22 апреля 2016 г. | ||
Тема 26 Очень короткие $SO_3$-структуры на алгебрах Ли Мы будем рассматривать (комплексные) алгебры Ли, структурированные при помощи группы $SL_2$ $(=SL_2(\mathbb{C}))$. Все неприводимые представления этой группы нам известны — это представления $$R_n:SL_2\to GL(V(n)),$$ где $V(n)$ — пространство бинарных форм (т.е. однородных многочленов от двух переменных) степени $n\ge0$; $\dim V(n)=n+1$. Заметим, что $R_2$ — это присоединённое представление. Разложение тензорного произведения двух неприводимых представлений на неприводимые компоненты (необходимое для описания $SL_2$-структуры на алгебре Ли) вычисляется по формуле Клебша–Гордана.
Чтобы сделать ситуацию более обозримой, мы ограничимся $SL_2$-структурами $R:SL_2\to\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$, удовлетворяющими условиям:
Условие (а) означает, что $R$ фактически является представлением группы $$SL_2/\{\pm E\}\simeq SO_3\ (=SO_3(\mathbb{C})).$$ Определение. $SO_3$-структуру $R:SO_3\to\operatorname{Aut}\mathfrak{g}$ назовём короткой, если размерности неприводимых компонент представления $R$ не превосходят 5, и очень короткой, если они не превосходят 3. Рассмотрим вначале очень короткую $SO_3$-структуру на алгебре Ли $\mathfrak{g}$. Пусть $$\mathfrak{g}=(V(0)\otimes U_0)\oplus(V(2)\otimes U_2)\simeq\mathfrak{g}_0\oplus(\mathfrak{so}_3\otimes J)$$ — изотипное разложение. Из разложений тензорных произведений $$ V(0)\otimes V(0)\simeq V(0),\qquad V(0)\otimes V(2)\simeq V(2),\qquad V(2)\otimes V(2)\simeq \smash[b]{\underbrace{V(4)\oplus V(0)}_{S^2V(2)}\oplus\underbrace{V(2)}_{\scriptstyle\bigwedge^2V(2)}} $$ с помощью задачи 25.5 получаем:
Тождество Якоби для элементов $\partial$, $a\otimes x$, $b\otimes y$ даёт \begin{align} (1)\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;[\partial,\delta(x,y)]&=\delta(\varphi(\partial)x,y)+\delta(x,\varphi(\partial)y),\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\\ (2)\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\varphi(\partial)(xy)&=\varphi(\partial)x\cdot y+x\cdot\varphi(\partial)y, \quad\text{т.е. }\varphi(\partial)\in\operatorname{Der}J.\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\\ \end{align} Заметим, что $\operatorname{Ker}\varphi\lhd\mathfrak{g}$. Если алгебра $\mathfrak{g}$ проста, то $\operatorname{Ker}\varphi=0$, и можно отождествить $\mathfrak{g}_0$ с некоторой подалгеброй в алгебре Ли $\operatorname{Der}J$, что мы и будем делать; вместо $\varphi(\partial)x$ будем писать просто $\partial{x}$. Тождество Якоби для элементов $a\otimes x$, $b\otimes y$, $c\otimes z$ даёт $$ (a,b)c\otimes\delta(x,y)z+\dots+([a,b],c)\cdot\delta(xy,z)+\dots+[[a,b],c]\otimes(xy)z+\dots=0, $$ где многоточием обозначены слагаемые, полученные из предыдущего слагаемого одновременной циклической перестановкой элементов $a,b,c$ и $x,y,z$. Учитывая кососимметричность смешанного произведения $([\cdot,\cdot],\cdot)$, получаем $$ (3)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\delta(xy,z)+\delta(yz,x)+\delta(zx,y)=0.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ При $a=b=c$ получаем $$ (4)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\delta(x,y)z+\delta(y,z)x+\delta(z,x)y=0.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ При $a=b$, используя (4) и тождество Лагранжа, получаем $$ (5)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad2\delta(x,y)z=(yz)x-(zx)y, \quad\text{т.е. }\delta(x,y)=\frac12[T_x,T_y],\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; $$ где $T_w$ — оператор умножения на $w$ в $J$. Тождество (1) следует из (2) и (5), а (4) следует из (5). Если алгебра $\mathfrak{g}$ проста, то по задаче 26.2 подалгебра $\mathfrak{g}_0$ является линейной оболочкой элементов $\delta(x,y)$ $(x,y\in J)$, что мы и будем предполагать в дальнейшем. Тогда алгебра $\mathfrak{g}$ полностью определяется алгеброй $J$. Условия на алгебру $J$ сводятся к тождеству (3), которое можно переписать в виде $$ (6)\qquad\qquad\qquad(xy)(zw)+(yz)(xw)+(zx)(yw)=x((yz)w)+y((zx)w)+z((xy)w),\qquad\qquad\qquad $$ и тому, что все коммутаторы операторов умножения $[T_x,T_y]$ являются дифференцированиями. Второе условие на самом деле следует из первого (задача 26.3). Задача 26.1. Найти все короткие $SO_3$-структуры на алгебре Ли $\mathfrak{gl}_n$. Задача 26.2. Пусть $\tilde{\mathfrak{g}}_0\subseteq\mathfrak{g}_0$ — линейная оболочка элементов вида $\delta(x,y)$ ($x,y\in J$). Тогда $\tilde{\mathfrak{g}}_0\oplus(\mathfrak{so}_3\otimes J)\lhd\mathfrak{g}$. Задача 26.3. Вывести из (6), что все операторы $[T_x,T_y]$ являются дифференцированиями алгебры $J$. |