13 мая 2016 г. | ||
Тема 28 Короткие $SO_3$-структуры на алгебрах Ли Пусть на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ задана короткая $SO_3$-структура. Рассмотрим её изотипное разложение: $$ (*)\qquad\quad \mathfrak{g}=(V(0)\otimes U_0)\oplus(V(2)\otimes U_2)\oplus(V(4)\otimes U_4) =\mathfrak{g}_0\oplus(\mathfrak{so}_3\otimes J_+)\oplus(\mathfrak{sym}^0_3\otimes J_-),\qquad\quad $$ где $\mathfrak{so}_3$ — пространство кососимметрических матриц 3-го порядка, а $\mathfrak{sym}^0_3$ — пространство симметрических матриц 3-го порядка со следом $0$. Операция коммутирования на $\mathfrak{g}$ устроена следующим образом (ср. с очень короткой $SO_3$-структурой):
Рассмотрим векторное пространство $J=J_+\oplus J_-$ и зададим в нём билинейную операцию по формуле \begin{multline} (x+u)\cdot(y+v)=\bigl((xy)_++(xv)_+-(yu)_++(uv)_+\bigr)+\bigl((xy)_-+(xv)_-+(yu)_-+(uv)_-\bigr)\\ (x,y\in J_+,\ u,v\in J_-). \end{multline} Тогда "сопряжение" $x+u\mapsto\overline{x+u}=x-u$ будет инволютивным антиавтоморфизмом. Таким образом, $J$ превращается в алгебру с инволюцией. Пространство $$ (\mathfrak{so}_3\otimes J_+)\oplus(\mathfrak{sym}^0_3\otimes J_-)=\mathfrak{su}_3(J) $$ можно понимать как пространство "косоэрмитовых" (т.е. удовлетворяющих условию $\bar{A}^{\top}=-A$) матриц 3-го порядка со следом $0$ над алгеброй $J$. Тогда коммутатор двух элементов этого пространства можно вычислять как обычный коммутатор матриц, спроектированный на пространство матриц со следом $0$, плюс некоторый добавок из $\mathfrak{g}_0$. Рассмотрим линейное представление $$\rho=\rho_+\oplus\rho_-:\mathfrak{g}_0\to\mathfrak{gl}(J).$$ Из тождества Якоби следует, что $\rho(\mathfrak{g}_0)\subseteq\operatorname{Der}J$ (причём дифференцирования в образе представления $\rho$ перестановочны с сопряжением). Если алгебра $\mathfrak{g}$ проста, то представление $\rho$ точно, так как $\operatorname{Ker}\rho\lhd\mathfrak{g}$. В этом случае можно считать, что $\mathfrak{g}_0\subseteq\operatorname{Der}J$. Определим кососимметрическое билинейное отображение $\delta:J\times J\to\mathfrak{g}_0$ по формуле $$ \delta(x+u,y+v)=\delta_+(x,y)+\delta_-(u,v)\qquad(x,y\in J_+,\ u,v\in J_-). $$ Из тождества Якоби можно получить явную формулу для $\delta$ в терминах умножения в алгебре $J$. Отсюда следует, что подпространство $\operatorname{Der}_0J\subseteq\mathfrak{g}_0$, порождённое дифференцированиями из образа отображения $\delta$ (которые можно назвать внутренними), инвариантно относительно автоморфизмов алгебры $J$, а значит, является идеалом в $\operatorname{Der}J$, и поэтому $\operatorname{Der}_0J\oplus\mathfrak{su}_3(J)\lhd\mathfrak{g}$. Если алгебра $\mathfrak{g}$ проста, то $\mathfrak{g}_0=\operatorname{Der}_0J$. (На самом деле можно показать, что в этом случае все дифференцирования алгебры $J$ являются внутренними.) Тождество Якоби в $\mathfrak{g}$ равносильно некоторым тождествам (с участием инволюции) в алгебре $J$. Алгебры с инволюцией, удовлетворяющие этим тождествам, называются алгебрами Кантора–Аллисона (КА-алгебрами). Примеры.
Задача 28.1. Естественное линейное представление группы $SO_n$ в пространстве $\mathfrak{sym}^0_n$ симметрических матриц порядка $n$ со следом $0$ неприводимо. |