Свойства конечных морфизмов (продолжение).

3) Конечные морфизмы имеют конечные слои.

Доказательство. Пусть $\varphi:X\to Y$ — конечный морфизм, и $X\subseteq\mathbb{A}^n$. Всякая функция $f\in A=\mathbb{K}[X]$ удовлетворяет уравнению целой зависимости над подалгеброй $B=\mathbb{K}[Y]$. В частности, это верно для координатных функций $a_1,\dots,a_n$, порождающих алгебру $A$: $$a_i^{m_i}+b_{i1}a_i^{m_i-1}+b_{i2}a_i^{m_i-2}+\dots=0,\qquad b_{ij}\in B.$$

Возьмём произвольную точку $y\in Y$ и рассмотрим слой $\varphi^{-1}(y)$. Подставляя произвольную точку $x\in\varphi^{-1}(y)$ в качестве аргумента в вышенаписанные функциональные уравнения, получаем $$x_i^{m_i}+c_{i1}x_i^{m_i-1}+c_{i2}x_i^{m_2-1}+\dots=0,$$ где $c_{ij}\in\mathbb{K}$ — константы, зависящие только от точки $y$. Поэтому каждая координата может принимать на слое лишь конечное число значений, что и доказывает конечность слоя.

Однако, морфизм, имеющий конечные слои, не обязан быть конечным.

Пример 1. Пусть $X\subset\mathbb{A}^2$ — гипербола, заданная уравнением $xy=1$. Морфизм проекции $$\varphi:X\to\mathbb{A}^1,\qquad\varphi(x,y)=x$$ имеет конечные слои, но не конечен (например, потому что не сюръективен).

Лемма Нётер о нормализации. Любое аффинное многообразие $X$ допускает конечный морфизм $X\to\mathbb{A}^d$.

Доказательство. На алгебраическом языке утверждение леммы означает, что в любой конечнопорождённой алгебре $A=\mathbb{K}[a_1,\dots,a_n]$ существует подалгебра $B=\mathbb{K}[t_1,\dots,t_d]$, порождённая алгебраически независимыми элементами $t_i$, над которой $A$ является конечнопорождённым модулем. Набор $\{t_1,\dots,t_d\}$ называется системой параматров для алгебры $A$.

Доказательство проводится индукцией по $n$. Если образующие $a_1,\dots,a_n$ алгебрачески независимы, то доказывать нечего. В противном случае между ними имеется алгебраическое соотношение $$F(a_1,\dots,a_n)=\sum_{k_1,\dots,k_n}c_{k_1,\dots,k_n}a_1^{k_1}\dots a_n^{k_n}=0.$$ Разложим многочлен $F$ на однородные компоненты: $F=F_0+F_1+\dots+F_m$, причём можно считать, что $F_m\ne0$. сделаем в алгебре $A$ линейную замену системы образующих: $$\tilde{a}_i=a_i-\lambda_ia_n,\qquad\lambda_i\in\mathbb{K},\quad i=1,\dots,n-1.$$ После такой замены \begin{multline} F(a_1,\dots,a_n)=\sum_{k_1,\dots,k_n}c_{k_1,\dots,k_n}(\tilde{a}_1+\lambda_1a_n)^{k_1}\dots(\tilde{a}_{n-1}+\lambda_{n-1}a_{n-1})^{k_1}a_n^{k_n}=\\ =F_m(\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1},1)a_n^{m}+\sum_{k< m}G_k(\tilde{a}_1,\dots,\tilde{a}_{n-1})a_n^k=0. \end{multline} В силу однородности, ненулевой многочлен $F_m$ не равен $0$ на гиперплоскости, где последняя переменная равна $1$, а значит, при подходящем выборе $\lambda_i$ коэффициент при $a_n^m$ в этом уравнении будет ненулевой константой. Тогда элемент $a_n$ цел над подалгеброй $\widetilde{A}=\mathbb{K}[\tilde{a}_1,\dots,\tilde{a}_{n-1}]$, и алгебра $A=\widetilde{A}+\widetilde{A}a_n+\widetilde{A}a_n^2+\dots+\widetilde{A}a_n^{m-1}$ конечна над $\widetilde{A}$. По задаче 7.2, система параметров для $\widetilde{A}$ будет системой параметров и для $A$.

Геометрически проведённое рассуждение означает, что многообразие $X=\operatorname{Spec}A\subseteq\mathbb{A}^n$ проектируется в гиперплоскость $\mathbb{A}^{n-1}$ (где последняя координата равна $0$), и для достаточно общей проекции образ $\widetilde{X}=\operatorname{Spec}A\subseteq\mathbb{A}^{n-1}$ будет замкнут, а морфизм $X\to\widetilde{X}$ конечен. На некотором шаге проекция изоморфно отобразит очередное многообразие на очередную гиперплоскость.

Замечание. Доказательство леммы Нётер о нормализации проходит над любым бесконечным полем $\mathbb{K}$. Сама лемма верна и без этого предположения (задача 7.3).

Теория размерности

В большинстве геометрических теорий размерность пространства определяется как число независимых параметров, которыми определяется точка в этом пространстве (например, координаты точки в аффинном пространстве). С алгебраической точки зрения независимость означает, что эти параметры не связаны никаким алгебраическим соотношением. Поэтому в алгебраической геометрии размерность многообразия $X$ определяется так:

Если многообразие $X=X_1\cup\dots\cup X_s$ приводимо ($X_i$ — неприводимые компоненты), то $\dim{X}=\max_i\dim{X_i}$.
Для неприводимого аффинного многообразия $\dim{X}=d$ — количество элементов в максимальной (по включению) алгебраически независимой системе многочленов $t_1,\dots,t_d\in\mathbb{K}[X]$.

Такой набор функций, называемый базисом трансцендентности алгебры $\mathbb{K}[X]$, как раз и является той системой независимых параметров, значения которых определяют положение точки на многообразии (если не любой, то по крайней мере из плотного открытого подмножества) если не однозначно, то с точностью до конечного выбора (поскольку любая координатная функция связана с этими параметрами уравнением алгебраической зависимости). Во всех базисах трансцендентности произвольной алгебры $A$ одинаковое число элементов — степень трансцендентности $\operatorname{tr.deg}A$. Степени трансцендентности алгебры многочленов $\mathbb{K}[X]$ и поля рациональных функций $\mathbb{K}(X)$ на аффинном многообразии $X$ совпадают.

Свойства размерности неприводимых многообразий.

1) Если $Y\subset X$ — собственное замкнутое подмногообразие, то $\dim{Y}<\dim{X}$.

2) Если $U\subset X$ — (главное) открытое подмножество, то $\dim{U}=\dim{X}$.

3) Если $\varphi:X\to Y$ — доминантный морфизм, то $\dim{Y}\le\dim{X}$. Если $\varphi$ имеет конечные слои на открытом подмножестве $U\subseteq X$, то имеет место равенство размерностей.

4) $\dim(X\times Y)=\dim{X}+\dim{Y}$.

Пример 2. Найдём размерность коммутационного многообразия $\mathfrak{C}_n$. По теореме Герстенхабера, оно содержит плотное подмножество $$\mathfrak{C}_n^0=\{(A,B)\in\mathfrak{C}_n\mid A\text{ имеет простой спектр}\}=GL_n\cdot(D_n^0\times D_n),$$ где $D_n^0\subset D_n$ — множество диагональных матриц с простым спектром. Заметим, что $\mathfrak{C}_n^0$ — главное открытое подмножество в $\mathfrak{C}_n$, задаваемое неравенством нулю дискриминанта характеристического многочлена матрицы $A$. В нём содержится плотное подмножество $$\mathfrak{C}_n^{00}=GL_n^0\cdot(D_n^0\times D_n),$$ где $GL_n^0\subset GL_n$ состоит из матриц с ненулевыми угловыми минорами. Легко видеть, что $GL_n^0\simeq U_n^-\times U_n^+\times T_n$, где $U_n^{\pm}$ — подмногообразия верхних и нижних унитреугольных матриц, $T_n$ — подмногообразие (невырожденных) диагональных матриц, а изоморфизм задаётся перемножением матриц из этих подмногообразий. Морфизм действия $U_n^-\times U_n^+\times D_n^0\times D_n\to\mathfrak{C}_n^{00}$ сюръективен и имеет конечные слои (задача 7.6), откуда $$\dim\mathfrak{C}_n=\dim\mathfrak{C}_n^0=\dim U_n^-+\dim U_n^++\dim D_n^0+\dim D_n=\frac{n(n-1)}2+\frac{n(n-1)}2+n+n=n^2+n.$$

предыдущий семинар	21 октября 2016 г.	следующий семинар
Тема 7 Свойства конечных морфизмов. Размерность алгебраических многообразий. Свойства конечных морфизмов (продолжение). 3) Конечные морфизмы имеют конечные слои. Доказательство. Пусть $\varphi:X\to Y$ — конечный морфизм, и $X\subseteq\mathbb{A}^n$. Всякая функция $f\in A=\mathbb{K}[X]$ удовлетворяет уравнению целой зависимости над подалгеброй $B=\mathbb{K}[Y]$. В частности, это верно для координатных функций $a_1,\dots,a_n$, порождающих алгебру $A$: $$a_i^{m_i}+b_{i1}a_i^{m_i-1}+b_{i2}a_i^{m_i-2}+\dots=0,\qquad b_{ij}\in B.$$ Возьмём произвольную точку $y\in Y$ и рассмотрим слой $\varphi^{-1}(y)$. Подставляя произвольную точку $x\in\varphi^{-1}(y)$ в качестве аргумента в вышенаписанные функциональные уравнения, получаем $$x_i^{m_i}+c_{i1}x_i^{m_i-1}+c_{i2}x_i^{m_2-1}+\dots=0,$$ где $c_{ij}\in\mathbb{K}$ — константы, зависящие только от точки $y$. Поэтому каждая координата может принимать на слое лишь конечное число значений, что и доказывает конечность слоя. Однако, морфизм, имеющий конечные слои, не обязан быть конечным. Пример 1. Пусть $X\subset\mathbb{A}^2$ — гипербола, заданная уравнением $xy=1$. Морфизм проекции $$\varphi:X\to\mathbb{A}^1,\qquad\varphi(x,y)=x$$ имеет конечные слои, но не конечен (например, потому что не сюръективен). Лемма Нётер о нормализации. Любое аффинное многообразие $X$ допускает конечный морфизм $X\to\mathbb{A}^d$. Доказательство. На алгебраическом языке утверждение леммы означает, что в любой конечнопорождённой алгебре $A=\mathbb{K}[a_1,\dots,a_n]$ существует подалгебра $B=\mathbb{K}[t_1,\dots,t_d]$, порождённая алгебраически независимыми элементами $t_i$, над которой $A$ является конечнопорождённым модулем. Набор $\{t_1,\dots,t_d\}$ называется системой параматров для алгебры $A$. Доказательство проводится индукцией по $n$. Если образующие $a_1,\dots,a_n$ алгебрачески независимы, то доказывать нечего. В противном случае между ними имеется алгебраическое соотношение $$F(a_1,\dots,a_n)=\sum_{k_1,\dots,k_n}c_{k_1,\dots,k_n}a_1^{k_1}\dots a_n^{k_n}=0.$$ Разложим многочлен $F$ на однородные компоненты: $F=F_0+F_1+\dots+F_m$, причём можно считать, что $F_m\ne0$. сделаем в алгебре $A$ линейную замену системы образующих: $$\tilde{a}_i=a_i-\lambda_ia_n,\qquad\lambda_i\in\mathbb{K},\quad i=1,\dots,n-1.$$ После такой замены \begin{multline} F(a_1,\dots,a_n)=\sum_{k_1,\dots,k_n}c_{k_1,\dots,k_n}(\tilde{a}_1+\lambda_1a_n)^{k_1}\dots(\tilde{a}_{n-1}+\lambda_{n-1}a_{n-1})^{k_1}a_n^{k_n}=\\ =F_m(\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1},1)a_n^{m}+\sum_{k< m}G_k(\tilde{a}_1,\dots,\tilde{a}_{n-1})a_n^k=0. \end{multline} В силу однородности, ненулевой многочлен $F_m$ не равен $0$ на гиперплоскости, где последняя переменная равна $1$, а значит, при подходящем выборе $\lambda_i$ коэффициент при $a_n^m$ в этом уравнении будет ненулевой константой. Тогда элемент $a_n$ цел над подалгеброй $\widetilde{A}=\mathbb{K}[\tilde{a}_1,\dots,\tilde{a}_{n-1}]$, и алгебра $A=\widetilde{A}+\widetilde{A}a_n+\widetilde{A}a_n^2+\dots+\widetilde{A}a_n^{m-1}$ конечна над $\widetilde{A}$. По задаче 7.2, система параметров для $\widetilde{A}$ будет системой параметров и для $A$. Геометрически проведённое рассуждение означает, что многообразие $X=\operatorname{Spec}A\subseteq\mathbb{A}^n$ проектируется в гиперплоскость $\mathbb{A}^{n-1}$ (где последняя координата равна $0$), и для достаточно общей проекции образ $\widetilde{X}=\operatorname{Spec}A\subseteq\mathbb{A}^{n-1}$ будет замкнут, а морфизм $X\to\widetilde{X}$ конечен. На некотором шаге проекция изоморфно отобразит очередное многообразие на очередную гиперплоскость. Замечание. Доказательство леммы Нётер о нормализации проходит над любым бесконечным полем $\mathbb{K}$. Сама лемма верна и без этого предположения (задача 7.3). Теория размерности В большинстве геометрических теорий размерность пространства определяется как число независимых параметров, которыми определяется точка в этом пространстве (например, координаты точки в аффинном пространстве). С алгебраической точки зрения независимость означает, что эти параметры не связаны никаким алгебраическим соотношением. Поэтому в алгебраической геометрии размерность многообразия $X$ определяется так: Если многообразие $X=X_1\cup\dots\cup X_s$ приводимо ($X_i$ — неприводимые компоненты), то $\dim{X}=\max_i\dim{X_i}$. Для неприводимого аффинного многообразия $\dim{X}=d$ — количество элементов в максимальной (по включению) алгебраически независимой системе многочленов $t_1,\dots,t_d\in\mathbb{K}[X]$. Такой набор функций, называемый базисом трансцендентности алгебры $\mathbb{K}[X]$, как раз и является той системой независимых параметров, значения которых определяют положение точки на многообразии (если не любой, то по крайней мере из плотного открытого подмножества) если не однозначно, то с точностью до конечного выбора (поскольку любая координатная функция связана с этими параметрами уравнением алгебраической зависимости). Во всех базисах трансцендентности произвольной алгебры $A$ одинаковое число элементов — степень трансцендентности $\operatorname{tr.deg}A$. Степени трансцендентности алгебры многочленов $\mathbb{K}[X]$ и поля рациональных функций $\mathbb{K}(X)$ на аффинном многообразии $X$ совпадают. Свойства размерности неприводимых многообразий. 1) Если $Y\subset X$ — собственное замкнутое подмногообразие, то $\dim{Y}<\dim{X}$. 2) Если $U\subset X$ — (главное) открытое подмножество, то $\dim{U}=\dim{X}$. 3) Если $\varphi:X\to Y$ — доминантный морфизм, то $\dim{Y}\le\dim{X}$. Если $\varphi$ имеет конечные слои на открытом подмножестве $U\subseteq X$, то имеет место равенство размерностей. 4) $\dim(X\times Y)=\dim{X}+\dim{Y}$. Пример 2. Найдём размерность коммутационного многообразия $\mathfrak{C}_n$. По теореме Герстенхабера, оно содержит плотное подмножество $$\mathfrak{C}_n^0=\{(A,B)\in\mathfrak{C}_n\mid A\text{ имеет простой спектр}\}=GL_n\cdot(D_n^0\times D_n),$$ где $D_n^0\subset D_n$ — множество диагональных матриц с простым спектром. Заметим, что $\mathfrak{C}_n^0$ — главное открытое подмножество в $\mathfrak{C}_n$, задаваемое неравенством нулю дискриминанта характеристического многочлена матрицы $A$. В нём содержится плотное подмножество $$\mathfrak{C}_n^{00}=GL_n^0\cdot(D_n^0\times D_n),$$ где $GL_n^0\subset GL_n$ состоит из матриц с ненулевыми угловыми минорами. Легко видеть, что $GL_n^0\simeq U_n^-\times U_n^+\times T_n$, где $U_n^{\pm}$ — подмногообразия верхних и нижних унитреугольных матриц, $T_n$ — подмногообразие (невырожденных) диагональных матриц, а изоморфизм задаётся перемножением матриц из этих подмногообразий. Морфизм действия $U_n^-\times U_n^+\times D_n^0\times D_n\to\mathfrak{C}_n^{00}$ сюръективен и имеет конечные слои (задача 7.6), откуда $$\dim\mathfrak{C}_n=\dim\mathfrak{C}_n^0=\dim U_n^-+\dim U_n^++\dim D_n^0+\dim D_n=\frac{n(n-1)}2+\frac{n(n-1)}2+n+n=n^2+n.$$ Задачи Задача 7.1. Любой доминантный морфизм $\mathbb{A}^1\to\mathbb{A}^1$ конечен. Задача 7.2. Если $A\supseteq B$ и $B\supseteq C$ — конечные расширения алгебр, то расширение $A\supseteq C$ также конечно. Задача 7.3. Доказать лемму Нётер о нормализации над конечным полем $\mathbb{K}$. Задача 7.4. Пусть $A$ — положительно градуированная конечнопорождённая алгебра. Доказать, что в $A$ можно выбрать систему параметров, состоящую из однородных элементов положительной степени. Задача 7.5. Если $\varphi:X\to Y$ — конечный морфизм (многообразия не предполагаются неприводимыми), то $\dim{X}=\dim{Y}$. Задача 7.6. Отображение $$U_n^-\times U_n^+\times D_n^0\times D_n\to\mathfrak{C}_n^{00},\quad (U,V,A,B)\mapsto(UVAV^{-1}U^{-1},UVBV^{-1}U^{-1})$$ сюръективно и имеет конечные слои. Задача 7.7. Найти размерности всех неприводимых компонент многообразия $$X=\{(A,B)\mid A,B\in L_n(\mathbb{K}),\ AB=0\}.$$