Под кольцом (алгеброй) понимается (если не оговорено иное) коммутативное ассоциативное кольцо (алгебра над полем $\mathbb{K}$) с единицей.

Определение 1. Кольцо (алгебра) $A$ называется нётеровым, если любой идеал $\mathcal{I}\lhd A$ порождён конечным числом элементов или, что эквивалентно, любая возрастающая цепочка идеалов $\mathcal{I}_1\subseteq\mathcal{I}_2\subseteq\dots\lhd A$ стабилизируется (т.е., начиная с некоторого номера, $\mathcal{I}_k=\mathcal{I}_{k+1}=\dots$).

Основной пример. Алгебра многочленов $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ и её факторалгебры, т.е. любые конечнопорождённые алгебры нётеровы по теореме Гильберта о базисе идеала.

Конечная порождённость не является необходимым условием нётеровости.

Пример 1. Алгебра рациональных функций вида $f/g$, где $f,g\in\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$, $g(0,\dots,0)\ne0$, нётерова, но не конечно порождена.

Однако при некоторых дополнительных условиях из нётеровости вытекает конечная порождённость.

Определение 2. Алгебра $A$ положительно градуирована, если имеется её разложение в прямую сумму $$A=\bigoplus_{n\ge0}A_n,$$ причём $A_n\cdot A_m\subseteq A_{n+m}$ ($\forall n,m\ge0$) и $A_0=\mathbb{K}$. Подпространства $A_n$ называются компонентами градуировки, их элементы — однородными элементами степени $n$. Можно определить степень любого ненулевого элемента градуированной алгебры как максимум степеней его ненулевых однородных компонент.

Пример 2. Алгебра многочленов $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ положительно градуирована.

Для положительно градуированных алгебр нётеровость эквивалентна конечной порождённости (задача 2.1).

Пример 3. Алгебра $\mathbb{K}[x_1,x_2\dots]$ многочленов от бесконечного числа переменных не является нётеровой.

Естественный класс положительно градуированных алгебр составляют алгебры $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]^G$ многочленов, инвариантных относительно линейной группы $G\subseteq GL_n(\mathbb{K})$ (действующей линейными заменами переменных). Вопрос об их конечной порождённости (=нётеровости) составляет содержание 14-й проблемы Гильберта.

Рассмотрим некоторые основные приёмы нахождения алгебр инвариантов на примере следующей задачи.

Задача. Пусть $X$ — пространство треугольников на евклидовой плоскости, на котором естественно действует группа $G$ движений плоскости. Найти алгебру инвариантов $\mathbb{R}[X]^G$.

Заметим, что, если допускать в том числе вырожденные треугольники (у которых вершины могут лежать на одной прямой и даже совпадать), то $X$ можно отождествить с вещественным аффинным пространством $\mathbb{R}^6$, координатами в котором являются координаты трёх вершин треугольника $x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3$. Обычные невырожденные треугольники образуют в $\mathbb{R}^6$ плотное открытое подмножество, и по соображениям непрерывности всякий инвариантный многочлен на этом множестве однозначно продолжается до инвариантного многочлена на всём $\mathbb{R}^6$.

Один из рабочих методов нахождения инвариантов — это метод сечений. Сечением для действия группы $G$ на пространстве $X$ называется подпространство или подмногообразие $S\subset X$, пересекающее все или почти все $G$-орбиты ("почти все" означает "все из некоторого плотного открытого подмножества"). По соображениям непрерывности и инвариантности всякий инвариантный многочлен на $X$ однозначно определяется своим ограничением на $S$. Если какая-то подгруппа $H\subset G$ сохраняет сечение $S$, то ограничение $G$-инвариантного многочлена на $X$ будет $H$-инвариантным многочленом на $S$. Возникает инъективный (но, вообще говоря, не сюръективный) гомоморфизм ограничения $$\rho:\mathbb{K}[X]^G\to\mathbb{K}[S]^H.$$ Таким образом, задача нахождения инвариантов большей группы на большем многообразии до некоторой степени сводится к задаче нахождения инвариантов меньшей группы на меньшем многообразии. Вопрос о продолжении инвариантных многочленов с сечения на всё пространство требует отдельного исследования.

В нашем случае можно указать естественное сечение $S\subset X$, задаваемое уравнениями $$x_1=y_1=y_2=0$$ (первую вершину любого треугольника можно передвинуть в начало координат, а вторую — на ось абсцисс). Подгруппа $H\subset G$, сохраняющая $S$, — это 4-группа Клейна, порождённая преобразованиями плоскости $x\mapsto-x$ и $y\mapsto-y$. Алгебра инвариантных многочленов на сечении есть $$\mathbb{R}[S]^H=\mathbb{R}[x_2^2,x_2x_3,x_3^2,y_3^2].$$

Попробуем продолжить образующие алгебры $\mathbb{R}[S]^H$ до $G$-инвариантных функций на всём пространстве $X$. Легко видеть, что $x_2^2$, $x_2x_3$ и $x_3^2+y_3^2$ продолжаются до $G$-инвариантных многочленов \begin{align} f&=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2,\\ g&=(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1),\\ h&=(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2 \end{align} (квадраты длин сторон треугольника, соединяющих первую вершину со второй и третьей, и скалярное произведение векторов на этих сторонах). Однако многочлены $x_3^2$ и $y_3^2$ продолжаются не до многочленов, а лишь до рациональных функций $g^2/f$ и $h-g^2/f$. Таким образом, $$\mathbb{R}[X]^G\subset\mathbb{R}[f,g,h,g^2/f].$$

Докажем, что алгебра $\mathbb{R}[X]^G$ порождается многочленами $f,g,h$. Заметим, что $f,g,h$ различают все орбиты действия $G$ на $X$ по 1-му признаку равенства треугольников, — это хороший довод в пользу того, что указанные многочлены порождают алгебру инвариантов. Во-всяком случае, если бы они не различали какие-то орбиты, но какой-то другой инвариантный многочлен их бы различал, то он заведомо не выражался бы через данные многочлены.

Рассмотрение другого аналогичного сечения позволяет доказать включение $$\mathbb{R}[X]^G\subset\mathbb{R}[f,g,h,g^2/h].$$ Но многочлены $f,g,h$ алгебраически независимы. В самом деле, они могут принимать любую тройку значений $a,b,c$, удовлетворяющих неравенствам $a>0$ и $ac-b^2>0$ (любая положительно определённая симметрическая матрица является матрицей Грама некоторой системы векторов), а такие тройки $(a,b,c)$ образуют открытое подмножество в $\mathbb{R}^3$, на котором не может тождественно обращаться в $0$ никакой ненулевой многочлен. Поэтому $$\mathbb{R}[f,g,h,g^2/f]\cap\mathbb{R}[f,g,h,g^2/h]=\mathbb{R}[f,g,h]$$ и, следовательно, алгебра $$\mathbb{R}[X]^G=\mathbb{R}[f,g,h],$$ порождается тремя алгебраически независимыми многочленами.

предыдущий семинар	16 сентября 2016 г.	следующий семинар
Тема 2 Нётеровы кольца и алгебры. Алгебры инвариантов. Под кольцом (алгеброй) понимается (если не оговорено иное) коммутативное ассоциативное кольцо (алгебра над полем $\mathbb{K}$) с единицей. Определение 1. Кольцо (алгебра) $A$ называется нётеровым, если любой идеал $\mathcal{I}\lhd A$ порождён конечным числом элементов или, что эквивалентно, любая возрастающая цепочка идеалов $\mathcal{I}_1\subseteq\mathcal{I}_2\subseteq\dots\lhd A$ стабилизируется (т.е., начиная с некоторого номера, $\mathcal{I}_k=\mathcal{I}_{k+1}=\dots$). Основной пример. Алгебра многочленов $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ и её факторалгебры, т.е. любые конечнопорождённые алгебры нётеровы по теореме Гильберта о базисе идеала. Конечная порождённость не является необходимым условием нётеровости. Пример 1. Алгебра рациональных функций вида $f/g$, где $f,g\in\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$, $g(0,\dots,0)\ne0$, нётерова, но не конечно порождена. Однако при некоторых дополнительных условиях из нётеровости вытекает конечная порождённость. Определение 2. Алгебра $A$ положительно градуирована, если имеется её разложение в прямую сумму $$A=\bigoplus_{n\ge0}A_n,$$ причём $A_n\cdot A_m\subseteq A_{n+m}$ ($\forall n,m\ge0$) и $A_0=\mathbb{K}$. Подпространства $A_n$ называются компонентами градуировки, их элементы — однородными элементами степени $n$. Можно определить степень любого ненулевого элемента градуированной алгебры как максимум степеней его ненулевых однородных компонент. Пример 2. Алгебра многочленов $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ положительно градуирована. Для положительно градуированных алгебр нётеровость эквивалентна конечной порождённости (задача 2.1). Пример 3. Алгебра $\mathbb{K}[x_1,x_2\dots]$ многочленов от бесконечного числа переменных не является нётеровой. Естественный класс положительно градуированных алгебр составляют алгебры $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]^G$ многочленов, инвариантных относительно линейной группы $G\subseteq GL_n(\mathbb{K})$ (действующей линейными заменами переменных). Вопрос об их конечной порождённости (=нётеровости) составляет содержание 14-й проблемы Гильберта. Рассмотрим некоторые основные приёмы нахождения алгебр инвариантов на примере следующей задачи. Задача. Пусть $X$ — пространство треугольников на евклидовой плоскости, на котором естественно действует группа $G$ движений плоскости. Найти алгебру инвариантов $\mathbb{R}[X]^G$. Заметим, что, если допускать в том числе вырожденные треугольники (у которых вершины могут лежать на одной прямой и даже совпадать), то $X$ можно отождествить с вещественным аффинным пространством $\mathbb{R}^6$, координатами в котором являются координаты трёх вершин треугольника $x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3$. Обычные невырожденные треугольники образуют в $\mathbb{R}^6$ плотное открытое подмножество, и по соображениям непрерывности всякий инвариантный многочлен на этом множестве однозначно продолжается до инвариантного многочлена на всём $\mathbb{R}^6$. Один из рабочих методов нахождения инвариантов — это метод сечений. Сечением для действия группы $G$ на пространстве $X$ называется подпространство или подмногообразие $S\subset X$, пересекающее все или почти все $G$-орбиты ("почти все" означает "все из некоторого плотного открытого подмножества"). По соображениям непрерывности и инвариантности всякий инвариантный многочлен на $X$ однозначно определяется своим ограничением на $S$. Если какая-то подгруппа $H\subset G$ сохраняет сечение $S$, то ограничение $G$-инвариантного многочлена на $X$ будет $H$-инвариантным многочленом на $S$. Возникает инъективный (но, вообще говоря, не сюръективный) гомоморфизм ограничения $$\rho:\mathbb{K}[X]^G\to\mathbb{K}[S]^H.$$ Таким образом, задача нахождения инвариантов большей группы на большем многообразии до некоторой степени сводится к задаче нахождения инвариантов меньшей группы на меньшем многообразии. Вопрос о продолжении инвариантных многочленов с сечения на всё пространство требует отдельного исследования. В нашем случае можно указать естественное сечение $S\subset X$, задаваемое уравнениями $$x_1=y_1=y_2=0$$ (первую вершину любого треугольника можно передвинуть в начало координат, а вторую — на ось абсцисс). Подгруппа $H\subset G$, сохраняющая $S$, — это 4-группа Клейна, порождённая преобразованиями плоскости $x\mapsto-x$ и $y\mapsto-y$. Алгебра инвариантных многочленов на сечении есть $$\mathbb{R}[S]^H=\mathbb{R}[x_2^2,x_2x_3,x_3^2,y_3^2].$$ Попробуем продолжить образующие алгебры $\mathbb{R}[S]^H$ до $G$-инвариантных функций на всём пространстве $X$. Легко видеть, что $x_2^2$, $x_2x_3$ и $x_3^2+y_3^2$ продолжаются до $G$-инвариантных многочленов \begin{align} f&=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2,\\ g&=(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1),\\ h&=(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2 \end{align} (квадраты длин сторон треугольника, соединяющих первую вершину со второй и третьей, и скалярное произведение векторов на этих сторонах). Однако многочлены $x_3^2$ и $y_3^2$ продолжаются не до многочленов, а лишь до рациональных функций $g^2/f$ и $h-g^2/f$. Таким образом, $$\mathbb{R}[X]^G\subset\mathbb{R}[f,g,h,g^2/f].$$ Докажем, что алгебра $\mathbb{R}[X]^G$ порождается многочленами $f,g,h$. Заметим, что $f,g,h$ различают все орбиты действия $G$ на $X$ по 1-му признаку равенства треугольников, — это хороший довод в пользу того, что указанные многочлены порождают алгебру инвариантов. Во-всяком случае, если бы они не различали какие-то орбиты, но какой-то другой инвариантный многочлен их бы различал, то он заведомо не выражался бы через данные многочлены. Рассмотрение другого аналогичного сечения позволяет доказать включение $$\mathbb{R}[X]^G\subset\mathbb{R}[f,g,h,g^2/h].$$ Но многочлены $f,g,h$ алгебраически независимы. В самом деле, они могут принимать любую тройку значений $a,b,c$, удовлетворяющих неравенствам $a>0$ и $ac-b^2>0$ (любая положительно определённая симметрическая матрица является матрицей Грама некоторой системы векторов), а такие тройки $(a,b,c)$ образуют открытое подмножество в $\mathbb{R}^3$, на котором не может тождественно обращаться в $0$ никакой ненулевой многочлен. Поэтому $$\mathbb{R}[f,g,h,g^2/f]\cap\mathbb{R}[f,g,h,g^2/h]=\mathbb{R}[f,g,h]$$ и, следовательно, алгебра $$\mathbb{R}[X]^G=\mathbb{R}[f,g,h],$$ порождается тремя алгебраически независимыми многочленами. Задачи Задача 2.1. Пусть $A$ — положительно градуированная алгебра. Доказать, что алгебра $A$ нётерова тогда и только тогда, когда она порождается (как алгебра) конечным числом элементов. Указание: рассмотреть идеал $A_+=\bigoplus_{n>0}A_n\lhd A$. Задача 2.2. Придумать пример ненётеровой подалгебры в $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$. Задача 2.3. Найти образующие алгебры инвариантов $\mathbb{R}[X]^G$ и соотношения между ними в следующих случаях: а) $G$ — группа собственных движений плоскости, $X$ — пространство треугольников. б) $G$ — группа аффинных преобразований плоскости, $X$ — пространство четырёхугольников.