_{1,1}$ и $\varphi_{-1,-1}$ кососимметричны) и (3). Определим такие отображения на разложимых тривекторах и триформах формулами: \begin{align} \varphi_{1,1}(u_1\wedge u_2\wedge u_3,v_1\wedge v_2\wedge v_3)&= \bigl[w_1\wedge w_2\wedge w_3\mapsto\alpha\cdot\det(u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3,w_1,w_2,w_3)\bigr],\\ \varphi_{-1,-1}(a_1\wedge a_2\wedge a_3,b_1\wedge b_2\wedge b_3)&= \bigl[c_1\wedge c_2\wedge c_3\mapsto\beta\cdot\det\nolimits^(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3)\bigr],\\ \varphi_{1,-1}(v_1\wedge v_2\wedge v_3,a_1\wedge a_2\wedge a_3)&= \gamma\cdot\smash[b]{\sum_{\begin{subarray}{c}i_1,i_2,i_3\\j_1,j_2,j_3\end{subarray}}}\operatorname{sgn}(i_1,i_2,i_3)\cdot\operatorname{sgn}(j_1,j_2,j_3)\times{}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\times\langle v_{i_1},a_{j_1}\rangle\cdot\langle v_{i_2},a_{j_2}\rangle\cdot \left(v_{i_3}\otimes a_{j_3}-\tfrac{\langle v_{i_3},a_{j_3}\rangle}9\mathcal{E}\right)=\\ &=\gamma\cdot\smash[b]{\left[\sum_{\begin{subarray}{c}i_1,i_2,i_3\\j_1,j_2,j_3\end{subarray}} \operatorname{sgn}(i_1,i_2,i_3)\cdot\operatorname{sgn}(j_1,j_2,j_3)\times{}\right.}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\times\langle v_{i_1},a_{j_1}\rangle\cdot\langle v_{i_2},a_{j_2}\rangle\cdot(v_{i_3}\otimes a_{j_3})-{}\\ &\smash[t]{\left.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \phantom{\sum_{\begin{subarray}{c}i_1,i_2,i_3\\j_1,j_2,j_3\end{subarray}}}-\tfrac23\det({\langle v_i,a_j\rangle})_{i,j=1}^3\mathcal{E}\right],} \end{align} где $\alpha,\beta,\gamma$ — некоторые константы. Здесь триформы (тривекторы) задаются как линейные функции на тривекторах (триформах) посредством инвариантного спаривания, а $\det$ и $\det^$ — двойственные друг другу кососимметрические полилинейные формы старшей степени на пространствах $V$ и $V^$. Можно показать, что любые $G_0$-эквивариантные билинейные отображения между указанными пространствами имеют такой вид. Кососимметричность отображений $\varphi_{1,1}$ и $\varphi_{-1,-1}$ очевидна. Остаётся проверить условие (3). Для тройки индексов $i=j=k=1$ левая часть тождества (3) содержит общий множитель $\alpha\gamma$, а второй множитель не зависит от констант. То же самое верно в случае $i=j=k=-1$ (общий множитель $\beta\gamma$). Поэтому выполнение условия (3) не зависит от констант $\alpha,\beta,\gamma$ (если считать их ненулевыми). Можно проверить, что условие (3) действительно выполняется (задача 24.2). Пусть теперь $i=j=1$, $k=-1$. Левая часть тождества (3) (на разложимых тривекторах и триформах) имеет вид: \begin{multline} ()\qquad\qquad\varphi_{-1,-1}(\varphi_{1,1}(u_1\wedge u_2\wedge u_3,v_1\wedge v_2\wedge v_3),a_1\wedge a_2\wedge a_3)+\\+ \varphi_{0,1}(\varphi_{1,-1}(v_1\wedge v_2\wedge v_3,a_1\wedge a_2\wedge a_3),u_1\wedge u_2\wedge u_3)+\\+ \varphi_{0,1}(\varphi_{-1,1}(a_1\wedge a_2\wedge a_3,u_1\wedge u_2\wedge u_3),v_1\wedge v_2\wedge v_3).\qquad\qquad\quad \end{multline} По соображениям непрерывности, обращение этого выражения в $0$ достаточно проверить на разложимых тривекторах и триформах в общем положении друг относительно друга, например, таких, что 3-мерные подпространства $U=\langle u_1,u_2,u_3\rangle$ и $U'=\langle v_1,v_2,v_3\rangle$ трансверсальны друг другу, а ограничения линейных форм $a_1,a_2,a_3$ на каждое из них линейно независимы. Без ограничения общности мы можем считать, что ограничения форм $a_i$ на $U$ являются координатными функциями в базисе $(u_1,u_2,u_3)$, а их ограничения на $U'$ — координатными функциями в базисе $(-v_1,-v_2,-v_3)$. Мы можем выбрать векторы $w_1,w_2,w_3$ в пересечении ядер форм $a_i$ так, чтобы $$\det(u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3,w_1,w_2,w_3)=1,$$ и тогда $$a_i=u_i^-v_i^,$$ где звездочками помечены элементы двойственного базиса к базису $(u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3,w_1,w_2,w_3)$ пространства $V$. При этих соглашениях первое слагаемое в выражении () равно \begin{multline} \varphi_{-1,-1}\bigl(\alpha\cdot w_1^\wedge w_2^\wedge w_3^,(u_1^-v_1^)\wedge(u_2^-v_2^)\wedge(u_3^-v_3^)\bigr)=\\= \alpha\beta\cdot(u_1+v_1)\wedge(u_2+v_2)\wedge(u_3+v_3). \end{multline} Второе слагаемое равно \begin{multline} \varphi_{0,-1}\left(\gamma\cdot\left(2v_1\otimes(u_1^-v_1^)+2v_2\otimes(u_2^-v_2^)+2v_3\otimes(u_3^-v_3^)+\tfrac23\mathcal{E}\right), u_1\wedge u_2\wedge u_3\right)=\\= 2\gamma\cdot(v_1\wedge u_2\wedge u_3+u_1\wedge v_2\wedge u_3+u_1\wedge u_2\wedge v_3+u_1\wedge u_2\wedge u_3). \end{multline} Третье слагаемое равно \begin{multline} \varphi_{0,-1}\left(-\gamma\cdot\left(2u_1\otimes(u_1^-v_1^)+2u_2\otimes(u_2^-v_2^)+2u_3\otimes(u_3^-v_3^)-\tfrac23\mathcal{E}\right), v_1\wedge v_2\wedge v_3\right)=\\= 2\gamma\cdot(u_1\wedge v_2\wedge v_3+v_1\wedge u_2\wedge v_3+v_1\wedge v_2\wedge u_3+v_1\wedge v_2\wedge v_3). \end{multline} В сумме получаем $$ (\alpha\beta+2\gamma)\cdot(u_1+v_1)\wedge(u_2+v_2)\wedge(u_3+v_3). $$ Таким образом, для выполнения условия (3) необходимо и достаточно, чтобы $$\alpha\beta=-2\gamma.$$ Аналогично рассматривается случай $i=j=-1$, $k=1$, условия на константы $\alpha,\beta,\gamma$ получаются те же. Если среди чисел $\alpha,\beta,\gamma$ есть $0$, то алгебра Ли $\mathfrak{g}$ не проста. В самом деле, если $\gamma=0$, то $\alpha=0$ или $\beta=0$, и обратно, откуда, в свою очередь, следует, что $\mathfrak{g}_1$ или $\mathfrak{g}_{-1}$ — коммутативный идеал в $\mathfrak{g}$, соответственно. Далее будем считать, что $\alpha,\beta,\gamma\ne0$. Действуя на пространствах $\mathfrak{g}_{\pm1}$ скалярными автоморфизмами, мы можем придать константам $\alpha,\beta$ любые заданные ненулевые значения, например, $$\alpha=-1,\qquad\beta=1,\qquad\gamma=\frac12.$$ Пусть $\mathfrak{t}\subset\mathfrak{g}_0$ — максимальная торическая подалгебра, состоящая из всех диагональных операторов со следом $0$ (в фиксированном базисе $e_1,\dots,e_9$ пространства $V$). Опишем весовое разложение алгебры $\mathfrak{g}$ относительно присоединённого действия подалгебры $\mathfrak{t}$. Веса алгебры $\mathfrak{t}$ в пространстве $\mathfrak{g}_0$ суть $0$ и $\varepsilon_i-\varepsilon_j$ ($i\ne j$), где $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_9$ — веса алгебры $\mathfrak{t}$ в пространстве $V$ (связанные единственной линейной зависимостью $\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_9=0$). Весовые подпространства суть $\mathfrak{t}$ и $\mathbb{C}E_{ij}$. Веса алгебры $\mathfrak{t}$ в пространстве $\mathfrak{g}_1$ суть $\varepsilon_i+\varepsilon_j+\varepsilon_k$, а весовые подпространства суть $\mathbb{C}(e_i\wedge e_j\wedge e_k)$ ($i < j < k$). Веса алгебры $\mathfrak{t}$ в пространстве $\mathfrak{g}_{-1}$ суть $-\varepsilon_i-\varepsilon_j-\varepsilon_k$, а весовые подпространства суть $\mathbb{C}(e_i^\wedge e_j^\wedge e_k^)$ (где $e_i^$ — ковекторы двойственного базиса пространства $V^$). Отсюда видно, что подалгебра $\mathfrak{t}$ совпадает со своим централизатором в $\mathfrak{g}$ и, значит, является максимальной торической подалгеброй в $\mathfrak{g}$, а описанное выше весовое разложение есть корневое разложение алгебры $\mathfrak{g}$, причём каждое корневое подпространство одномерно и содержится в одном из подпространств $\mathfrak{g}_k$. С использованием этих свойств, простоты алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ и неприводимости её представлений в пространствах $\mathfrak{g}_{\pm1}$ (задача 24.1), так же как для алгебр Ли $\mathsf{E}_6$ и $\mathsf{E}_7$, доказывается следующая Теорема. Алгебра Ли $\mathfrak{g}$ проста. Это комплексная простая алгебра Ли типа $\mathsf{E}_8$. Её размерность равна $84+80+84=248$. Алгебра Ли $\mathsf{E}_8$ — самая большая особая простая комплексная алгебра Ли. Все остальные особые алгебры Ли вложены в неё. Цепочку вложений $$\mathsf{E}_8\supset\mathsf{E}_7\supset\mathsf{E}_6\supset\mathsf{F}_4\supset\mathsf{G}_2$$ (алгебра $\mathsf{F}_4$ нами пока ещё не построена) тоже можно описать в терминах градуировок по модулю 3. Разложим пространство $V$ в прямую сумму трёх 3-мерных подпространств: $$V=W\oplus W'\oplus W'',$$ и рассмотрим в алгебре Ли $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sl}(V)$ подалгебру $$\mathfrak{h}_0=\mathfrak{sl}(W)\oplus\mathfrak{sl}(W')\oplus\mathfrak{sl}(W''),$$ а в пространствах $\mathfrak{g}_1=\bigwedge^3V$ и $\mathfrak{g}_{-1}=\bigwedge^3V^$ — подпространства \begin{align} \mathfrak{h}_1 &=W\wedge W'\wedge W''\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\simeq W\otimes W'\otimes W'', \\ \mathfrak{h}_{-1}&=W^\wedge(W')^\wedge(W'')^\simeq W^\otimes(W')^\otimes(W'')^. \end{align} Здесь $W^$ вложено в $V^$ как аннулятор подпространства $W'\oplus W''$; аналогично с $(W')^$ и $(W'')^$. Легко видеть (задача 24.3), что $$\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{-1}\oplus\mathfrak{h}_0\oplus\mathfrak{h}_1$$ — подалгебра Ли типа $\mathsf{E}_6$ в алгебре Ли $\mathfrak{g}$ типа $\mathsf{E}_8$. Аналогично можно построить вложение $\mathsf{E}_7\subset\mathsf{E}_8$ (задача 24.4). Простая алгебра Ли типа $\mathsf{F}_4$ строится так. Фиксируем изоморфизм векторных пространств $W\simeq W'$ и рассмотрим в алгебре Ли $$\mathfrak{h}_0=\mathfrak{sl}(W)\oplus\mathfrak{sl}(W)\oplus\mathfrak{sl}(W'')$$ подалгебру $$\mathfrak{h}'_0=\mathfrak{sl}(W)\oplus\mathfrak{sl}(W''),$$ где $\mathfrak{sl}(W)$ вложена в $\mathfrak{sl}(W)\oplus\mathfrak{sl}(W)$ диагональным образом. В пространствах \begin{align} \mathfrak{h}_1 &=W^{\otimes2}\otimes W'', \\ \mathfrak{h}_{-1}&=(W^)^{\otimes2}\otimes(W'')^ \end{align} рассмотрим подпространства \begin{align} \mathfrak{h}'_1 &=S^2W\otimes W'', \\ \mathfrak{h}'_{-1}&=S^2W^\otimes(W'')^ \end{align} тензоров, симметрических по первым двум сомножителям. Тогда $\mathfrak{h}'=\mathfrak{h}'_{-1}\oplus\mathfrak{h}'_0\oplus\mathfrak{h}'_1$ — простая подалгебра Ли в алгебре Ли $\mathfrak{h}$ типа $\mathsf{E}_6$ (задача 24.5). Её размерность равна $18+16+18=52$. Это и есть алгебра Ли $\mathsf{F}_4$. Также можно построить вложение $\mathsf{G}_2\subset\mathsf{F}_4$ (задача 24.6). Задачи Задача 24.1. Линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ в пространствах $\mathfrak{g}_{\pm1}$ неприводимы. Задача 24.2. Проверить условие (3) для $i=j=k=1$ и $i=j=k=-1$. Задача 24.3. Подпространство $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_{-1}\oplus\mathfrak{h}_0\oplus\mathfrak{h}_1\subset\mathfrak{g}$ (где $\mathfrak{h}_0,\mathfrak{h}_{\pm1}$ определены выше) является подалгеброй Ли типа $\mathsf{E}_6$. Задача 24.4. Придумать градуированную подалгебру Ли типа $\mathsf{E}_7$ в алгебре Ли $\mathfrak{g}$ типа $\mathsf{E}_8$, содержащую подалгебру $\mathfrak{h}$ типа $\mathsf{E}_6$. Задача 24.5. а) Подпространство $\mathfrak{h}'=\mathfrak{h}'_{-1}\oplus\mathfrak{h}'_0\oplus\mathfrak{h}'_1\subset\mathfrak{h}$ (где $\mathfrak{h}'_0,\mathfrak{h}'_{\pm1}$ определены выше) является подалгеброй Ли. б) Пусть $\mathfrak{s}\subset\mathfrak{h}'_0$ — подалгебра Ли, состоящая из всех диагональных операторов. Доказать, что $\mathfrak{s}$ — максимальная торическая подалгебра в $\mathfrak{h}'$, и найти корневое разложение алгебры Ли $\mathfrak{h}'$ относительно подалгебры $\mathfrak{s}$. в) $\mathfrak{h}'$ — простая алгебра Ли. Задача 24.6. Фиксируем изоморфизм векторных пространств $W''\simeq W^$ и рассмотрим в алгебре Ли $\mathfrak{h}'_0=\mathfrak{sl}(W)\oplus\mathfrak{sl}(W^)$ подалгебру $\mathfrak{h}''_0=\mathfrak{sl}(W)$, вложенную диагональным образом (где изоморфизм $\mathfrak{sl}(W)\simeq\mathfrak{sl}(W^)$ задаётся сопряжённым представлением). а) Отображение $w\mapsto\operatorname{Sym}(w\otimes\mathcal{E})$ (где $\operatorname{Sym}$ — оператор симметризации тензора по верхним индексам) осуществляет $SL(W)$-эквивариантный изоморфизм пространства $W$ с некоторым подпространством $\mathfrak{h}''_1\subset\mathfrak{h}'_1=S^2W\otimes W^$. Аналогично строится вложение $W^\simeq\mathfrak{h}''_{-1}\subset\mathfrak{h}'_{-1}=S^2W^\otimes W$. б) $\mathfrak{h}''=\mathfrak{h}''_{-1}\oplus\mathfrak{h}''_0\oplus\mathfrak{h}''_1$ — подалгебра Ли типа $\mathsf{G}_2$ в алгебре Ли $\mathfrak{h}'$ типа $\mathsf{F}_4$.