предыдущий семинар 22 апреля 2016 г. следующий семинар

Тема 26

Очень короткие $SO_3$-структуры на алгебрах Ли

Мы будем рассматривать (комплексные) алгебры Ли, структурированные при помощи группы $SL_2$ $(=SL_2(\mathbb{C}))$. Все неприводимые представления этой группы нам известны — это представления $$R_n:SL_2\to GL(V(n)),$$ где $V(n)$ — пространство бинарных форм (т.е. однородных многочленов от двух переменных) степени $n\ge0$; $\dim V(n)=n+1$. Заметим, что $R_2$ — это присоединённое представление. Разложение тензорного произведения двух неприводимых представлений на неприводимые компоненты (необходимое для описания $SL_2$-структуры на алгебре Ли) вычисляется по формуле Клебша–Гордана.

Чтобы сделать ситуацию более обозримой, мы ограничимся $SL_2$-структурами $R:SL_2\to\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$, удовлетворяющими условиям:

(а) $R(-E)=\mathrm{id}$ (т.е. все неприводимые компоненты имеют вид $V(n)$, $n\in2\mathbb{Z}$);

(б) размерности неприводимых компонент представления $R$ не превосходят 5 (т.е. это могут быть только $V(0)$, $V(2)$ и $V(4)$).

Условие (а) означает, что $R$ фактически является представлением группы $$SL_2/\{\pm E\}\simeq SO_3\ (=SO_3(\mathbb{C})).$$

Определение. $SO_3$-структуру $R:SO_3\to\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$ назовём короткой, если размерности неприводимых компонент представления $R$ не превосходят 5, и очень короткой, если они не превосходят 3.

Рассмотрим вначале очень короткую $SO_3$-структуру на алгебре Ли $\mathfrak{g}$. Пусть $$\mathfrak{g}=(V(0)\otimes U_0)\oplus(V(2)\otimes U_2)\simeq\mathfrak{g}_0\oplus(\mathfrak{so}_3\otimes J)$$ — изотипное разложение. Из разложений тензорных произведений $$ V(0)\otimes V(0)\simeq V(0),\qquad V(0)\otimes V(2)\simeq V(2),\qquad V(2)\otimes V(2)\simeq \smash[b]{\underbrace{V(4)\oplus V(0)}_{S^2V(2)}\oplus\underbrace{V(2)}_{\scriptstyle\bigwedge^2V(2)}} $$ с помощью задачи 25.5 получаем:

  1. $[\mathfrak{g}_0,\mathfrak{g}_0]\subseteq\mathfrak{g}_0$ (т.е. $\mathfrak{g}_0$ — подалгебра Ли);

  2. $[\partial,a\otimes x]=a\otimes\varphi(\partial)x\ $ ($\partial\in\mathfrak{g}_0$, $a\in\mathfrak{so}_3$, $x\in J$), где $\varphi:\mathfrak{g}_0\to\mathfrak{gl}(J)$ — линейное представление;

  3. $[a\otimes x,b\otimes y]=(a,b)\cdot\delta(x,y)+[a,b]\otimes xy\ $ ($a,b\in\mathfrak{so}_3$, $x,y\in J$), где $(\cdot,\cdot)$ — скалярное умножение на $\mathfrak{so}_3$, $\delta:J\times J\to\mathfrak{g}_0$ — кососимметрическое билинейное отображение, а $(x,y)\mapsto xy$ — коммутативная билинейная операция на $J$.
Заметим, что алгебру Ли $\mathfrak{so}_3$ можно отождествить с пространством $\mathbb{C}^3$, на котором структура алгебры Ли задана операцией векторного умножения (пространство $(\mathbb{C}^3)^*$ здесь можно отождествить с $\mathbb{C}^3$ с помощью скалярного умножения). В самом деле, каждый кососимметрический оператор на $\mathbb{C}^3$ есть оператор векторного умножения на некоторый (однозначно определённый) вектор, и возникающая биекция $\mathbb{C}^3\to\mathfrak{so}_3$ есть присоединённое представление алгебры Ли $\mathbb{C}^3$, а значит, изоморфизм алгебр Ли. При этом каноническое скалярное умножение на $\mathfrak{so}_3$ превращается в стандартное скалярное умножение на $\mathbb{C}^3$ с коэффициентом $-2$.

Тождество Якоби для элементов $\partial$, $a\otimes x$, $b\otimes y$ даёт \begin{align} (1)\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;[\partial,\delta(x,y)]&=\delta(\varphi(\partial)x,y)+\delta(x,\varphi(\partial)y),\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\\ (2)\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\varphi(\partial)(xy)&=\varphi(\partial)x\cdot y+x\cdot\varphi(\partial)y, \quad\text{т.е. }\varphi(\partial)\in\operatorname{Der}J.\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\\ \end{align} Заметим, что $\operatorname{Ker}\varphi\lhd\mathfrak{g}$. Если алгебра $\mathfrak{g}$ проста, то $\operatorname{Ker}\varphi=0$, и можно отождествить $\mathfrak{g}_0$ с некоторой подалгеброй в алгебре Ли $\operatorname{Der}J$, что мы и будем делать; вместо $\varphi(\partial)x$ будем писать просто $\partial{x}$.

Тождество Якоби для элементов $a\otimes x$, $b\otimes y$, $c\otimes z$ даёт $$ (a,b)c\otimes\delta(x,y)z+\dots+([a,b],c)\cdot\delta(xy,z)+\dots+[[a,b],c]\otimes(xy)z+\dots=0, $$ где многоточием обозначены слагаемые, полученные из предыдущего слагаемого одновременной циклической перестановкой элементов $a,b,c$ и $x,y,z$. Учитывая кососимметричность смешанного произведения $([\cdot,\cdot],\cdot)$, получаем $$ (3)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\delta(xy,z)+\delta(yz,x)+\delta(zx,y)=0.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ При $a=b=c$ получаем $$ (4)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\delta(x,y)z+\delta(y,z)x+\delta(z,x)y=0.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ При $a=b$, используя (4) и тождество Лагранжа, получаем $$ (5)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad2\delta(x,y)z=(yz)x-(zx)y, \quad\text{т.е. }\delta(x,y)=\frac12[T_x,T_y],\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; $$ где $T_w$ — оператор умножения на $w$ в $J$.

Тождество (1) следует из (2) и (5), а (4) следует из (5).

Если алгебра $\mathfrak{g}$ проста, то по задаче 26.2 подалгебра $\mathfrak{g}_0$ является линейной оболочкой элементов $\delta(x,y)$ $(x,y\in J)$, что мы и будем предполагать в дальнейшем. Тогда алгебра $\mathfrak{g}$ полностью определяется алгеброй $J$.

Условия на алгебру $J$ сводятся к тождеству (3), которое можно переписать в виде $$ (6)\qquad\qquad\qquad(xy)(zw)+(yz)(xw)+(zx)(yw)=x((yz)w)+y((zx)w)+z((xy)w),\qquad\qquad\qquad $$ и тому, что все коммутаторы операторов умножения $[T_x,T_y]$ являются дифференцированиями. Второе условие на самом деле следует из первого (задача 26.3).


Задачи

Задача 26.1. Найти все короткие $SO_3$-структуры на алгебре Ли $\mathfrak{gl}_n$.

Задача 26.2. Пусть $\tilde{\mathfrak{g}}_0\subseteq\mathfrak{g}_0$ — линейная оболочка элементов вида $\delta(x,y)$ ($x,y\in J$). Тогда $\tilde{\mathfrak{g}}_0\oplus(\mathfrak{so}_3\otimes J)\lhd\mathfrak{g}$.

Задача 26.3. Вывести из (6), что все операторы $[T_x,T_y]$ являются дифференцированиями алгебры $J$.