Найдём идеал $\mathcal{I}(X)$ мономиальной кривой $X\subset\mathbb{A}^3$. Известно, что он порождается биномами вида $$ (i)\qquad\qquad\qquad\quad x_i^{k_i}-x_j^{l_j}x_k^{l_k},\qquad\text{где}\quad\{i,j,k\}=\{1,2,3\},\quad k_im_i=l_jm_j+l_km_k. \qquad\qquad\qquad $$ С помощью задачи 3.3 а выберем из них минимальную систему образующих идеала $\mathcal{I}(X)$.

Удобно использовать следующую терминологию. Пусть $A$ — положительно градуированная алгебра, $I\lhd A$ — однородный идеал, $f_1,\dots,f_s,g_1,\dots,g_t,f\in I$ — его однородные элементы. Будем говорить, что $f_1,\dots,f_s$ редуцируют $f$ к $g_1,\dots,g_t$, если существуют такие элементы $a_1,\dots,a_s,b_1,\dots,b_t\in A$, что $$f-a_1f_1-\dots-a_sf_s=b_1g_1+\dots+b_tg_t.$$ В этом выражении элементы $a_1,\dots,a_s,b_1,\dots,b_t$ можно тоже считать однородными, а все слагаемые — имеющими одинаковую степень. Из задачи 3.3 а вытекает следующая

Лемма. Если элементы $f_1,\dots,f_s$ редуцируют любой однородный элемент $f\in I$ к элементам меньшей степени (или к $0$), то $I=(f_1,\dots,f_s)$.

Пусть бином $$ x_i^{p_i}-x_j^{q_{ij}}x_k^{q_{ik}} $$ имеет наименьшую степень среди всех биномов типа $(i)$. С его помощью можно редуцировать биномы того же типа к биномам меньшей степени: $$ x_i^{k_i}-x_j^{l_j}x_k^{l_k}\rightsquigarrow x_i^{k_i-p_i}x_j^{q_{ij}}x_k^{q_{ik}}-x_j^{l_j}x_k^{l_k}, $$ а последний бином можно сократить на $x_j$ в случае $q_{ij},l_j>0$, или на $x_k$ в случае $q_{ik},l_k>0$, не выходя за пределы идеала $\mathcal{I}(X)$. Например, при $q_{ij},q_{ik}>0$ редуцировать можно любой бином типа $(i)$.

Теперь возьмём среди биномов всех типов $(1)$, $(2)$, $(3)$ бином наименьшей степени. Для определённости, пусть он имеет тип $(1)$: $$ f_1=x_1^{p_1}-x_2^{q_{12}}x_3^{q_{13}}. $$ Включим его в минимальную систему образующих идеала $\mathcal{I}(X)$. С его помощью можно редуцировать любой элемент идеала к многочленам степени $< p_1$ по $x_1$ (выполняя деление с остатком относительно переменной $x_1$), а значит, к биномам типов $(2)$, $(3)$ с дополнительным условием: $$ (*)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x_i^{k_i}-x_1^{l_1}x_j^{l_j},\qquad\{i,j\}=\{2,3\},\quad l_1< p_1,\quad l_j>0. \qquad\qquad\qquad\qquad\quad $$

А) Пусть одна из степеней $q_{1i}$ равна $0$. Для определённости можно считать, что $q_{12}=0$, т.е. $$ f_1=x_1^{p_1}-x_3^{p_3}. $$

Среди биномов $(*)$ выберем бином наименьшей степени: $$ f_2=x_2^{p_2}-x_1^{q_{21}}x_3^{q_{23}} \quad\text{или}\quad f_3=x_3^{r_3}-x_1^{s_1}x_2^{s_2}. $$ Второй вариант сводится к первому при $s_1=0$, а при $s_1\ne0$ бином $f_3$ можно редуцировать с помощью $f_1$ к биному меньшей степени типа $(2)$: $$ x_3^{r_3}-x_1^{s_1}x_2^{s_2}\rightsquigarrow x_3^{r_3-p_3}x_1^{p_1}-x_1^{s_1}x_2^{s_2}\rightsquigarrow x_3^{r_3-p_3}x_1^{p_1-s_1}-x_2^{s_2}. $$ Поэтому можно считать, что бином вида $(*)$ наименьшей степени есть $f_2$. Добавим его в минимальную систему образующих идеала $\mathcal{I}(X)$.

Любой из оставшихся биномов можно редуцировать с помощью $f_1,f_2$ к биному меньшей степени: для биномов типа $(2)$ $$ x_2^{k_2}-x_1^{l_1}x_3^{l_3}\rightsquigarrow x_2^{k_2-p_2}x_1^{q_{21}}x_3^{q_{23}}-x_1^{l_1}x_3^{l_3}\rightsquigarrow x_2^{k_2-p_2}x_1^{q_{21}}-x_1^{l_1}x_3^{l_3-q_{23}} $$ (случай $l_3\le q_{23}$ невозможен, так как тогда бы при сокращении на $x_3^{l_3}$ получился бином типа $(1)$ степени $l_1< p_1$ по $x_1$), а для биномов типа $(3)$ $$ x_3^{k_3}-x_1^{l_1}x_2^{l_2}\rightsquigarrow x_3^{k_3-p_3}x_1^{p_1}-x_1^{l_1}x_2^{l_2}\rightsquigarrow x_3^{k_3-p_3}x_1^{p_1-l_1}-x_2^{l_2} $$ (при $l_1=0$ ситуация сводится к биномам типа $(2)$). По лемме, $\mathcal{I}(X)=(f_1,f_2)$.

Б) Пусть $q_{12},q_{13}>0$.

Аналогично предыдущему случаю, среди биномов $(*)$ выберем бином наименьшей степени. Пусть для определённости он имеет тип $(2)$: $$ f_2=x_2^{p_2}-x_1^{q_{21}}x_3^{q_{23}}. $$ Как и выше, с его помощью можно редуцировать любой бином $(*)$ типа $(2)$ к биному меньшей степени.

Б1) Пусть $q_{21}=0$, т.е. $$ f_2=x_2^{p_2}-x_3^{p_3}. $$ Тогда с помощью $f_2$ также можно редуцировать любой бином $(*)$ типа $(3)$ к биному меньшей степени: $$ x_3^{k_3}-x_1^{l_1}x_2^{l_2}\rightsquigarrow x_3^{k_3-p_3}x_2^{p_2}-x_1^{l_1}x_2^{l_2}\rightsquigarrow x_3^{k_3-p_3}-x_1^{l_1}x_2^{l_2-p_2} $$ (случай $l_2\le p_2$ невозможен, так как тогда бы при сокращении на $x_2^{l_2}$ получился бином типа $(1)$ степени $l_1< p_1$ по $x_1$). По лемме, $\mathcal{I}(X)=(f_1,f_2)$.

Б2) Остаётся случай $q_{21},q_{23}>0$. В этом случае в минимальную систему образующих идеала $\mathcal{I}(X)$ нужно добавить ещё один бином типа $(3)$: $$ f_3=x_3^{p_3}-x_1^{q_{31}}x_2^{q_{32}} $$ (задача 4.1).

Пример. Пусть $(m_1,m_2,m_3)=(3,4,5)$. Минимальная система образуюших идеала $\mathcal{I}(X)$ состоит из биномов \begin{align} f_1&=x_2^2-x_1x_3,\\ f_2&=x_1^3-x_2x_3,\\ f_3&=x_3^2-x_1^2x_2. \end{align} Хотя идеал $\mathcal{I}(X)$ не порождается двумя элементами (задача 3.3 в), кривую $X$ можно задать двумя уравнениями: \begin{align} f_1&=0,\\ g&=x_1^5-2x_1^2x_2x_3+x_3^3=0. \end{align} В самом деле, с помощью $f_1$ можно осуществить редукции: \begin{align} f_2^2&=x_1^6-2x_1^3x_2x_3+x_2^2x_3^2\rightsquigarrow x_1^6-2x_1^3x_2x_3+x_1x_3^3=x_1g,\\ f_3^2&=x_3^4-2x_1^2x_2x_3^2+x_1^4x_2^2\rightsquigarrow x_3^4-2x_1^2x_2x_3^2+x_1^5x_3=x_3g. \end{align}

Поэтому $\mathcal{I}(X)=\sqrt{\mathcal{I}}$, где $\mathcal{I}=(f_1,g)$, и $X=X(\mathcal{I})$.

На самом деле любую мономиальную кривую в $\mathbb{A}^3$ можно задать двумя уравнениями (задача 4.3).

Открытая проблема. Всякую ли алгебраическую кривую в $\mathbb{A}^3$ можно задать двумя алгебраическими уравнениями?

Топология Зарисского на аффинных алгебраических многообразиях обладает следующим важным свойством.

Определение. Топологическое пространство $X$ называется нётеровым, если в нём любая убывающая цепочка $X\supseteq Z_1\supseteq Z_2\supseteq\dots$ замкнутых подмножеств стабилизируется: начиная с некоторого номера, $Z_k=Z_{k+1}=\dots$

Теорема. Аффинные алгебраические многообразия нётеровы в топологии Зарисского.

Свойства нётеровой топологии.

Подпространство $Y$ нётерова топологического пространства $X$ нётерово (в индуцированной топологии).
Если топологическое пространство $X$ представлено в виде конечного объединения подпространств $X=X_1\cup\dots\cup X_s$, и все $X_i$ нётеровы, то $X$ нётерово.

Нётеровы топологические пространства квазикомпактны: из каждого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

Принцип нётеровой индукции. Пусть $\mathcal{C}$ — некоторый класс нётеровых топологических пространств, и $\mathcal{P}$ — некоторое свойство пространств класса $\mathcal{C}$. Пусть известно следующее: если пространство $X\in\mathcal{C}$ таково, что $\mathcal{P}(Y)$ выполнено для любого собственного замкнутого подмножества $Y\subset X$, $Y\in\mathcal{C}$, то $\mathcal{P}(X)$ выполнено. (В частности, $\mathcal{P}(X)$ имеет место, если в $X$ нет собственных замкнутых подмножеств класса $\mathcal{C}$.) Тогда свойство $\mathcal{P}(X)$ выполнено для любого пространства $X\in\mathcal{C}$.

предыдущий семинар	30 сентября 2016 г.	следующий семинар
Тема 4 Мономиальные кривые в трёхмерном пространстве. Свойства нётеровой топологии. Найдём идеал $\mathcal{I}(X)$ мономиальной кривой $X\subset\mathbb{A}^3$. Известно, что он порождается биномами вида $$ (i)\qquad\qquad\qquad\quad x_i^{k_i}-x_j^{l_j}x_k^{l_k},\qquad\text{где}\quad\{i,j,k\}=\{1,2,3\},\quad k_im_i=l_jm_j+l_km_k. \qquad\qquad\qquad $$ С помощью задачи 3.3 а выберем из них минимальную систему образующих идеала $\mathcal{I}(X)$. Удобно использовать следующую терминологию. Пусть $A$ — положительно градуированная алгебра, $I\lhd A$ — однородный идеал, $f_1,\dots,f_s,g_1,\dots,g_t,f\in I$ — его однородные элементы. Будем говорить, что $f_1,\dots,f_s$ редуцируют $f$ к $g_1,\dots,g_t$, если существуют такие элементы $a_1,\dots,a_s,b_1,\dots,b_t\in A$, что $$f-a_1f_1-\dots-a_sf_s=b_1g_1+\dots+b_tg_t.$$ В этом выражении элементы $a_1,\dots,a_s,b_1,\dots,b_t$ можно тоже считать однородными, а все слагаемые — имеющими одинаковую степень. Из задачи 3.3 а вытекает следующая Лемма. Если элементы $f_1,\dots,f_s$ редуцируют любой однородный элемент $f\in I$ к элементам меньшей степени (или к $0$), то $I=(f_1,\dots,f_s)$. Пусть бином $$ x_i^{p_i}-x_j^{q_{ij}}x_k^{q_{ik}} $$ имеет наименьшую степень среди всех биномов типа $(i)$. С его помощью можно редуцировать биномы того же типа к биномам меньшей степени: $$ x_i^{k_i}-x_j^{l_j}x_k^{l_k}\rightsquigarrow x_i^{k_i-p_i}x_j^{q_{ij}}x_k^{q_{ik}}-x_j^{l_j}x_k^{l_k}, $$ а последний бином можно сократить на $x_j$ в случае $q_{ij},l_j>0$, или на $x_k$ в случае $q_{ik},l_k>0$, не выходя за пределы идеала $\mathcal{I}(X)$. Например, при $q_{ij},q_{ik}>0$ редуцировать можно любой бином типа $(i)$. Теперь возьмём среди биномов всех типов $(1)$, $(2)$, $(3)$ бином наименьшей степени. Для определённости, пусть он имеет тип $(1)$: $$ f_1=x_1^{p_1}-x_2^{q_{12}}x_3^{q_{13}}. $$ Включим его в минимальную систему образующих идеала $\mathcal{I}(X)$. С его помощью можно редуцировать любой элемент идеала к многочленам степени $< p_1$ по $x_1$ (выполняя деление с остатком относительно переменной $x_1$), а значит, к биномам типов $(2)$, $(3)$ с дополнительным условием: $$ ()\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x_i^{k_i}-x_1^{l_1}x_j^{l_j},\qquad\{i,j\}=\{2,3\},\quad l_1< p_1,\quad l_j>0. \qquad\qquad\qquad\qquad\quad $$ А) Пусть одна из степеней $q_{1i}$ равна $0$. Для определённости можно считать, что $q_{12}=0$, т.е. $$ f_1=x_1^{p_1}-x_3^{p_3}. $$ Среди биномов $()$ выберем бином наименьшей степени: $$ f_2=x_2^{p_2}-x_1^{q_{21}}x_3^{q_{23}} \quad\text{или}\quad f_3=x_3^{r_3}-x_1^{s_1}x_2^{s_2}. $$ Второй вариант сводится к первому при $s_1=0$, а при $s_1\ne0$ бином $f_3$ можно редуцировать с помощью $f_1$ к биному меньшей степени типа $(2)$: $$ x_3^{r_3}-x_1^{s_1}x_2^{s_2}\rightsquigarrow x_3^{r_3-p_3}x_1^{p_1}-x_1^{s_1}x_2^{s_2}\rightsquigarrow x_3^{r_3-p_3}x_1^{p_1-s_1}-x_2^{s_2}. $$ Поэтому можно считать, что бином вида $()$ наименьшей степени есть $f_2$. Добавим его в минимальную систему образующих идеала $\mathcal{I}(X)$. Любой из оставшихся биномов можно редуцировать с помощью $f_1,f_2$ к биному меньшей степени: для биномов типа $(2)$ $$ x_2^{k_2}-x_1^{l_1}x_3^{l_3}\rightsquigarrow x_2^{k_2-p_2}x_1^{q_{21}}x_3^{q_{23}}-x_1^{l_1}x_3^{l_3}\rightsquigarrow x_2^{k_2-p_2}x_1^{q_{21}}-x_1^{l_1}x_3^{l_3-q_{23}} $$ (случай $l_3\le q_{23}$ невозможен, так как тогда бы при сокращении на $x_3^{l_3}$ получился бином типа $(1)$ степени $l_1< p_1$ по $x_1$), а для биномов типа $(3)$ $$ x_3^{k_3}-x_1^{l_1}x_2^{l_2}\rightsquigarrow x_3^{k_3-p_3}x_1^{p_1}-x_1^{l_1}x_2^{l_2}\rightsquigarrow x_3^{k_3-p_3}x_1^{p_1-l_1}-x_2^{l_2} $$ (при $l_1=0$ ситуация сводится к биномам типа $(2)$). По лемме, $\mathcal{I}(X)=(f_1,f_2)$. Б) Пусть $q_{12},q_{13}>0$. Аналогично предыдущему случаю, среди биномов $()$ выберем бином наименьшей степени. Пусть для определённости он имеет тип $(2)$: $$ f_2=x_2^{p_2}-x_1^{q_{21}}x_3^{q_{23}}. $$ Как и выше, с его помощью можно редуцировать любой бином $()$ типа $(2)$ к биному меньшей степени. Б1)* Пусть $q_{21}=0$, т.е. $$ f_2=x_2^{p_2}-x_3^{p_3}. $$ Тогда с помощью $f_2$ также можно редуцировать любой бином $()$ типа $(3)$ к биному меньшей степени: $$ x_3^{k_3}-x_1^{l_1}x_2^{l_2}\rightsquigarrow x_3^{k_3-p_3}x_2^{p_2}-x_1^{l_1}x_2^{l_2}\rightsquigarrow x_3^{k_3-p_3}-x_1^{l_1}x_2^{l_2-p_2} $$ (случай $l_2\le p_2$ невозможен, так как тогда бы при сокращении на $x_2^{l_2}$ получился бином типа $(1)$ степени $l_1< p_1$ по $x_1$). По лемме, $\mathcal{I}(X)=(f_1,f_2)$. Б2)* Остаётся случай $q_{21},q_{23}>0$. В этом случае в минимальную систему образующих идеала $\mathcal{I}(X)$ нужно добавить ещё один бином типа $(3)$: $$ f_3=x_3^{p_3}-x_1^{q_{31}}x_2^{q_{32}} $$ (задача 4.1). Пример. Пусть $(m_1,m_2,m_3)=(3,4,5)$. Минимальная система образуюших идеала $\mathcal{I}(X)$ состоит из биномов \begin{align} f_1&=x_2^2-x_1x_3,\\ f_2&=x_1^3-x_2x_3,\\ f_3&=x_3^2-x_1^2x_2. \end{align} Хотя идеал $\mathcal{I}(X)$ не порождается двумя элементами (задача 3.3 в), кривую $X$ можно задать двумя уравнениями: \begin{align} f_1&=0,\\ g&=x_1^5-2x_1^2x_2x_3+x_3^3=0. \end{align} В самом деле, с помощью $f_1$ можно осуществить редукции: \begin{align} f_2^2&=x_1^6-2x_1^3x_2x_3+x_2^2x_3^2\rightsquigarrow x_1^6-2x_1^3x_2x_3+x_1x_3^3=x_1g,\\ f_3^2&=x_3^4-2x_1^2x_2x_3^2+x_1^4x_2^2\rightsquigarrow x_3^4-2x_1^2x_2x_3^2+x_1^5x_3=x_3g. \end{align} Поэтому $\mathcal{I}(X)=\sqrt{\mathcal{I}}$, где $\mathcal{I}=(f_1,g)$, и $X=X(\mathcal{I})$. На самом деле любую мономиальную кривую в $\mathbb{A}^3$ можно задать двумя уравнениями (задача 4.3). Открытая проблема. Всякую ли алгебраическую кривую в $\mathbb{A}^3$ можно задать двумя алгебраическими уравнениями? Топология Зарисского на аффинных алгебраических многообразиях обладает следующим важным свойством. Определение. Топологическое пространство $X$ называется нётеровым, если в нём любая убывающая цепочка $X\supseteq Z_1\supseteq Z_2\supseteq\dots$ замкнутых подмножеств стабилизируется: начиная с некоторого номера, $Z_k=Z_{k+1}=\dots$ Теорема. Аффинные алгебраические многообразия нётеровы в топологии Зарисского. Свойства нётеровой топологии. Подпространство $Y$ нётерова топологического пространства $X$ нётерово (в индуцированной топологии). Если топологическое пространство $X$ представлено в виде конечного объединения подпространств $X=X_1\cup\dots\cup X_s$, и все $X_i$ нётеровы, то $X$ нётерово. Нётеровы топологические пространства квазикомпактны: из каждого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие. Принцип нётеровой индукции. Пусть $\mathcal{C}$ — некоторый класс нётеровых топологических пространств, и $\mathcal{P}$ — некоторое свойство пространств класса $\mathcal{C}$. Пусть известно следующее: если пространство $X\in\mathcal{C}$ таково, что $\mathcal{P}(Y)$ выполнено для любого собственного замкнутого подмножества $Y\subset X$, $Y\in\mathcal{C}$, то $\mathcal{P}(X)$ выполнено. (В частности, $\mathcal{P}(X)$ имеет место, если в $X$ нет собственных замкнутых подмножеств класса $\mathcal{C}$.) Тогда свойство $\mathcal{P}(X)$ выполнено для любого пространства $X\in\mathcal{C}$. Задачи Задача 4.1. В случае Б2 минимальная система образующих идеала $\mathcal{I}(X)$ состоит из трёх биномов $$ f_i=x_i^{p_i}-x_j^{q_{ij}}x_k^{q_{ik}},\qquad\quad\{i,j,k\}=\{1,2,3\},\quad 0< q_{ij}< p_j\quad(\forall i,j). $$ Задача 4.2. Для мономиальной кривой $X\subset\mathbb{A}^3$, заданной каждым из следующих наборов степеней $(m_1,m_2,m_3)$, найти минимальную систему образующих идеала $\mathcal{I}(X)$ и задать кривую $X$ двумя уравнениями: а) $(4,5,6)$; б) $(3,5,7)$; в) $(6,10,15)$. Задача 4.3.* Всякую мономиальную кривую в $\mathbb{A}^3$ можно задать двумя уравнениями. Задача 4.4. а) Доказать свойства 1–2 нётеровой топологии. б) Доказать свойства 3–4 нётеровой топологии.