предыдущий семинар 13 мая 2016 г.

Тема 28

Короткие $SO_3$-структуры на алгебрах Ли

Пусть на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ задана короткая $SO_3$-структура. Рассмотрим её изотипное разложение: $$ (*)\qquad\quad \mathfrak{g}=(V(0)\otimes U_0)\oplus(V(2)\otimes U_2)\oplus(V(4)\otimes U_4) =\mathfrak{g}_0\oplus(\mathfrak{so}_3\otimes J_+)\oplus(\mathfrak{sym}^0_3\otimes J_-),\qquad\quad $$ где $\mathfrak{so}_3$ — пространство кососимметрических матриц 3-го порядка, а $\mathfrak{sym}^0_3$ — пространство симметрических матриц 3-го порядка со следом $0$.

Операция коммутирования на $\mathfrak{g}$ устроена следующим образом (ср. с очень короткой $SO_3$-структурой):

  1. $\mathfrak{g}_0$ — подалгебра Ли;

  2. коммутирование элементов из $\mathfrak{g}_0$ с элементами 2-го и 3-го слагаемых разложения (*) определяется линейными представлениями $\rho_{\pm}:\mathfrak{g}_0\to\mathfrak{gl}(J_{\pm})$, т.е. \begin{multline} [\partial,a\otimes x]=a\otimes\rho_+(\partial)x,\quad [\partial,s\otimes u]=s\otimes\rho_-(\partial)u\\ (\partial\in\mathfrak{g}_0,\ a\in\mathfrak{so}_3,\ x\in J_+,\ s\in\mathfrak{sym}^0_3,\ u\in J_-); \end{multline}

  3. коммутатор элементов 2-го слагаемого задаётся формулой
  4. \begin{multline} [a\otimes x,b\otimes y]=(a,b)\cdot\delta_+(x,y)+[a,b]\otimes(xy)_++(ab+ba)_0\otimes(xy)_-\\ (a,b\in\mathfrak{so}_3,\ x,y\in J_+), \end{multline} где \begin{align} \delta_+:J_+\times J_+&\to\mathfrak{g}_0 &&\text{— кососимметрическое билинейное отображение},\\ J_+\times J_+&\to J_+,\quad(x,y)\mapsto(xy)_+ &&\text{— коммутативная билинейная операция в }J_+,\\ J_+\times J_+&\to J_-,\quad(x,y)\mapsto(xy)_- &&\text{— кососимметрическое билинейное отображение}, \end{align} $(a,b)=\operatorname{tr}(ab)$ — скалярное умножение на $\mathfrak{so}_3$, $[a,b]=ab-ba$ — матричный коммутатор, а $(ab+ba)_0$ обозначает проекцию матрицы $ab+ba$ на пространство бесследных матриц вдоль пространства скалярных матриц;
  5. коммутатор элементов 2-го и 3-го слагаемых задаётся формулой
  6. \begin{multline} [a\otimes x,s\otimes u]=(as+sa)\otimes(xu)_++(as-sa)\otimes(xu)_-\\ (a\in\mathfrak{so}_3,\ x\in J_+,\ s\in\mathfrak{sym}^0_3,\ u\in J_-), \end{multline} где \begin{align} J_+\times J_-&\to J_+,&(x,u)&\mapsto(xu)_+,\\ J_+\times J_-&\to J_-,&(x,u)&\mapsto(xu)_- \end{align} — билинейные отображения;
  7. коммутатор элементов 3-го слагаемого задаётся формулой
  8. \begin{multline} [s\otimes u,t\otimes v]=(s,t)\cdot\delta_-(u,v)+[s,t]\otimes(uv)_++(st+ts)_0\otimes(uv)_-\\ (s,t\in\mathfrak{sym}^0_3,\ u,v\in J_-), \end{multline} где \begin{align} \delta_-:J_-\times J_-&\to\mathfrak{g}_0 &&\text{— кососимметрическое билинейное отображение},\\ J_-\times J_-&\to J_+,\quad(u,v)\mapsto(uv)_+ &&\text{— симметрическое билинейное отображение},\\ J_-\times J_-&\to J_-,\quad(u,v)\mapsto(uv)_- &&\text{— кососимметрическое билинейное отображение}. \end{align}

Рассмотрим векторное пространство $J=J_+\oplus J_-$ и зададим в нём билинейную операцию по формуле \begin{multline} (x+u)\cdot(y+v)=\bigl((xy)_++(xv)_+-(yu)_++(uv)_+\bigr)+\bigl((xy)_-+(xv)_-+(yu)_-+(uv)_-\bigr)\\ (x,y\in J_+,\ u,v\in J_-). \end{multline} Тогда "сопряжение" $x+u\mapsto\overline{x+u}=x-u$ будет инволютивным антиавтоморфизмом. Таким образом, $J$ превращается в алгебру с инволюцией.

Пространство $$ (\mathfrak{so}_3\otimes J_+)\oplus(\mathfrak{sym}^0_3\otimes J_-)=\mathfrak{su}_3(J) $$ можно понимать как пространство "косоэрмитовых" (т.е. удовлетворяющих условию $\bar{A}^{\top}=-A$) матриц 3-го порядка со следом $0$ над алгеброй $J$. Тогда коммутатор двух элементов этого пространства можно вычислять как обычный коммутатор матриц, спроектированный на пространство матриц со следом $0$, плюс некоторый добавок из $\mathfrak{g}_0$.

Рассмотрим линейное представление $$\rho=\rho_+\oplus\rho_-:\mathfrak{g}_0\to\mathfrak{gl}(J).$$ Из тождества Якоби следует, что $\rho(\mathfrak{g}_0)\subseteq\operatorname{Der}J$ (причём дифференцирования в образе представления $\rho$ перестановочны с сопряжением). Если алгебра $\mathfrak{g}$ проста, то представление $\rho$ точно, так как $\operatorname{Ker}\rho\lhd\mathfrak{g}$. В этом случае можно считать, что $\mathfrak{g}_0\subseteq\operatorname{Der}J$.

Определим кососимметрическое билинейное отображение $\delta:J\times J\to\mathfrak{g}_0$ по формуле $$ \delta(x+u,y+v)=\delta_+(x,y)+\delta_-(u,v)\qquad(x,y\in J_+,\ u,v\in J_-). $$ Из тождества Якоби можно получить явную формулу для $\delta$ в терминах умножения в алгебре $J$. Отсюда следует, что подпространство $\operatorname{Der}_0J\subseteq\mathfrak{g}_0$, порождённое дифференцированиями из образа отображения $\delta$ (которые можно назвать внутренними), инвариантно относительно автоморфизмов алгебры $J$, а значит, является идеалом в $\operatorname{Der}J$, и поэтому $\operatorname{Der}_0J\oplus\mathfrak{su}_3(J)\lhd\mathfrak{g}$. Если алгебра $\mathfrak{g}$ проста, то $\mathfrak{g}_0=\operatorname{Der}_0J$. (На самом деле можно показать, что в этом случае все дифференцирования алгебры $J$ являются внутренними.)

Тождество Якоби в $\mathfrak{g}$ равносильно некоторым тождествам (с участием инволюции) в алгебре $J$. Алгебры с инволюцией, удовлетворяющие этим тождествам, называются алгебрами Кантора–Аллисона (КА-алгебрами).

Примеры.

  1. КА-алгебры с тривиальной инволюцией — это то же, что йордановы алгебры.
  2. Всякая ассоциативная алгебра с инволюцией является КА-алгеброй.
  3. Следующие алгебры (и их комплексификации) являются КА-алгебрами: $$\mathbb{O},\quad\mathbb{C}\otimes\mathbb{O},\quad\mathbb{H}\otimes\mathbb{O},\quad\mathbb{O}\otimes\mathbb{O}$$ (инволюция определяется формулой $\overline{x\otimes y}=\bar{x}\otimes\bar{y}$). Им соответствуют простые алгебры Ли типов $$\mathsf{F}_4,\quad\mathsf{E}_6,\quad\mathsf{E}_7,\quad\mathsf{E}_8.$$ Если учесть, что алгебра Ли $\operatorname{Der}\mathbb{O}$ имеет тип $\mathsf{G}_2$, то получается единый подход к построению всех особых простых алгебр Ли.

Задачи

Задача 28.1. Естественное линейное представление группы $SO_n$ в пространстве $\mathfrak{sym}^0_n$ симметрических матриц порядка $n$ со следом $0$ неприводимо.