Обозначения:

$\mathbb{K}$ — основное поле;
$\mathbb{A}^n=\mathbb{A}^n(\mathbb{K})=\mathbb{K}^n$ — $n$-мерное аффинное (координатное) пространство над $\mathbb{K}$;
$\mathbb{K}[\mathbb{A}^n]=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ — алгебра многочленов от координат на аффинном пространстве.

Определение. Аффинное алгебраическое многообразие — подмножество $X=X(\mathcal{F})\subseteq\mathbb{A}^n$, задаваемое системой алгебраических уравнений $f(x)=0$, $f\in\mathcal{F}$, где $\mathcal{F}\subseteq\mathbb{K}[\mathbb{A}^n]$.

Класс аффинных алгебраических многообразий замкнут относительно конечных объединений и произвольных пересечений, содержит $\varnothing$ и всё пространство $\mathbb{A}^n$, и образует систему замкнутых множеств для некоторой топологии в $\mathbb{A}^n$, называемой топологией Зарисского. Она нехаусдорфова в случае бесконечного поля $\mathbb{K}$ (см. задачу 1.1) и в случае $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ слабее обычной классической топологии на $\mathbb{A}^n$.

Если поле $\mathbb{K}$ конечно, то любое подмножество в $\mathbb{A}^n$ является аффинным многообразием. В дальнейшем, как правило, будем считать поле $\mathbb{K}$ бесконечным.

Вместо произвольного множества многочленов $\mathcal{F}\subseteq\mathbb{K}[\mathbb{A}^n]$ можно рассмотреть порождённый им идеал $\mathcal{I}=(\mathcal{F})\lhd\mathbb{K}[\mathbb{A}^n]$. Он задаёт то же аффинное многообразие.

Теорема Гильберта о базисе идеала. Любой идеал $\mathcal{I}\lhd\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ порождён конечным набором многочленов (или, как говорят, имеет конечный базис).

Следствие. Всякое аффинное алгебраическое многообразие может быть задано конечной системой алгебраических уравнений.

Схема доказательства.

1) На множестве одночленов $x^{\alpha}=x_1^{\alpha_1}\cdots x_1^{\alpha_n}$ (или, что равносильно, на множестве $\mathbb{Z}_+^n$ их мультистепеней $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$) имеется лексикографический порядок. Он обладает двумя важными свойствами:

$x^{\alpha}\prec x^{\beta}\implies x^{\alpha}x^{\gamma}=x^{\alpha+\gamma}\prec x^{\beta}x^{\gamma}=x^{\beta+\gamma}$;
в любом множестве одночленов есть наименьший (младший) одночлен.

Такие линейные порядки на множестве одночленов называются мономиальными.

Обозначим через $\hat{f}$ старший член многочлена $f$. Линейная оболочка старших членов всех многочленов $f\in\mathcal{I}$ образует идеал $\widehat{\mathcal{I}}\lhd\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ — идеал старших членов идеала $\mathcal{I}$.

2) Для идеалов, порождённых одночленами, (такие идеалы называются мономиальными) теорема Гильберта о базисе справедлива в следующей форме.

Лемма Диксона. Любой мономиальный идеал $\mathcal{J}\lhd\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ порождён конечным набором одночленов.

Доказательство конструктивно и ведётся индукцией по $n$.

3) Пусть идеал $\widehat{\mathcal{I}}$ имеет базис из одночленов $\hat{f_1},\dots,\hat{f_s}$, где $f_1,\dots,f_s\in\mathcal{I}$. Тогда $f_1,\dots,f_s$ образуют базис идеала $\mathcal{I}$. Такие базисы называются базисами Грёбнера.

Замечание. Вместо лексикографического порядка в доказательстве можно использовать любой мономиальный порядок.

Задача 1.1. Можно ли аффинное пространство над бесконечным полем представить в виде объединения двух собственных аффинных многообразий: $\mathbb{A}^n=X\cup Y$, $X,Y\ne\mathbb{A}^n$ ?

Задача 1.2. Пусть $X\subseteq\mathbb{A}^n$, $Y\subseteq\mathbb{A}^m$ — аффинные многообразия. Является ли $X\times Y$ аффинным многообразием в $\mathbb{A}^{n+m}$?

Задача 1.3. Образуют ли многочлены $x-z^2,y-z^3$ базис Грёбнера (порождённого ими идеала) в $\mathbb{K}[x,y,z]$ относительно лексикографического порядка, заданного упорядочением переменных $x\succ y\succ z$?

Задача 1.4. Доказать, что любое аффинное многообразие в $\mathbb{A}^n(\mathbb{K})$ может быть задано одним уравнением
a) при $\mathbb{K}=\mathbb{R}$;
б)* для любого не алгебраически замкнутого поля $\mathbb{K}$.

	9 сентября 2016 г.	следующий семинар
Тема 1 Аффинные алгебраические многообразия. Теорема Гильберта о базисе идеала. Обозначения: $\mathbb{K}$ — основное поле; $\mathbb{A}^n=\mathbb{A}^n(\mathbb{K})=\mathbb{K}^n$ — $n$-мерное аффинное (координатное) пространство над $\mathbb{K}$; $\mathbb{K}[\mathbb{A}^n]=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ — алгебра многочленов от координат на аффинном пространстве. Определение. Аффинное алгебраическое многообразие — подмножество $X=X(\mathcal{F})\subseteq\mathbb{A}^n$, задаваемое системой алгебраических уравнений $f(x)=0$, $f\in\mathcal{F}$, где $\mathcal{F}\subseteq\mathbb{K}[\mathbb{A}^n]$. Класс аффинных алгебраических многообразий замкнут относительно конечных объединений и произвольных пересечений, содержит $\varnothing$ и всё пространство $\mathbb{A}^n$, и образует систему замкнутых множеств для некоторой топологии в $\mathbb{A}^n$, называемой топологией Зарисского. Она нехаусдорфова в случае бесконечного поля $\mathbb{K}$ (см. задачу 1.1) и в случае $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ слабее обычной классической топологии на $\mathbb{A}^n$. Если поле $\mathbb{K}$ конечно, то любое подмножество в $\mathbb{A}^n$ является аффинным многообразием. В дальнейшем, как правило, будем считать поле $\mathbb{K}$ бесконечным. Вместо произвольного множества многочленов $\mathcal{F}\subseteq\mathbb{K}[\mathbb{A}^n]$ можно рассмотреть порождённый им идеал $\mathcal{I}=(\mathcal{F})\lhd\mathbb{K}[\mathbb{A}^n]$. Он задаёт то же аффинное многообразие. Теорема Гильберта о базисе идеала. Любой идеал $\mathcal{I}\lhd\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ порождён конечным набором многочленов (или, как говорят, имеет конечный базис). Следствие. Всякое аффинное алгебраическое многообразие может быть задано конечной системой алгебраических уравнений. Схема доказательства. 1) На множестве одночленов $x^{\alpha}=x_1^{\alpha_1}\cdots x_1^{\alpha_n}$ (или, что равносильно, на множестве $\mathbb{Z}_+^n$ их мультистепеней $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$) имеется лексикографический порядок. Он обладает двумя важными свойствами: $x^{\alpha}\prec x^{\beta}\implies x^{\alpha}x^{\gamma}=x^{\alpha+\gamma}\prec x^{\beta}x^{\gamma}=x^{\beta+\gamma}$; в любом множестве одночленов есть наименьший (младший) одночлен. Такие линейные порядки на множестве одночленов называются мономиальными. Обозначим через $\hat{f}$ старший член многочлена $f$. Линейная оболочка старших членов всех многочленов $f\in\mathcal{I}$ образует идеал $\widehat{\mathcal{I}}\lhd\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ — идеал старших членов идеала $\mathcal{I}$. 2) Для идеалов, порождённых одночленами, (такие идеалы называются мономиальными) теорема Гильберта о базисе справедлива в следующей форме. Лемма Диксона. Любой мономиальный идеал $\mathcal{J}\lhd\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ порождён конечным набором одночленов. Доказательство конструктивно и ведётся индукцией по $n$. 3) Пусть идеал $\widehat{\mathcal{I}}$ имеет базис из одночленов $\hat{f_1},\dots,\hat{f_s}$, где $f_1,\dots,f_s\in\mathcal{I}$. Тогда $f_1,\dots,f_s$ образуют базис идеала $\mathcal{I}$. Такие базисы называются базисами Грёбнера. Замечание. Вместо лексикографического порядка в доказательстве можно использовать любой мономиальный порядок. Задачи Задача 1.1. Можно ли аффинное пространство над бесконечным полем представить в виде объединения двух собственных аффинных многообразий: $\mathbb{A}^n=X\cup Y$, $X,Y\ne\mathbb{A}^n$ ? Задача 1.2. Пусть $X\subseteq\mathbb{A}^n$, $Y\subseteq\mathbb{A}^m$ — аффинные многообразия. Является ли $X\times Y$ аффинным многообразием в $\mathbb{A}^{n+m}$? Задача 1.3. Образуют ли многочлены $x-z^2,y-z^3$ базис Грёбнера (порождённого ими идеала) в $\mathbb{K}[x,y,z]$ относительно лексикографического порядка, заданного упорядочением переменных $x\succ y\succ z$? Задача 1.4. Доказать, что любое аффинное многообразие в $\mathbb{A}^n(\mathbb{K})$ может быть задано одним уравнением a) при $\mathbb{K}=\mathbb{R}$; б)* для любого не алгебраически замкнутого поля $\mathbb{K}$.