Задание градуировки комплексной алгебры Ли $\mathfrak{g}$ по модулю $m$ равносильно заданию автоморфизма $\theta\in\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$, удовлетворяющего условию $\theta^m=\mathrm{id}$ или, что равносильно, гомоморфизма циклической группы $C_m$ порядка $m$ в группу $\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$. Компоненты градуировки $\mathfrak{g}_k$ суть собственные подпространства автоморфизма $\theta$, отвечающие собственным значениям $e^{2\pi{k}\boldsymbol{i}/m}$ (в показателе экспоненты в качестве $k$ можно взять любой представитель соответствующего класса вычетов).

Аналогично периодическим градуировкам можно определить целочисленную градуировку алгебры Ли $\mathfrak{g}$ как разложение $$ \mathfrak{g}=\bigoplus_{k\in\mathbb{Z}}\mathfrak{g}_k= \cdots\oplus\mathfrak{g}_{-3}\oplus\mathfrak{g}_{-2}\oplus\mathfrak{g}_{-1}\oplus\mathfrak{g}_0 \oplus\mathfrak{g}_1\oplus\mathfrak{g}_2\oplus\mathfrak{g}_3\oplus\cdots, $$ удовлетворяющее условию (1), где индексы интерпретируются уже как целые числа. Задание целочисленной градуировки алгебры Ли $\mathfrak{g}$ равносильно заданию гомоморфизма комплексных групп Ли $R:\mathbb{C}^{\times}\to\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$. При этом компоненты градуировки суть весовые подпространства: $$ \mathfrak{g}_k=\{\xi\in\mathfrak{g}\mid R(t)\xi=t^k\xi,\ \forall t\in\mathbb{C}^{\times}\}. $$

Например, можно доказать, что особые простые алгебры Ли $\mathsf{E}_6$, $\mathsf{E}_7$, $\mathsf{E}_8$ допускают целочисленные градуировки следующего вида: \begin{align} \mathsf{E}_6&=\hphantom{\textstyle(V^*\otimes\bigwedge^8V^*)\oplus\strut}\textstyle\bigwedge^6V^*\oplus\bigwedge^3V^*\oplus\mathfrak{gl}(V)\oplus\bigwedge^3V\oplus\bigwedge^6V,&\dim V&=6,\\ \mathsf{E}_7&=\hphantom{\textstyle(V^*\otimes\bigwedge^8V^*)\oplus\strut}\textstyle\bigwedge^6V^*\oplus\bigwedge^3V^*\oplus\mathfrak{gl}(V)\oplus\bigwedge^3V\oplus\bigwedge^6V,&\dim V&=7,\\ \mathsf{E}_8&=\textstyle(V^*\otimes\bigwedge^8V^*)\oplus\bigwedge^6V^*\oplus\bigwedge^3V^*\oplus\mathfrak{gl}(V) \oplus\bigwedge^3V\oplus\bigwedge^6V\oplus(V\otimes\bigwedge^8V),&\dim V&=8.\\ \end{align} Отображения коммутирования компонент градуировки определяются естественным образом, с точнстью до постоянных множителей, которые можно определить, исходя из условия (3). См. также задачу 25.1.

Вообще, если $A$ — конечно порождённая абелева группа, то $A$-градуировка алгебры Ли $\mathfrak{g}$ определяется как разложение $$\mathfrak{g}=\bigoplus_{\alpha\in A}\mathfrak{g}_{\alpha},$$ удовлетворяющее условию $$[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}]\subseteq\mathfrak{g}_{\alpha+\beta},\qquad\forall\alpha,\beta\in A.$$ Задание $A$-градуировки равносильно заданию гомоморфизма $R$ группы $$\mathfrak{X}(A)=\operatorname{Hom}(A,\mathbb{C}^{\times})$$ в группу $\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$, определённого по формуле $R(\chi)\xi=\chi(\alpha)\xi$ при $\xi\in\mathfrak{g}_{\alpha}$.

Если $$A=\underbrace{\mathbb{Z}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}}_r\oplus\mathbb{Z}_{m_1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{m_s},$$ то $$\mathfrak{X}(A)=\underbrace{\mathbb{C}^{\times}\times\dots\times\mathbb{C}^{\times}}_r\times C_{m_1}\times\dots\times C_{m_s}.$$

Всякий гомоморфизм алгебраических групп $R:\mathfrak{X}(A)\to\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$ определяется некоторой $A$-градуировкой (задача 25.2).

Например, корневое разложение алгебры Ли $\mathfrak{g}$ можно рассматривать как $\mathfrak{X}(T)$-градуировку, где $$\mathfrak{X}(T)\simeq\underbrace{\mathbb{Z}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}}_r$$ — группа характеров максимального тора $T$ алгебраической группы $G$ ($r=\dim T$).

Следующий шаг — рассмотрение неабелевых групп автоморфизмов.

Определение. Пусть $H$ — некоторая группа. Будем говорить, что алгебра Ли $\mathfrak{g}$ структурирована при помощи группы $H$, если задан гомоморфизм $R:H\to\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$, являющийся вполне приводимым линейным представлением.

Пусть $R:H\to GL(V)$ — вполне приводимое линейное представление. Разложив его на неприводимые слагаемые и сгруппировав среди них изоморфные представления, мы можем представить пространство $V$ в виде $$V=W_1\oplus\dots\oplus W_s,$$ где $$W_i\simeq V_i\oplus\dots\oplus V_i,$$ и представления $R_i$ группы $H$ в пространствах $V_i$ неприводимы и попарно не изоморфны (для разных $i$). Это разложение пространства $V$ называется изотипным, а его слагаемые $W_i$ — изотипными компонентами представления $R$. Они определены однозначно (задача 25.3).

Количество неприводимых слагаемых $V_i$ в разложении каждой изотипной компоненты $W_i$ (кратность неприводимого представления $R_i$ в представлении $R$) тоже определено однозначно, но сами слагаемые (как подпространства в $W_i$) — уже, вообще говоря, нет. Однако имеется канонический изоморфизм представлений $$W_i\simeq V_i\otimes U_i,$$ где $U_i=\operatorname{Hom}(V_i,V)$ — пространство гомоморфизмов соответствующих представлений, и группа $H$ действует на тензорном произведении посредством действия на первый сомножитель. Изоморфизм определяется формулой $$v\otimes u\mapsto u(v).$$ Выбрав в каждом из пространств $U_1,\dots,U_s$ базис, мы получим разложение пространства $V$ в прямую сумму неприводимых представлений, и так получаются все такие разложения (задача 25.4).

Линейное представление называется изотипным, если оно является суммой нескольких изоморфных неприводимых представлений (т.е. состоит из единственной изотипной компоненты).

С помощью разложения на изотипные компоненты можно описывать гомоморфизмы представлений (задача 25.5).

Пусть алгебра Ли $\mathfrak{g}$ структурирована посредством группы $H$. Рассмотрим её изотипное разложение $$\mathfrak{g}=(\mathfrak{g}_1\otimes U_1)\oplus\dots\oplus(\mathfrak{g}_s\otimes U_s).$$ Коммутируя элементы $i$-й и $j$-й изотипных компонент и проектируя на $k$-ю изотипную компоненту, мы получаем билинейное отображение $$\varphi_{ij}^k:(\mathfrak{g}_i\otimes U_i)\times(\mathfrak{g}_j\otimes U_j)\to\mathfrak{g}_k\otimes U_k,$$ перестановочное с действием группы $H$ и кососимметрическое при $i=j$. Эти отображения полностью определяют структуру алгебры Ли $\mathfrak{g}$.

Билинейные отображения $\varphi_{ij}^k$ соответствуют линейным отображениям $$(\mathfrak{g}_i\otimes U_i)\otimes(\mathfrak{g}_j\otimes U_j)=(\mathfrak{g}_i\otimes\mathfrak{g}_j)\otimes(U_i\otimes U_j)\to\mathfrak{g}_k\otimes U_k,$$ перестановочным с действием группы $H$. Поэтому $\varphi_{ij}^k$ может быть отлично от нуля, только если в разложении представления группы $H$ в $\mathfrak{g}_i\otimes\mathfrak{g}_j$ присутствуют неприводимые компоненты, изоморфные $\mathfrak{g}_k$.

Если группа $H$ абелева, то все её неприводимые комплексные линейные представления одномерны, и (тензорное) произведение неприводимых представлений неприводимо. В общем случае задача разложения произведения неприводимых представлений на неприводимые компоненты является одной из основных задач теории представлений и не имеет универсального решения.

Задача 25.1. Доказать, что существует простая алгебра Ли $\mathfrak{g}$, допускающая целочисленную градуировку вида $$ \mathfrak{g}=\textstyle\bigwedge^3V^*\oplus\mathfrak{gl}(V)\oplus\bigwedge^3V,\qquad\dim V=5, $$ и найти её тип.

Задача 25.2. Пусть задан гомоморфизм $R:\mathfrak{X}(A)\to\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$ (как алгебраических групп). Тогда существует такая $A$-градуировка $\mathfrak{g}=\bigoplus_{\alpha\in A}\mathfrak{g}_{\alpha}$ алгебры $\mathfrak{g}$, что $$ \mathfrak{g}_{\alpha}=\{\xi\in\mathfrak{g}\mid R(\chi)\xi=\chi(\alpha)\xi,\ \forall\chi\in\mathfrak{X}(A)\}. $$

Задача 25.3. Изотипные компоненты вполне приводимого представления $R:H\to GL(V)$ определены однозначно (как подпространства пространства $V$).

Задача 25.4. Выбор базиса $u_1,\dots,u_m$ в пространстве $U_i$ задаёт разложение изотипной компоненты $$W_i=u_1(V_i)\oplus\dots\oplus u_m(V_i)\simeq\bigl(V_i\otimes\langle u_1\rangle\bigr)\oplus\dots\oplus\bigl(V_i\otimes\langle u_m\rangle\bigr)=V_i\otimes U_i$$ в прямую сумму неприводимых представлений $u_j(V_i)\simeq V_i$, и все разложения изотипной компоненты на неприводимые слагаемые получаются таким образом.

Задача 25.5. (обобщение леммы Шура) Пусть $R:H\to GL(V)$ и $R':H\to GL(V')$ — два вполне приводимых комплексных линейных представления. Рассмотрим их изотипные разложения: \begin{align} V &=(V_1\otimes U_1) \oplus\dots\oplus(V_s\otimes U_s), \\ V'&=(V_1\otimes U'_1)\oplus\dots\oplus(V_s\otimes U'_s). \end{align} Тогда всякий гомоморфизм $\mathcal{A}:V\to V'$ представления $R$ в $R'$ имеет вид $$\mathcal{A}=(\mathcal{E}\otimes\mathcal{A}_1)\oplus\dots\oplus(\mathcal{E}\otimes\mathcal{A}_s),$$ где $\mathcal{A}_i:U_i\to U'_i$ ($i=1,\dots,s$) — какие-то линейные отображения.

предыдущий семинар	15 апреля 2016 г.	следующий семинар
Тема 25 Структурированные алгебры Ли Задание градуировки комплексной алгебры Ли $\mathfrak{g}$ по модулю $m$ равносильно заданию автоморфизма $\theta\in\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$, удовлетворяющего условию $\theta^m=\mathrm{id}$ или, что равносильно, гомоморфизма циклической группы $C_m$ порядка $m$ в группу $\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$. Компоненты градуировки $\mathfrak{g}_k$ суть собственные подпространства автоморфизма $\theta$, отвечающие собственным значениям $e^{2\pi{k}\boldsymbol{i}/m}$ (в показателе экспоненты в качестве $k$ можно взять любой представитель соответствующего класса вычетов). Аналогично периодическим градуировкам можно определить целочисленную градуировку алгебры Ли $\mathfrak{g}$ как разложение $$ \mathfrak{g}=\bigoplus_{k\in\mathbb{Z}}\mathfrak{g}_k= \cdots\oplus\mathfrak{g}_{-3}\oplus\mathfrak{g}_{-2}\oplus\mathfrak{g}_{-1}\oplus\mathfrak{g}_0 \oplus\mathfrak{g}_1\oplus\mathfrak{g}_2\oplus\mathfrak{g}_3\oplus\cdots, $$ удовлетворяющее условию (1), где индексы интерпретируются уже как целые числа. Задание целочисленной градуировки алгебры Ли $\mathfrak{g}$ равносильно заданию гомоморфизма комплексных групп Ли $R:\mathbb{C}^{\times}\to\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$. При этом компоненты градуировки суть весовые подпространства: $$ \mathfrak{g}_k=\{\xi\in\mathfrak{g}\mid R(t)\xi=t^k\xi,\ \forall t\in\mathbb{C}^{\times}\}. $$ Например, можно доказать, что особые простые алгебры Ли $\mathsf{E}_6$, $\mathsf{E}_7$, $\mathsf{E}_8$ допускают целочисленные градуировки следующего вида: \begin{align} \mathsf{E}_6&=\hphantom{\textstyle(V^\otimes\bigwedge^8V^)\oplus\strut}\textstyle\bigwedge^6V^\oplus\bigwedge^3V^\oplus\mathfrak{gl}(V)\oplus\bigwedge^3V\oplus\bigwedge^6V,&\dim V&=6,\\ \mathsf{E}_7&=\hphantom{\textstyle(V^\otimes\bigwedge^8V^)\oplus\strut}\textstyle\bigwedge^6V^\oplus\bigwedge^3V^\oplus\mathfrak{gl}(V)\oplus\bigwedge^3V\oplus\bigwedge^6V,&\dim V&=7,\\ \mathsf{E}_8&=\textstyle(V^\otimes\bigwedge^8V^)\oplus\bigwedge^6V^\oplus\bigwedge^3V^\oplus\mathfrak{gl}(V) \oplus\bigwedge^3V\oplus\bigwedge^6V\oplus(V\otimes\bigwedge^8V),&\dim V&=8.\\ \end{align} Отображения коммутирования компонент градуировки определяются естественным образом, с точнстью до постоянных множителей, которые можно определить, исходя из условия (3). См. также задачу 25.1. Вообще, если $A$ — конечно порождённая абелева группа, то $A$-градуировка алгебры Ли $\mathfrak{g}$ определяется как разложение $$\mathfrak{g}=\bigoplus_{\alpha\in A}\mathfrak{g}_{\alpha},$$ удовлетворяющее условию $$[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}]\subseteq\mathfrak{g}_{\alpha+\beta},\qquad\forall\alpha,\beta\in A.$$ Задание $A$-градуировки равносильно заданию гомоморфизма $R$ группы $$\mathfrak{X}(A)=\operatorname{Hom}(A,\mathbb{C}^{\times})$$ в группу $\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$, определённого по формуле $R(\chi)\xi=\chi(\alpha)\xi$ при $\xi\in\mathfrak{g}_{\alpha}$. Если $$A=\underbrace{\mathbb{Z}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}}_r\oplus\mathbb{Z}_{m_1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{m_s},$$ то $$\mathfrak{X}(A)=\underbrace{\mathbb{C}^{\times}\times\dots\times\mathbb{C}^{\times}}_r\times C_{m_1}\times\dots\times C_{m_s}.$$ Всякий гомоморфизм алгебраических групп $R:\mathfrak{X}(A)\to\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$ определяется некоторой $A$-градуировкой (задача 25.2). Например, корневое разложение алгебры Ли $\mathfrak{g}$ можно рассматривать как $\mathfrak{X}(T)$-градуировку, где $$\mathfrak{X}(T)\simeq\underbrace{\mathbb{Z}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}}_r$$ — группа характеров максимального тора $T$ алгебраической группы $G$ ($r=\dim T$). Следующий шаг — рассмотрение неабелевых групп автоморфизмов. Определение. Пусть $H$ — некоторая группа. Будем говорить, что алгебра Ли $\mathfrak{g}$ структурирована при помощи группы $H$, если задан гомоморфизм $R:H\to\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$, являющийся вполне приводимым линейным представлением. Пусть $R:H\to GL(V)$ — вполне приводимое линейное представление. Разложив его на неприводимые слагаемые и сгруппировав среди них изоморфные представления, мы можем представить пространство $V$ в виде $$V=W_1\oplus\dots\oplus W_s,$$ где $$W_i\simeq V_i\oplus\dots\oplus V_i,$$ и представления $R_i$ группы $H$ в пространствах $V_i$ неприводимы и попарно не изоморфны (для разных $i$). Это разложение пространства $V$ называется изотипным, а его слагаемые $W_i$ — изотипными компонентами представления $R$. Они определены однозначно (задача 25.3). Количество неприводимых слагаемых $V_i$ в разложении каждой изотипной компоненты $W_i$ (кратность неприводимого представления $R_i$ в представлении $R$) тоже определено однозначно, но сами слагаемые (как подпространства в $W_i$) — уже, вообще говоря, нет. Однако имеется канонический изоморфизм представлений $$W_i\simeq V_i\otimes U_i,$$ где $U_i=\operatorname{Hom}(V_i,V)$ — пространство гомоморфизмов соответствующих представлений, и группа $H$ действует на тензорном произведении посредством действия на первый сомножитель. Изоморфизм определяется формулой $$v\otimes u\mapsto u(v).$$ Выбрав в каждом из пространств $U_1,\dots,U_s$ базис, мы получим разложение пространства $V$ в прямую сумму неприводимых представлений, и так получаются все такие разложения (задача 25.4). Линейное представление называется изотипным, если оно является суммой нескольких изоморфных неприводимых представлений (т.е. состоит из единственной изотипной компоненты). С помощью разложения на изотипные компоненты можно описывать гомоморфизмы представлений (задача 25.5). Пусть алгебра Ли $\mathfrak{g}$ структурирована посредством группы $H$. Рассмотрим её изотипное разложение $$\mathfrak{g}=(\mathfrak{g}_1\otimes U_1)\oplus\dots\oplus(\mathfrak{g}_s\otimes U_s).$$ Коммутируя элементы $i$-й и $j$-й изотипных компонент и проектируя на $k$-ю изотипную компоненту, мы получаем билинейное отображение $$\varphi_{ij}^k:(\mathfrak{g}_i\otimes U_i)\times(\mathfrak{g}_j\otimes U_j)\to\mathfrak{g}_k\otimes U_k,$$ перестановочное с действием группы $H$ и кососимметрическое при $i=j$. Эти отображения полностью определяют структуру алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Билинейные отображения $\varphi_{ij}^k$ соответствуют линейным отображениям $$(\mathfrak{g}_i\otimes U_i)\otimes(\mathfrak{g}_j\otimes U_j)=(\mathfrak{g}_i\otimes\mathfrak{g}_j)\otimes(U_i\otimes U_j)\to\mathfrak{g}_k\otimes U_k,$$ перестановочным с действием группы $H$. Поэтому $\varphi_{ij}^k$ может быть отлично от нуля, только если в разложении представления группы $H$ в $\mathfrak{g}_i\otimes\mathfrak{g}_j$ присутствуют неприводимые компоненты, изоморфные $\mathfrak{g}_k$. Если группа $H$ абелева, то все её неприводимые комплексные линейные представления одномерны, и (тензорное) произведение неприводимых представлений неприводимо. В общем случае задача разложения произведения неприводимых представлений на неприводимые компоненты является одной из основных задач теории представлений и не имеет универсального решения. Задачи Задача 25.1. Доказать, что существует простая алгебра Ли $\mathfrak{g}$, допускающая целочисленную градуировку вида $$ \mathfrak{g}=\textstyle\bigwedge^3V^\oplus\mathfrak{gl}(V)\oplus\bigwedge^3V,\qquad\dim V=5, $$ и найти её тип. Задача 25.2. Пусть задан гомоморфизм $R:\mathfrak{X}(A)\to\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$ (как алгебраических групп). Тогда существует такая $A$-градуировка $\mathfrak{g}=\bigoplus_{\alpha\in A}\mathfrak{g}_{\alpha}$ алгебры $\mathfrak{g}$, что $$ \mathfrak{g}_{\alpha}=\{\xi\in\mathfrak{g}\mid R(\chi)\xi=\chi(\alpha)\xi,\ \forall\chi\in\mathfrak{X}(A)\}. $$ Задача 25.3. Изотипные компоненты вполне приводимого представления $R:H\to GL(V)$ определены однозначно (как подпространства пространства $V$). Задача 25.4. Выбор базиса $u_1,\dots,u_m$ в пространстве $U_i$ задаёт разложение изотипной компоненты $$W_i=u_1(V_i)\oplus\dots\oplus u_m(V_i)\simeq\bigl(V_i\otimes\langle u_1\rangle\bigr)\oplus\dots\oplus\bigl(V_i\otimes\langle u_m\rangle\bigr)=V_i\otimes U_i$$ в прямую сумму неприводимых представлений $u_j(V_i)\simeq V_i$, и все разложения изотипной компоненты на неприводимые слагаемые получаются таким образом. Задача 25.5. (обобщение леммы Шура*) Пусть $R:H\to GL(V)$ и $R':H\to GL(V')$ — два вполне приводимых комплексных линейных представления. Рассмотрим их изотипные разложения: \begin{align} V &=(V_1\otimes U_1) \oplus\dots\oplus(V_s\otimes U_s), \\ V'&=(V_1\otimes U'_1)\oplus\dots\oplus(V_s\otimes U'_s). \end{align} Тогда всякий гомоморфизм $\mathcal{A}:V\to V'$ представления $R$ в $R'$ имеет вид $$\mathcal{A}=(\mathcal{E}\otimes\mathcal{A}_1)\oplus\dots\oplus(\mathcal{E}\otimes\mathcal{A}_s),$$ где $\mathcal{A}_i:U_i\to U'_i$ ($i=1,\dots,s$) — какие-то линейные отображения.