предыдущий семинар 7 октября 2016 г. следующий семинар

Тема 5

Разложение алгебраических многообразий на неприводимые компоненты

Определение. Топологическое пространство $X$ называется неприводимым, если его нельзя представить в виде объединения двух собственных замкнутых подмножеств.

Пример 1. Всякое бесконечное множество $X$ с топологией, в которой замкнутыми явлются все конечные подмножества и само $X$, неприводимо.

Свойства неприводимых топологических пространств:

  1. любое непустое открытое подмножество плотно;
  2. любые два непустых открытых подмножества пересекаются.
Таким образом, неприводимые топологические пространства в сильной степени нехаусдорфовы, открытые подмножества в них велики.

Теорема 1. Всякое нётерово топологическое пространство $X$ может быть представлено в виде объединения конечного числа неприводимых замкнутых подмножеств: $X=X_1\cup\dots\cup X_s$, причём $X_i\not\subset X_j$ при $i\ne j$. Подмножества $X_i$ определены однозначно и называются неприводимыми компонентами пространства $X$.

Доказательство можно получить, например, методом нётеровой индукции.

В частности, всякое аффинное алгебраическое многообразие разлагается на неприводимые компоненты. Неприводимые многообразия являются "цельными", "неделимыми" объектами, из которых уже составляются произвольные алгебраические многообразия (как — уже в значительной мере комбинаторный вопрос). Именно неприводимые многообразия — основной объект изучения в алгебраической геометрии.

Как доказывать неприводимость?

Алгебраический критерий. Аффинное алгебраическое многообразие $X$ неприводимо тогда и только тогда, когда алгебра $\mathbb{K}[X]$ многочленов на нём не имеет делителей нуля.

Пример 2. $\mathbb{A}^n$ неприводимо.

На практике этот критерий применять не всегда легко. Например, если аффинное многообразие $X\subset\mathbb{A}^n$ задано полиномиальными уравнениями, то алгебра $\mathbb{K}[X]=\mathbb{K}[\mathbb{A}^n]/\mathcal{I}(X)$ задаётся образующими и соотношениями. Таким образом, чтобы проверить неприводимость, надо, во-первых, найти базис идеала $\mathcal{I}(X)$ (дающий соотношения между образующими), т.е. определить радикал идеала, порождённого исходными уравнениями, а во-вторых, проверить отсутствие делителей нуля в алгебре, заданной образующими и соотношениями. И то, и другое — нетривиальная задача. Однако есть чисто топологические приёмы, позволяющие выводить неприводимость новых многообразий из уже имеющегося запаса примеров.

Факты:

  1. Пусть топологическое пространство $X$ неприводимо, и $\varphi:X\to Y$ — непрерывное отображение. Тогда подпространство $\varphi(X)\subset Y$ неприводимо (в индуцированной топологии).
  2. Замыкание неприводимого подпространства $Z\subset Y$ неприводимо.
  3. Открытое подмножество неприводимого топологического пространства $X$ неприводимо.
  4. Прямое произведение $X\times Y$ неприводимых аффинных многообразий $X,Y$ неприводимо (в своей топологии Зарисского).
Следствие. Если $A$ и $B$ — алгебры без делителей нуля над алгебраически замкнутым полем $\mathbb{K}$, то $A\otimes B$ — тоже алгебра без делителей нуля.

Вопрос сводится к конечнопорождённым алгебрам, которые суть алгебры многочленов на неприводимых аффинных многообразиях $X$ и $Y$, и тогда утверждение вытекает из неприводимости $X\times Y$. Алгебраическая замкнутость поля $\mathbb{K}$ существенна, как показывает следующий пример.

Пример 3 ("$2\times2=4$"). $\mathbb{C}\otimes\mathbb{C}\simeq\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$, где $\mathbb{C}$ рассматривается как алгебра над $\mathbb{R}$.

Для того, чтобы разложить многообразие на неприводимые компоненты, нужно сделать две вещи:

  1. найти (угадать) эти компоненты (обычно они выделяются некоторыми дополнительными условиями дискретного характера на точки многообразия);
  2. доказать их неприводимость.

Пример 4. Пусть многобразие $X\subset\mathbb{A}^3$ задаётся уравнениями \begin{align} y^2&=xz,\\ y^3&=x^4. \end{align} Одна компонента сразу угадывается — это прямая $x=y=0$. Вне этой прямой на многообразии $X$ все координаты точек отличны от $0$, и 1-е уравнение можно переписать в виде $y/x=z/y$, т.е. $y=tx$, $z=ty$, где $t$ — некоторый параметр. Подставляя эти выражения во 2-е уравнение, получаем $$x=t^3,\quad y=t^4,\quad z=t^5.$$ Замыкая полученное множество точек, получаем мономиальную кривую, которая является второй неприводимой компонентой многообразия $X$ (неприводимость вытекает из факта 1).

Пример 5. Многобразие $X$ состоит из пар $(A,x)$, где $A$ — матрица размера $n\times n$, $x$ — вектор-столбец высоты $n$, и $Ax=0$. Это замкнутое подмногообразие в аффинном пространстве $L_n(\mathbb{K})\times\mathbb{K}^n$, где $L_n(\mathbb{K})$ — пространство квадратных матриц порядка $n$.

Его первая неприводимая компонента $X_1$ задаётся условием $x=0$ (при этом $A$ — любая матрица), а вторая $X_2$ — условиями $\det{A}=0$, $x\in\operatorname{Ker}A$. Неприводимость $X_2$ можно доказать при помощи следующих соображений, характерных для теории алгебраических групп и инвариантов.

Заметим, что на многообразии $X_2$ действует группа $G=GL_n(\mathbb{K})\times GL_n(\mathbb{K})$ по правилу: $$(C_1,C_2):(A,x)\mapsto(C_1AC_2^{-1},C_2x).$$ Если интерпретировать $A$ как матрицу линейного отображения из одного $n$-мерного пространства в другое, то это действие можно интерпретировать как одновременную замену координат в этих пространствах. Группа $G$ является открытым подмножеством в аффинном пространстве $L_n(\mathbb{K})\times L_n(\mathbb{K})$ (и даже главным открытым подмножеством, т.е. дополнением к гиперповерхности $\det C_1\cdot\det C_2=0$, а значит, несёт структуру аффинного многообразия), а отображение действия $\varphi:G\times X_2\to X_2$ непрерывно в топологии Зарисского.

Построим сечение для этого действия. Для этого заметим, что заменой координат мы можем привести матрицу $A$ и вектор $x$ к виду $$ A=\begin{pmatrix} * & & & \mathrm{O} \\ & \!\!\smash\ddots & & \\ & & \smash* & \\ \mathrm{O} & & & \smash0 \end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix} 0 \\ \smash\vdots \\ 0 \\ * \end{pmatrix}. $$ Множество $S\subset X_2$ пар $(A,x)$ такого вида — аффинное подпространство, причём $$X_2=G\cdot S=\varphi(G\times S).$$ В силу фактов 1, 3, 4, $X_2$ неприводимо.

Пример 6. Ещё одно интересное многобразие $$\mathfrak{C}_n=\{(A,B)\mid A,B\in L_n(\mathbb{K}),\ AB=BA\}$$ — коммутационное многообразие алгебры матриц.

Теорема 2 (Герстенхабер, 1961). $\mathfrak{C}_n=\overline{GL_n\cdot(D_n\times D_n)}$, где группа $GL_n$ действует на парах матриц одновременными сопряжениями, а $D_n\subset L_n$ — подпространство диагональных матриц.

Как и в предыдущем примере, отсюда в силу фактов 1–4 вытекает

Следствие. Коммутационное многообразие $\mathfrak{C}_n$ неприводимо.

Доказательство теоремы 2. Будем интерпретировать матрицы $A,B$ как линейные операторы на пространстве $V=\mathbb{K}^n$, а действие группы $GL_n$ — как замену координат. Пространство $V$ разлагается в прямую сумму одновременных корневых подпространств относительно операторов $A$ и $B$: $$V=\bigoplus_{\lambda,\mu}V^{\lambda,\mu}.$$ В базисе, согласованном с этим разложением, матрицы $A,B$ будут блочно-диагональными, и диагональные блоки $A^{\lambda,\mu},B^{\lambda,\mu}$ будут коммутировать, если $A$ и $B$ коммутировали. Если диагональных блоков получится больше одного, то такую пару матриц $(A,B)$ назовём разложимой.

Доказывая теорему индукцией по $n$, мы можем считать, что все разложимые пары $(A,B)\in\mathfrak{C}_n$ лежат в $\overline{GL_n\cdot(D_n\times D_n)}$. Неразложимые пары имеют вид $A=\lambda{E}+A_n$, $B=\mu{E}+B_n$, где $A_n,B_n$ — коммутирующие нильпотентные матрицы. Без ограничения общности можно считать сами $A$ и $B$ нильпотентными.

По задаче 5.3, некоторая нетривиальная линейная комбинация $C=\alpha{A}+\beta{B}$ — разложимая нильпотентная матрица (т.е. в её жордановой нормальной форме больше одной клетки). Легко подобрать нескалярную диагонализуемую матрицу $H$, коммутирующую с $C$. Тогда пара $(A,B)$ является пределом пар $(A_t,B_t)\in\mathfrak{C}_n$ при $t\to0$, где $$A_t=A-t\beta{H},\quad B_t=B+t\alpha{H}.$$ Смысл этого утверждения ясен при $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ по отношению к классической топологии, а в общем случае это означает, что множество пар $(A_t,B_t)$ образует аффинную прямую в $\mathfrak{C}_n$, на которой $t$ является координатой, и $(A,B)$ — точка на этой прямой при $t=0$.

По задаче 5.4, почти все пары $(A_t,B_t)$ разложимы, а значит, лежат в $\overline{GL_n\cdot(D_n\times D_n)}$. Тогда и $(A,B)\in\overline{GL_n\cdot(D_n\times D_n)}$.


Задачи

Задача 5.1. Доказать утверждения 1–3 про неприводимость.

Задача 5.2. Разложить следующие аффинные многообразия на неприводимые компоненты.

а) $X\subset\mathbb{A}^3$ задано уравнениями \begin{align} x^2&=yz,\\ xz&=x. \end{align} б) $X=\{(A,B)\mid A,B\in L_n(\mathbb{K}),\ AB=0\}$.

Задача 5.3. Если $A,B\in L_n(\mathbb{K})$ — коммутирующие нильпотентные матрицы, то некоторая их нетривиальная линейная комбинация $C=\alpha{A}+\beta{B}$ — разложимая нильпотентная матрица.

Задача 5.4. Пары матриц $(A_t,B_t)$ из доказательства теоремы 2 разложимы при всех значениях $t$, кроме конечного числа.

Задача 5.5. Множество $L_{m,n}^{(r)}(\mathbb{K})$ матриц размера $m\times n$ и ранга $\le r$ — неприводимое аффинное многообразие в пространстве $L_{m,n}(\mathbb{K})$ всех матриц размера $m\times n$. (Такие многобразия матриц называются детерминантными многообразиями.)