Рассмотрение очень коротких $SO_3$-структур на алгебрах Ли приводит к коммутативным алгебрам $J$, в которых выполнено тождество (6). Оно симметрично относительно $x,y,z$ и поэтому эквивалентно тождеству $$ (1)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad x^2(xw)=x(x^2w),\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad $$ получаемому из (6) подстановкой $x=y=z$.

Определение. Коммутативная алгебра, в которой выполняется тождество (1) (или эквивалентное ему тождество (6)), называется йордановой алгеброй.

С каждой йордановой алгеброй $J$ связана алгебра Ли $$\mathfrak{g}(J)=\operatorname{Der}_0J\oplus(\mathfrak{so}_3\otimes J),$$ где $\operatorname{Der}_0J\lhd\operatorname{Der}J$ — линейная оболочка коммутаторов $[T_x,T_y]$ ($x,y\in J$). Операция коммутирования в алгебре $\mathfrak{g}(J)$ задаётся формулами предыдущего семинара.

Заметим, что пространство $\mathfrak{so}_3\otimes J\simeq\mathfrak{sl}_2\otimes J$ можно понимать как пространство кососимметрических матриц порядка 3 или бесследных матриц порядка 2 над алгеброй $J$. Коммутатор таких матриц в алгебре $\mathfrak{g}(J)$ есть их обычный коммутатор плюс некоторый элемент из $\operatorname{Der}_0J$.

Определение. Структурной алгеброй Ли йордановой алгебры $J$ называется градуированная по модулю 2 алгебра Ли $$\operatorname{Str}J=\operatorname{Der}_0J\oplus J,$$ где коммутатор в $\operatorname{Der}_0J$ определяется обычным образом (как для линейных операторов), коммутатор между $\operatorname{Der}_0J$ и $J$ определяется действием $\operatorname{Der}_0J$ на $J$, а коммутатор элементов $x,y\in J$ определяется формулой $[x,y]=[T_x,T_y]$.

Структурная алгебра Ли вкладывается в алгебру Ли $\mathfrak{g}(J)$ (задача 27.1). Таким образом, с каждой йордановой алгеброй $J$ связаны три вложенные друг в друга алгебры Ли $$ (2)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \operatorname{Der}_0J\subset\operatorname{Str}J\subset\mathfrak{g}(J). \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ Можно показать, что если алгебра $J$ проста, то

$\operatorname{Der}_0J=\operatorname{Der}J$ — простая алгебра Ли;

алгебра Ли $\operatorname{Str}J$ редуктивна с одномерным центром (порождённым единичным элементом алгебры $J$), и её линейное представление из задачи 27.1 является точным;

алгебра Ли $\mathfrak{g}(J)$ проста.

Откуда берутся йордановы алгебры?

Хорошо известно, что если $A$ — ассоциативная алгебра, то операция $$[x,y]=xy-yx$$ превращает её в алгебру Ли (обозначаемую через $A^{-}$).

Оказывается, операция $$x\circ y=\frac12(xy+yx)$$ превращает $A$ в йорданову алгебру (обозначаемую через $A^{+}$). Множитель $1/2$ не обязателен, но удобен по ряду соображений (например, чтобы единица в ассоциативной алгебре осталась единицей и в йордановой алгебре).

В частности, взяв $A=L_n$ (алгебра всех матриц порядка $n$), мы получим йорданову алгебру $L_n^+$. Подпространство симметрических матриц $H_n$ является её подалгеброй.

Найдём алгебры Ли (2), ассоциированные с йордановой алгеброй $J=H_n$. Легко видеть, что $$[T_X,T_Y]=\frac14\operatorname{ad}([X,Y]),$$ и коммутаторы всевозможных пар симметрических матриц линейно порождают пространство кососимметрических матриц. Поэтому $\operatorname{Der}_0H_n=\mathfrak{so}_n$ — алгебра Ли кососимметрических матриц, а $\operatorname{Str}H_n=\mathfrak{so}_n\oplus H_n=\mathfrak{gl}_n$. Интепретируя подпространство $\mathfrak{sl}_2\otimes H_n\subset\mathfrak{g}(H_n)$ как пространство матриц порядка 2 с нулевым следом над $H_n$, а $\operatorname{Der}_0H_n$ — как пространство скалярных матриц порядка 2 над $\mathfrak{so}_n$, мы можем отождествить алгебру Ли $\mathfrak{g}(H_n)$ с алгеброй матриц порядка $2n$ вида $$ \begin{pmatrix} Z & X \\ Y &-Z^{\top} \end{pmatrix}, $$ где $X$ и $Y$ — симметрические матрицы, а $Z$ — произвольная матрица порядка $n$. Следовательно, $\mathfrak{g}(H_n)=\mathfrak{sp}_{2n}$ — касательная алгебра Ли группы Ли $Sp_{2n}$ матриц линейных преобразований, сохраняющих кососимметрическую билинейную форму с матрицей $$ \begin{pmatrix} \hphantom{-}\mathrm{O} & E \\ -E & \mathrm{O} \end{pmatrix}. $$ Аналогично можно разобраться с йордановой алгеброй $L_n^+$ (задача 27.4).

Рассмотрим более общую конструкцию. Пусть $\mathfrak{A}$ — ассоциативная алгебра (над каким-то полем $\mathbb{K}$) с инволютивным антиавтоморфизмом (инволюцией) $a\mapsto\bar{a}$. Матрицу $A$ с элементами $a_{ij}\in\mathfrak{A}$ назовём эрмитовой, если $$\bar{A}^{\top}=A,$$ т.е. $a_{ji}=\overline{a_{ij}}$ для всех $i,j$. Легко видеть, что $$\overline{AB}^{\top}=\overline{B}^{\top}\bar{A}^{\top}.$$ Отсюда следует, что эрмитовы матрицы образуют йорданову подалгебру $H_n(\mathfrak{A})\subset L_n(\mathfrak{A})^+$.

В частности, если алгебра $\mathfrak{A}$ коммутативна и инволюция тривиальна, то $H_n(\mathfrak{A})$ — это йорданова алгебра симметрических матриц над $\mathfrak{A}$.

Замечательным фактом является то, что алгебра $H_3(\mathbb{O})$ (и её комплексификация $H_3(\mathbb{O}(\mathbb{C}))$) является йордановой, хотя алгебра $L_3(\mathbb{O})$ не ассоциативна. Это так называемая особая йорданова алгебра. Её размерность равна 27.

Задача 27.1. Если $h\in\mathfrak{so}_3$, $(h,h)\ne0$, то $\operatorname{Der}_0J\oplus(h\otimes J)$ — градуированная по модулю 2 подалгебра алгебры $\mathfrak{g}(J)$, изоморфная алгебре $\operatorname{Str}J$. Тождественное вложение $\operatorname{Der}_0J\hookrightarrow\mathfrak{gl}(J)$ вместе с линейным отображением $J\to\mathfrak{gl}(J)$, $x\mapsto T_x$, задают линейное представление алгебры Ли $\operatorname{Str}J$ в пространстве $J$.

Задача 27.2. Пусть $\{e,f,h\}$ — стандартный базис алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2\simeq\mathfrak{so}_3$. Доказать, что разложение $$\mathfrak{g}(J)=(f\otimes J)\oplus\operatorname{Str}J\oplus(e\otimes J)$$ есть целочисленная градуировка (глубины 1).

Задача 27.3. Йордановы алгебры $L_n^+$ и $H_n$ просты.

Задача 27.4. Найти алгебры Ли (2), ассоциированные с йордановой алгеброй $J=L_n^+$.

Задача 27.5. Доказать простоту вещественных йордановых алгебр $H_n(\mathfrak{A})$ в следующих случаях:
а) $\mathfrak{A}=\mathbb{C}$, инволюция — комплексное сопряжение;
б) $\mathfrak{A}=\mathbb{H}$, инволюция — кватернионное сопряжение.

Задача 27.6. Найти алгебры Ли (2), ассоциированные с йордановыми алгебрами из задачи 27.5 и их комплексификациями.

Задача 27.7*. Найти алгебры Ли (2), ассоциированные с особой комплексной йордановой алгеброй.

предыдущий семинар	29 апреля 2016 г.	следующий семинар
Тема 27 Йордановы алгебры Рассмотрение очень коротких $SO_3$-структур на алгебрах Ли приводит к коммутативным алгебрам $J$, в которых выполнено тождество (6). Оно симметрично относительно $x,y,z$ и поэтому эквивалентно тождеству $$ (1)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad x^2(xw)=x(x^2w),\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad $$ получаемому из (6) подстановкой $x=y=z$. Определение. Коммутативная алгебра, в которой выполняется тождество (1) (или эквивалентное ему тождество (6)), называется йордановой алгеброй. С каждой йордановой алгеброй $J$ связана алгебра Ли $$\mathfrak{g}(J)=\operatorname{Der}_0J\oplus(\mathfrak{so}_3\otimes J),$$ где $\operatorname{Der}_0J\lhd\operatorname{Der}J$ — линейная оболочка коммутаторов $[T_x,T_y]$ ($x,y\in J$). Операция коммутирования в алгебре $\mathfrak{g}(J)$ задаётся формулами предыдущего семинара. Заметим, что пространство $\mathfrak{so}_3\otimes J\simeq\mathfrak{sl}_2\otimes J$ можно понимать как пространство кососимметрических матриц порядка 3 или бесследных матриц порядка 2 над алгеброй $J$. Коммутатор таких матриц в алгебре $\mathfrak{g}(J)$ есть их обычный коммутатор плюс некоторый элемент из $\operatorname{Der}_0J$. Определение. Структурной алгеброй Ли йордановой алгебры $J$ называется градуированная по модулю 2 алгебра Ли $$\operatorname{Str}J=\operatorname{Der}_0J\oplus J,$$ где коммутатор в $\operatorname{Der}_0J$ определяется обычным образом (как для линейных операторов), коммутатор между $\operatorname{Der}_0J$ и $J$ определяется действием $\operatorname{Der}_0J$ на $J$, а коммутатор элементов $x,y\in J$ определяется формулой $[x,y]=[T_x,T_y]$. Структурная алгебра Ли вкладывается в алгебру Ли $\mathfrak{g}(J)$ (задача 27.1). Таким образом, с каждой йордановой алгеброй $J$ связаны три вложенные друг в друга алгебры Ли $$ (2)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \operatorname{Der}_0J\subset\operatorname{Str}J\subset\mathfrak{g}(J). \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ Можно показать, что если алгебра $J$ проста, то $\operatorname{Der}_0J=\operatorname{Der}J$ — простая алгебра Ли; алгебра Ли $\operatorname{Str}J$ редуктивна с одномерным центром (порождённым единичным элементом алгебры $J$), и её линейное представление из задачи 27.1 является точным; алгебра Ли $\mathfrak{g}(J)$ проста. Откуда берутся йордановы алгебры? Хорошо известно, что если $A$ — ассоциативная алгебра, то операция $$[x,y]=xy-yx$$ превращает её в алгебру Ли (обозначаемую через $A^{-}$). Оказывается, операция $$x\circ y=\frac12(xy+yx)$$ превращает $A$ в йорданову алгебру (обозначаемую через $A^{+}$). Множитель $1/2$ не обязателен, но удобен по ряду соображений (например, чтобы единица в ассоциативной алгебре осталась единицей и в йордановой алгебре). В частности, взяв $A=L_n$ (алгебра всех матриц порядка $n$), мы получим йорданову алгебру $L_n^+$. Подпространство симметрических матриц $H_n$ является её подалгеброй. Найдём алгебры Ли (2), ассоциированные с йордановой алгеброй $J=H_n$. Легко видеть, что $$[T_X,T_Y]=\frac14\operatorname{ad}([X,Y]),$$ и коммутаторы всевозможных пар симметрических матриц линейно порождают пространство кососимметрических матриц. Поэтому $\operatorname{Der}_0H_n=\mathfrak{so}_n$ — алгебра Ли кососимметрических матриц, а $\operatorname{Str}H_n=\mathfrak{so}_n\oplus H_n=\mathfrak{gl}_n$. Интепретируя подпространство $\mathfrak{sl}_2\otimes H_n\subset\mathfrak{g}(H_n)$ как пространство матриц порядка 2 с нулевым следом над $H_n$, а $\operatorname{Der}_0H_n$ — как пространство скалярных матриц порядка 2 над $\mathfrak{so}_n$, мы можем отождествить алгебру Ли $\mathfrak{g}(H_n)$ с алгеброй матриц порядка $2n$ вида $$ \begin{pmatrix} Z & X \\ Y &-Z^{\top} \end{pmatrix}, $$ где $X$ и $Y$ — симметрические матрицы, а $Z$ — произвольная матрица порядка $n$. Следовательно, $\mathfrak{g}(H_n)=\mathfrak{sp}_{2n}$ — касательная алгебра Ли группы Ли $Sp_{2n}$ матриц линейных преобразований, сохраняющих кососимметрическую билинейную форму с матрицей $$ \begin{pmatrix} \hphantom{-}\mathrm{O} & E \\ -E & \mathrm{O} \end{pmatrix}. $$ Аналогично можно разобраться с йордановой алгеброй $L_n^+$ (задача 27.4). Рассмотрим более общую конструкцию. Пусть $\mathfrak{A}$ — ассоциативная алгебра (над каким-то полем $\mathbb{K}$) с инволютивным антиавтоморфизмом (инволюцией) $a\mapsto\bar{a}$. Матрицу $A$ с элементами $a_{ij}\in\mathfrak{A}$ назовём эрмитовой, если $$\bar{A}^{\top}=A,$$ т.е. $a_{ji}=\overline{a_{ij}}$ для всех $i,j$. Легко видеть, что $$\overline{AB}^{\top}=\overline{B}^{\top}\bar{A}^{\top}.$$ Отсюда следует, что эрмитовы матрицы образуют йорданову подалгебру $H_n(\mathfrak{A})\subset L_n(\mathfrak{A})^+$. В частности, если алгебра $\mathfrak{A}$ коммутативна и инволюция тривиальна, то $H_n(\mathfrak{A})$ — это йорданова алгебра симметрических матриц над $\mathfrak{A}$. Замечательным фактом является то, что алгебра $H_3(\mathbb{O})$ (и её комплексификация $H_3(\mathbb{O}(\mathbb{C}))$) является йордановой, хотя алгебра $L_3(\mathbb{O})$ не ассоциативна. Это так называемая особая йорданова алгебра. Её размерность равна 27. Задачи Задача 27.1. Если $h\in\mathfrak{so}_3$, $(h,h)\ne0$, то $\operatorname{Der}_0J\oplus(h\otimes J)$ — градуированная по модулю 2 подалгебра алгебры $\mathfrak{g}(J)$, изоморфная алгебре $\operatorname{Str}J$. Тождественное вложение $\operatorname{Der}_0J\hookrightarrow\mathfrak{gl}(J)$ вместе с линейным отображением $J\to\mathfrak{gl}(J)$, $x\mapsto T_x$, задают линейное представление алгебры Ли $\operatorname{Str}J$ в пространстве $J$. Задача 27.2. Пусть $\{e,f,h\}$ — стандартный базис алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2\simeq\mathfrak{so}_3$. Доказать, что разложение $$\mathfrak{g}(J)=(f\otimes J)\oplus\operatorname{Str}J\oplus(e\otimes J)$$ есть целочисленная градуировка (глубины 1). Задача 27.3. Йордановы алгебры $L_n^+$ и $H_n$ просты. Задача 27.4. Найти алгебры Ли (2), ассоциированные с йордановой алгеброй $J=L_n^+$. Задача 27.5. Доказать простоту вещественных йордановых алгебр $H_n(\mathfrak{A})$ в следующих случаях: а) $\mathfrak{A}=\mathbb{C}$, инволюция — комплексное сопряжение; б) $\mathfrak{A}=\mathbb{H}$, инволюция — кватернионное сопряжение. Задача 27.6. Найти алгебры Ли (2), ассоциированные с йордановыми алгебрами из задачи 27.5 и их комплексификациями. Задача 27.7*. Найти алгебры Ли (2), ассоциированные с особой комплексной йордановой алгеброй.