Определение 1. Морфизм аффинного многообразия $X\subseteq\mathbb{A}^n$ в аффинное многообразие $Y\subseteq\mathbb{A}^m$ — это отображение $\varphi:X\to Y$, задаваемое формулой вида $$\varphi(x_1,\dots,x_n)=(f_1(x),\dots,f_m(x))\qquad(x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{A}^n),$$ где $f_1,\dots,f_m$ — некоторые многочлены от $n$ переменных.

Морфизм $\varphi$ задаёт гомоморфизм алгебр многочленов: $$\varphi^*:\mathbb{K}[Y]\to\mathbb{K}[X],\qquad(\varphi^*f)(x)=f(\varphi(x))\qquad(x\in X).$$

Изоморфизм — это биективный морфизм, для которого обратное отображение — тоже морфизм. Не всякий биективный морфизм является изоморфизмом.

Пример 1. Пусть $X\subset\mathbb{A}^2$ — полукубическая парабола, заданная уравнением $x^3=y^2$. Морфизм $$\varphi:\mathbb{A}^1\to X,\qquad\varphi(t)=(t^2,t^3)$$ биективен, но $\varphi^{-1}$ — не морфизм ($t$ нельзя выразить в виде многочлена от $t^2,t^3$).

Пример 2. Пусть $\operatorname{char}\mathbb{K}=p>0$. Морфизм Фробениуса $$\Phi:\mathbb{A}^1\to\mathbb{A}^1,\qquad\Phi(t)=t^p$$ биективен, но $\Phi^{-1}$ — не морфизм ($t$ нельзя выразить в виде многочлена от $t^p$).

Морфизм $\varphi$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда $\varphi^*$ — изоморфизм. Алгебраическая геометрия изучает те свойства алгебраических многообразий, которые сохраняются при изоморфизмах. С точностью до изоморфизма аффинное алгебраическое многообразие $X\subseteq\mathbb{A}^n$ характеризуется своей алгеброй многочленов $\mathbb{K}[X]=\mathbb{K}[t_1,\dots,t_n]/\mathcal{I}(X)$.

Многообразие $X$ можно восстановить по алгебре $A=\mathbb{K}[X]$ как множество $\operatorname{Spec}A$ гомоморфизмов $A\to\mathbb{K}$: всякий такой гомоморфизм имеет вид $$\chi_x:A\to\mathbb{K},\qquad\chi_x(f)=f(x)$$ для некоторой однозначно определённой точки $x\in X$.

Вложению $X\hookrightarrow\mathbb{A}^n$ соответствует выбор системы образующих $a_1,\dots,a_n$ алгебры $A$, т.е. её представление в виде факторалгебры $$A=\mathbb{K}[a_1,\dots,a_n]\simeq\mathbb{K}[t_1,\dots,t_n]/I$$ алгебры многочленов от $n$ переменных. Образующие идеала $I$ (т.е. соотношения между образующими алгебры $A$) — это левые части уравнений, задающих $X$ как подмногообразие в $\mathbb{A}^n$.

Морфизмы аффинных многообразий соответствуют гомоморфизмам алгебр "в обратную сторону". По теореме Гильберта о нулях, всякая конечнопорождённая алгебра без нильпотентов является алгеброй многочленов на некотором аффинном многообразии. Таким образом, категории аффинных многообразий и конечнопорождённых алгебр без нильпотентов двойственны друг другу.

Определение 2. Морфизм $\varphi:X\to Y$ называется доминантным, если $\varphi(X)$ плотно в $Y$.

Произвольный морфизм сводится к доминантному заменой $Y$ на $\overline{\varphi(X)}$.

Морфизм аффинных многообразий $\varphi$ доминантен тогда и только тогда, когда гомоморфизм $\varphi^*$ инъективен. В этой ситуации алгебру $B=\mathbb{K}[Y]$ можно считать подалгеброй алгебры $A=\mathbb{K}[X]$.

Теорема 1. Пусть $\varphi:X\to Y$ — доминантный морфизм неприводимых многообразий. Тогда $\varphi(X)$ содержит плотное открытое подмножество многообразия $Y$.

Множество $\varphi(X)$ может не быть ни открытым, ни замкнутым в $Y$ (см., однако, задачу 6.3).

Пример 3. У морфизма $\varphi:\mathbb{A}^2\to\mathbb{A}^2$, $\varphi(x,y)=(x,xy)$, образ есть объединение множеств $\{x\ne0\}$ и $\{(0,0)\}$.

Теперь изучим один замечательный класс морфизмов аффинных многообразий.

Определение 3. Морфизм $\varphi:X\to Y$ называется конечным, если алгебра $A=\mathbb{K}[X]$ — конечнопорождённый модуль над подалгеброй $B=\mathbb{K}[Y]$, т.е. $A=Bf_1+\dots+Bf_n$ для некоторого конечного набора элементов $f_1,\dots,f_n\in A$.

Свойства конечных морфизмов.

1) Любой элемент $a\in A$ цел над подлалгеброй $B$, т.е. удовлетворяет уравнению целой зависимости $$a^m+b_1a^{m-1}+\dots+b_{m-1}a+b_m=0,\quad\text{где}\quad b_1,\dots,b_m\in B.$$

Доказательство. Для каждого $i=1,\dots,n$ имеем $af_i=\sum_jc_{ij}f_j$, где $c_{ij}\in B$. В матричной записи: $$ \begin{pmatrix} a-c_{11} & -c_{12} & \dots & -c_{1n} \\ -c_{21} & a-c_{22} & \dots & -c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -c_{n1} & -c_{n1} & \dots & a-c_{nn} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}. $$ Домножив это равенство слева на матрицу, присоединённую к $aE-C$, получим $\det(aE-C)\cdot f_i=0$ $(i=1,\dots,n)$ $\implies\det(aE-C)\cdot A=0\implies\det(aE-C)=0$ (так как в алгебре $A$ есть $1$). Но $$\det(aE-C)=a^n+b_1a^{n-1}+\dots+b_{n-1}a+b_n,$$ где $b_i\in B$ (как многочлены от элементов $c_{ij}$).

2) Конечные морфизмы замкнуты (т.е. образы замкнутых подмножеств замкнуты) и, в частности, сюръективны.

Доказательство. Пусть $\varphi:X\to Y$ — конечный морфизм, и $Z\subset X$ — замкнутое подмножество. Тогда морфизм $\varphi:Z\to W=\overline{\varphi(Z)}$ тоже конечен. Поэтому достаточно доказать сюръективность.

Возьмём произвольную точку $y\in Y$ и рассмотрим идеал $I=\mathcal{I}(y)\lhd B$. Тогда $$\varphi^{-1}(y)=X(I)=X(I\cdot A).$$ По лемме Накаямы, $I\cdot A\ne A$ (иначе $(1+b)A=0\implies 1+b=0$ для некоторого $b\in I$, что невозможно). По слабой теореме о нулях, $\varphi^{-1}(y)\ne\varnothing$.

Задача 6.1. Многобразие $X\subset\mathbb{A}^4$, заданное уравнением $x_1x_2-x_3x_4=1$, не изоморфно $\mathbb{A}^3$, но в $X$ и $\mathbb{A}^3$ есть изоморфные друг другу открытые подмножества.

Задача 6.2. Подмножество топологического пространства называется локально замкнутым, если оно является пересечением открытого и замкнутого подмножеств, и конструктивным, если оно является объединением конечного числа локально замкнутых подмножеств. Доказать, что класс конструктивных подмножеств замкнут относительно всех теоретико-множественных операций (объединение, пересечение, разность, дополнение) над конечным числом подмножеств.

Задача 6.3 (теорема Шевалле). Образ конструктивного подмножества при морфизме алгебраических многообразий конструктивен.

Задача 6.4. Целое расширение конечнопорождённых алгебр $A\supset B$ (т.е. такое, что любой элемент алгебры $A$ цел над подалгеброй $B$) конечно (т.е. $A$ — конечнопорождённый модуль над $B$).

Задача 6.5 (лемма Накаямы). Пусть $M$ — конечнопорождённый модуль над алгеброй $B$, $I\lhd B$ — идеал, причём $I\cdot M=M$. Тогда найдется такой $b\in I$, что $(1+b)M=0$.

Задача 6.6. Пусть $\varphi:\mathbb{A}^2\to\mathbb{A}^4$ — морфизм, заданный формулой $$\varphi(x,y)=(x,xy,y^2-y,y^3-y).$$ а) Доказать, что подмножество $Y=\varphi(\mathbb{A}^2)$ замкнуто, и задать его уравнениями в $\mathbb{A}^4$.

б) Доказать, что отображение $\varphi$ биективно всюду, кроме двух точек, образы которых совпадают, и вне этих точек $\varphi$ — изоморфизм (т.е. $\varphi$ сворачивает плоскость в поверхность с одной точкой самопересечения).

предыдущий семинар	14 октября 2016 г.	следующий семинар
Тема 6 Морфизмы аффинных многообразий. Конечные морфизмы. Определение 1. Морфизм аффинного многообразия $X\subseteq\mathbb{A}^n$ в аффинное многообразие $Y\subseteq\mathbb{A}^m$ — это отображение $\varphi:X\to Y$, задаваемое формулой вида $$\varphi(x_1,\dots,x_n)=(f_1(x),\dots,f_m(x))\qquad(x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{A}^n),$$ где $f_1,\dots,f_m$ — некоторые многочлены от $n$ переменных. Морфизм $\varphi$ задаёт гомоморфизм алгебр многочленов: $$\varphi^:\mathbb{K}[Y]\to\mathbb{K}[X],\qquad(\varphi^f)(x)=f(\varphi(x))\qquad(x\in X).$$ Изоморфизм — это биективный морфизм, для которого обратное отображение — тоже морфизм. Не всякий биективный морфизм является изоморфизмом. Пример 1. Пусть $X\subset\mathbb{A}^2$ — полукубическая парабола, заданная уравнением $x^3=y^2$. Морфизм $$\varphi:\mathbb{A}^1\to X,\qquad\varphi(t)=(t^2,t^3)$$ биективен, но $\varphi^{-1}$ — не морфизм ($t$ нельзя выразить в виде многочлена от $t^2,t^3$). Пример 2. Пусть $\operatorname{char}\mathbb{K}=p>0$. Морфизм Фробениуса $$\Phi:\mathbb{A}^1\to\mathbb{A}^1,\qquad\Phi(t)=t^p$$ биективен, но $\Phi^{-1}$ — не морфизм ($t$ нельзя выразить в виде многочлена от $t^p$). Морфизм $\varphi$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда $\varphi^$ — изоморфизм. Алгебраическая геометрия изучает те свойства алгебраических многообразий, которые сохраняются при изоморфизмах. С точностью до изоморфизма аффинное алгебраическое многообразие $X\subseteq\mathbb{A}^n$ характеризуется своей алгеброй многочленов $\mathbb{K}[X]=\mathbb{K}[t_1,\dots,t_n]/\mathcal{I}(X)$. Многообразие $X$ можно восстановить по алгебре $A=\mathbb{K}[X]$ как множество $\operatorname{Spec}A$ гомоморфизмов $A\to\mathbb{K}$: всякий такой гомоморфизм имеет вид $$\chi_x:A\to\mathbb{K},\qquad\chi_x(f)=f(x)$$ для некоторой однозначно определённой точки $x\in X$. Вложению $X\hookrightarrow\mathbb{A}^n$ соответствует выбор системы образующих $a_1,\dots,a_n$ алгебры $A$, т.е. её представление в виде факторалгебры $$A=\mathbb{K}[a_1,\dots,a_n]\simeq\mathbb{K}[t_1,\dots,t_n]/I$$ алгебры многочленов от $n$ переменных. Образующие идеала $I$ (т.е. соотношения между образующими алгебры $A$) — это левые части уравнений, задающих $X$ как подмногообразие в $\mathbb{A}^n$. Морфизмы аффинных многообразий соответствуют гомоморфизмам алгебр "в обратную сторону". По теореме Гильберта о нулях, всякая конечнопорождённая алгебра без нильпотентов является алгеброй многочленов на некотором аффинном многообразии. Таким образом, категории аффинных многообразий и конечнопорождённых алгебр без нильпотентов двойственны друг другу. Определение 2. Морфизм $\varphi:X\to Y$ называется доминантным, если $\varphi(X)$ плотно в $Y$. Произвольный морфизм сводится к доминантному заменой $Y$ на $\overline{\varphi(X)}$. Морфизм аффинных многообразий $\varphi$ доминантен тогда и только тогда, когда гомоморфизм $\varphi^$ инъективен. В этой ситуации алгебру $B=\mathbb{K}[Y]$ можно считать подалгеброй алгебры $A=\mathbb{K}[X]$. Теорема 1. Пусть $\varphi:X\to Y$ — доминантный морфизм неприводимых многообразий. Тогда $\varphi(X)$ содержит плотное открытое подмножество многообразия $Y$. Множество $\varphi(X)$ может не быть ни открытым, ни замкнутым в $Y$ (см., однако, задачу 6.3). Пример 3. У морфизма $\varphi:\mathbb{A}^2\to\mathbb{A}^2$, $\varphi(x,y)=(x,xy)$, образ есть объединение множеств $\{x\ne0\}$ и $\{(0,0)\}$. Теперь изучим один замечательный класс морфизмов аффинных многообразий. Определение 3. Морфизм $\varphi:X\to Y$ называется конечным, если алгебра $A=\mathbb{K}[X]$ — конечнопорождённый модуль над подалгеброй $B=\mathbb{K}[Y]$, т.е. $A=Bf_1+\dots+Bf_n$ для некоторого конечного набора элементов $f_1,\dots,f_n\in A$. Свойства конечных морфизмов. 1) Любой элемент $a\in A$ цел над подлалгеброй $B$, т.е. удовлетворяет уравнению целой зависимости $$a^m+b_1a^{m-1}+\dots+b_{m-1}a+b_m=0,\quad\text{где}\quad b_1,\dots,b_m\in B.$$ Доказательство. Для каждого $i=1,\dots,n$ имеем $af_i=\sum_jc_{ij}f_j$, где $c_{ij}\in B$. В матричной записи: $$ \begin{pmatrix} a-c_{11} & -c_{12} & \dots & -c_{1n} \\ -c_{21} & a-c_{22} & \dots & -c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -c_{n1} & -c_{n1} & \dots & a-c_{nn} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}. $$ Домножив это равенство слева на матрицу, присоединённую к $aE-C$, получим $\det(aE-C)\cdot f_i=0$ $(i=1,\dots,n)$ $\implies\det(aE-C)\cdot A=0\implies\det(aE-C)=0$ (так как в алгебре $A$ есть $1$). Но $$\det(aE-C)=a^n+b_1a^{n-1}+\dots+b_{n-1}a+b_n,$$ где $b_i\in B$ (как многочлены от элементов $c_{ij}$). 2) Конечные морфизмы замкнуты (т.е. образы замкнутых подмножеств замкнуты) и, в частности, сюръективны. Доказательство. Пусть $\varphi:X\to Y$ — конечный морфизм, и $Z\subset X$ — замкнутое подмножество. Тогда морфизм $\varphi:Z\to W=\overline{\varphi(Z)}$ тоже конечен. Поэтому достаточно доказать сюръективность. Возьмём произвольную точку $y\in Y$ и рассмотрим идеал $I=\mathcal{I}(y)\lhd B$. Тогда $$\varphi^{-1}(y)=X(I)=X(I\cdot A).$$ По лемме Накаямы, $I\cdot A\ne A$ (иначе $(1+b)A=0\implies 1+b=0$ для некоторого $b\in I$, что невозможно). По слабой теореме о нулях, $\varphi^{-1}(y)\ne\varnothing$. Задачи Задача 6.1. Многобразие $X\subset\mathbb{A}^4$, заданное уравнением $x_1x_2-x_3x_4=1$, не изоморфно $\mathbb{A}^3$, но в $X$ и $\mathbb{A}^3$ есть изоморфные друг другу открытые подмножества. Задача 6.2. Подмножество топологического пространства называется локально замкнутым, если оно является пересечением открытого и замкнутого подмножеств, и конструктивным, если оно является объединением конечного числа локально замкнутых подмножеств. Доказать, что класс конструктивных подмножеств замкнут относительно всех теоретико-множественных операций (объединение, пересечение, разность, дополнение) над конечным числом подмножеств. Задача 6.3 (теорема Шевалле). Образ конструктивного подмножества при морфизме алгебраических многообразий конструктивен. Задача 6.4. Целое расширение конечнопорождённых алгебр $A\supset B$ (т.е. такое, что любой элемент алгебры $A$ цел над подалгеброй $B$) конечно (т.е. $A$ — конечнопорождённый модуль над $B$). Задача 6.5 (лемма Накаямы). Пусть $M$ — конечнопорождённый модуль над алгеброй $B$, $I\lhd B$ — идеал, причём $I\cdot M=M$. Тогда найдется такой $b\in I$, что $(1+b)M=0$. Задача 6.6. Пусть $\varphi:\mathbb{A}^2\to\mathbb{A}^4$ — морфизм, заданный формулой $$\varphi(x,y)=(x,xy,y^2-y,y^3-y).$$ а) Доказать, что подмножество $Y=\varphi(\mathbb{A}^2)$ замкнуто, и задать его уравнениями в $\mathbb{A}^4$. б) Доказать, что отображение $\varphi$ биективно всюду, кроме двух точек, образы которых совпадают, и вне этих точек $\varphi$ — изоморфизм (т.е. $\varphi$ сворачивает плоскость в поверхность с одной точкой самопересечения).