Среди всех идеалов $\mathcal{I}\lhd\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$, задающих данное аффинное многообразие $X=X(\mathcal{I})\subseteq\mathbb{A}^n$, имеется наибольший идеал $\mathcal{I}(X)$, состоящий из всех многочленов, тождественно равных $0$ на $X$. Как он связан с другими идеалами, задающими $X$?

Ясно, что если $f^k\in\mathcal{I}$ при некотором $k$, то $f$ обращается в $0$ на $X=X(\mathcal{I})$. Поэтому идеал $\mathcal{I}(X)$ содержит радикал $\sqrt{\mathcal{I}}$ идеала $\mathcal{I}$, состоящий из всех элементов алгебры многочленов, в некоторой степени попадающих в $\mathcal{I}$. (Легко видеть, что радикал идеала снова является идеалом.)

Теорема Гильберта о нулях. Если поле $\mathbb{K}$ алгебраически замкнуто, то для любого аффинного многообразия $X=X(\mathcal{I})$ верно, что $\mathcal{I}(X)=\sqrt{\mathcal{I}}$.

Следствие (слабая теорема о нулях). Если поле $\mathbb{K}$ алгебраически замкнуто и $\mathcal{I}\ne\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ (эквивалентно, $\mathcal{I}$ не содержит констант), то $X(\mathcal{I})\ne\varnothing$.

Слабую теорему о нулях можно рассматривать как далеко идущее обобщение того факта, что над алгебраически замкнутым полем любой многочлен положительной степени от одной переменной имеет корень.

Над незамкнутыми полями теорема Гильберта о нулях неверна (задача 3.1).

Контрпример для $\mathbb{K}=\mathbb{R}$. Рассмотрим многообразие, задаваемое идеалом $\mathcal{I}=(x_1^2+\dots+x_n^2)$, т.е. начало координат $X=\{(0,\dots,0)\}$. Ясно, что $\mathcal{I}(X)=(x_1,\dots,x_n)$. В то же время ни одна из образующих $x_1,\dots,x_n$ не лежит в $\sqrt{\mathcal{I}}$.

Далее считаем (если явно не сказано иное) основное поле $\mathbb{K}$ алгебраически замкнутым.

Продемонстрируем нахождение наибольшего идеала, задающего аффинное многообразие, и его отношение к произвольному идеалу, задающему то же многообразие, на примере так называемых мономиальных кривых.

Определение. Мономиальная кривая в пространстве $\mathbb{A}^n$ — это образ отображения $$\varphi:\mathbb{A}^1\to\mathbb{A}^n, \qquad \varphi(t)=(t^{m_1},\dots,t^{m_n}).$$

Натуральные числа $m_1,\dots,m_n$ можно без ограничения общности считать взаимно простыми в совокупности.

Можно доказать, что мономиальные кривые являются аффинными многообразиями. Например, при $n=2$ мономиальная кривая задаётся уравнением $$x_1^{m_2}=x_2^{m_1}$$ (см. также задачу 3.2).

Идеал $\mathcal{I}(X)$ мономиальной кривой $X=\varphi(\mathbb{A}^1)\subset\mathbb{A}^n$ есть ядро гомоморфизма \begin{gather} \varphi^*:\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]\to\mathbb{K}[t],\\ \varphi^*(x_1)=t^{m_1},\dots,\varphi^*(x_n)=t^{m_n}. \end{gather} Если снабдить алгебру $\mathbb{K}[t]$ обычной градуировкой, а $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ — взвешенной градуировкой, приписав переменным степени $$\deg x_1=m_1,\dots,\deg x_n=m_n,$$ то $\varphi^*$ будет гомоморфизмом градуированных алгебр, а его ядро $\mathcal{I}(X)$ — градуированным (однородным) идеалом в $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$. Однородные элементы степени $d$ идеала $\mathcal{I}(X)$ имеют вид $$f=\sum_{k_1m_1+\dots+k_nm_n=d}c_{k_1,\dots,k_n}x_1^{k_1}\dots x_n^{k_n},\quad\text{где}\quad\sum_{k_1m_1+\dots+k_nm_n=d}c_{k_1,\dots,k_n}=0.$$ Отсюда ясно, что $\mathcal{I}(X)$ является линейной оболочкой однородных биномов $$x_1^{k_1}\dots x_n^{k_n}-x_1^{l_1}\dots x_n^{l_n}\qquad(k_1m_1+\dots+k_nm_n=l_1m_1+\dots+l_nm_n).$$ Сокращая однородные биномы на общие множители, получаем, что $\mathcal{I}(X)$ порождается (как идеал) однородными биномами вида $$x_{i_1}^{k_1}\dots x_{i_r}^{k_r}-x_{j_1}^{l_1}\dots x_{j_s}^{l_s},$$ где множества индексов $\{i_1,\dots,i_r\}$ и $\{j_1,\dots,j_s\}$ не пересекаются.

Пример. При $n=2$ идеал $\mathcal{I}(X)$ порождается биномами $x_1^{k_1}-x_2^{k_2}$ с $k_1m_1=k_2m_2$. Поскольку $m_1$ и $m_2$ взаимно просты, $k_1$ кратно $m_2$, а $k_2$ кратно $m_1$. Отсюда следует, что $\mathcal{I}(X)=(x_1^{m_2}-x_2^{m_1})$ — главный идеал.

Задача 3.1. Придумать контрпример к теореме Гильберта о нулях над произвольным алгебраически незмкнутым полем $\mathbb{K}$.

Задача 3.2. Мономиальная кривая в $\mathbb{A}^3$ задаётся тремя уравнениями $x_i^{m_j/(m_i,m_j)}=x_j^{m_i/(m_i,m_j)}$, $\{i,j\}\subset\{1,2,3\}$.

Задача 3.3. Пусть $A$ — положительно градуированная алгебра, и $I\lhd A$ — однородный идеал. Рассмотрим его разложение в прямую сумму однородных подпространств $I=A_+I\oplus F$ (где $A_+I$ — линейная оболочка элементов вида $ab$, $a\in A_+$, $b\in I$).

а) Всякий базис пространства $F$, составленный из однородных элементов, является минимальной системой однородных образующих идеала $I$.

б) Всякая минимальная система однородных образующих идеала $I$ имеет такой вид (для некоторого $F$).

в) Идеал $I$ нельзя породить менее, чем $\dim F$ элементами.

предыдущий семинар	23 сентября 2016 г.	следующий семинар
Тема 3 Теорема Гильберта о нулях. Мономиальные кривые и их идеалы. Среди всех идеалов $\mathcal{I}\lhd\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$, задающих данное аффинное многообразие $X=X(\mathcal{I})\subseteq\mathbb{A}^n$, имеется наибольший идеал $\mathcal{I}(X)$, состоящий из всех многочленов, тождественно равных $0$ на $X$. Как он связан с другими идеалами, задающими $X$? Ясно, что если $f^k\in\mathcal{I}$ при некотором $k$, то $f$ обращается в $0$ на $X=X(\mathcal{I})$. Поэтому идеал $\mathcal{I}(X)$ содержит радикал $\sqrt{\mathcal{I}}$ идеала $\mathcal{I}$, состоящий из всех элементов алгебры многочленов, в некоторой степени попадающих в $\mathcal{I}$. (Легко видеть, что радикал идеала снова является идеалом.) Теорема Гильберта о нулях. Если поле $\mathbb{K}$ алгебраически замкнуто, то для любого аффинного многообразия $X=X(\mathcal{I})$ верно, что $\mathcal{I}(X)=\sqrt{\mathcal{I}}$. Следствие (слабая теорема о нулях). Если поле $\mathbb{K}$ алгебраически замкнуто и $\mathcal{I}\ne\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ (эквивалентно, $\mathcal{I}$ не содержит констант), то $X(\mathcal{I})\ne\varnothing$. Слабую теорему о нулях можно рассматривать как далеко идущее обобщение того факта, что над алгебраически замкнутым полем любой многочлен положительной степени от одной переменной имеет корень. Над незамкнутыми полями теорема Гильберта о нулях неверна (задача 3.1). Контрпример для $\mathbb{K}=\mathbb{R}$. Рассмотрим многообразие, задаваемое идеалом $\mathcal{I}=(x_1^2+\dots+x_n^2)$, т.е. начало координат $X=\{(0,\dots,0)\}$. Ясно, что $\mathcal{I}(X)=(x_1,\dots,x_n)$. В то же время ни одна из образующих $x_1,\dots,x_n$ не лежит в $\sqrt{\mathcal{I}}$. Далее считаем (если явно не сказано иное) основное поле $\mathbb{K}$ алгебраически замкнутым. Продемонстрируем нахождение наибольшего идеала, задающего аффинное многообразие, и его отношение к произвольному идеалу, задающему то же многообразие, на примере так называемых мономиальных кривых. Определение. Мономиальная кривая в пространстве $\mathbb{A}^n$ — это образ отображения $$\varphi:\mathbb{A}^1\to\mathbb{A}^n, \qquad \varphi(t)=(t^{m_1},\dots,t^{m_n}).$$ Натуральные числа $m_1,\dots,m_n$ можно без ограничения общности считать взаимно простыми в совокупности. Можно доказать, что мономиальные кривые являются аффинными многообразиями. Например, при $n=2$ мономиальная кривая задаётся уравнением $$x_1^{m_2}=x_2^{m_1}$$ (см. также задачу 3.2). Идеал $\mathcal{I}(X)$ мономиальной кривой $X=\varphi(\mathbb{A}^1)\subset\mathbb{A}^n$ есть ядро гомоморфизма \begin{gather} \varphi^:\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]\to\mathbb{K}[t],\\ \varphi^(x_1)=t^{m_1},\dots,\varphi^(x_n)=t^{m_n}. \end{gather} Если снабдить алгебру $\mathbb{K}[t]$ обычной градуировкой, а $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ — взвешенной градуировкой, приписав переменным степени $$\deg x_1=m_1,\dots,\deg x_n=m_n,$$ то $\varphi^$ будет гомоморфизмом градуированных алгебр, а его ядро $\mathcal{I}(X)$ — градуированным (однородным) идеалом в $\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$. Однородные элементы степени $d$ идеала $\mathcal{I}(X)$ имеют вид $$f=\sum_{k_1m_1+\dots+k_nm_n=d}c_{k_1,\dots,k_n}x_1^{k_1}\dots x_n^{k_n},\quad\text{где}\quad\sum_{k_1m_1+\dots+k_nm_n=d}c_{k_1,\dots,k_n}=0.$$ Отсюда ясно, что $\mathcal{I}(X)$ является линейной оболочкой однородных биномов $$x_1^{k_1}\dots x_n^{k_n}-x_1^{l_1}\dots x_n^{l_n}\qquad(k_1m_1+\dots+k_nm_n=l_1m_1+\dots+l_nm_n).$$ Сокращая однородные биномы на общие множители, получаем, что $\mathcal{I}(X)$ порождается (как идеал) однородными биномами вида $$x_{i_1}^{k_1}\dots x_{i_r}^{k_r}-x_{j_1}^{l_1}\dots x_{j_s}^{l_s},$$ где множества индексов $\{i_1,\dots,i_r\}$ и $\{j_1,\dots,j_s\}$ не пересекаются. Пример. При $n=2$ идеал $\mathcal{I}(X)$ порождается биномами $x_1^{k_1}-x_2^{k_2}$ с $k_1m_1=k_2m_2$. Поскольку $m_1$ и $m_2$ взаимно просты, $k_1$ кратно $m_2$, а $k_2$ кратно $m_1$. Отсюда следует, что $\mathcal{I}(X)=(x_1^{m_2}-x_2^{m_1})$ — главный идеал. Задачи Задача 3.1. Придумать контрпример к теореме Гильберта о нулях над произвольным алгебраически незмкнутым полем $\mathbb{K}$. Задача 3.2. Мономиальная кривая в $\mathbb{A}^3$ задаётся тремя уравнениями $x_i^{m_j/(m_i,m_j)}=x_j^{m_i/(m_i,m_j)}$, $\{i,j\}\subset\{1,2,3\}$. Задача 3.3. Пусть $A$ — положительно градуированная алгебра, и $I\lhd A$ — однородный идеал. Рассмотрим его разложение в прямую сумму однородных подпространств $I=A_+I\oplus F$ (где $A_+I$ — линейная оболочка элементов вида $ab$, $a\in A_+$, $b\in I$). а) Всякий базис пространства $F$, составленный из однородных элементов, является минимальной системой однородных образующих идеала $I$. б) Всякая минимальная система однородных образующих идеала $I$ имеет такой вид (для некоторого $F$). в) Идеал $I$ нельзя породить менее, чем $\dim F$ элементами.